【解析】上海市闵行区2013届高三上学期期末教学质量调研数学理试题

闵行区2012学年第一学期高三年级质量调研考试
数 学 试 卷（理科）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚，并填涂准考证号．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写．
2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．
3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．
一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知复数满足(为虚数单位)，则_________________.
【答案】
【21世纪教育网解析】由得。
2．函数的定义域为 .
【答案】
【21世纪教育网解析】要使函数有意义，则有，即，所以。即函数的定义域为。
3．已知集合，全集，则集合中元素的个数为__________________.
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，所以，所以，所以，所以集合中元素的个数为3个。
4．已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则的值是 .
【答案】
【21世纪教育网解析】抛物线的焦点坐标为。圆的标准方程为，所以圆心坐标为，所以由得。
5．已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的值为 .
【答案】
【21世纪教育网解析】因为的图像与函数的图像关于直线对称，则与互为反函数。所以由得，解得，所以。
6．若二项式展开式的各项系数的和为，则其展开式的所有二项式系数中最大的是 . (用数字作答)
【答案】
【21世纪教育网解析】令，得二项式的各项系数为，即，所以。所以二项式系数最大的为。
7．无穷等比数列的各项和为，第2项为，则该数列的公比 .
【答案】
【21世纪教育网解析】由题意知且,，解得（舍去）或。
8．某算法的程序框图如右图，若输出的的值为，则正整数的值为 .
【答案】
【21世纪教育网解析】第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，满足条件，;第五次循环，满足条件，第六次循环，不满足条件，输出,所以此时。
9．从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.
【答案】
【21世纪教育网解析】从集合中随机选取3个不同的数有种。能够构成等差数列的有共有4种，所以这3个数可以构成等差数列的概率为。
10．已知定义在上的函数与的图像的交点为，过作轴于，直线与的图像交于点，则线段的长为 .
【答案】
【21世纪教育网解析】由，得，所以，即，因为轴于，所以，所以的纵坐标为，即,所以.
11．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【21世纪教育网解析】当时，，此时不等式成立，所以只考虑时，若，则不等式等价为，此时。因为，所以，所以此时。若，则不等式等价为，即，因为，所以，所以。所以实数的取值范围是或。
12．已知△ABC的面积为，在△ABC所在的平面内有两点，满足，则四边形BCPQ的面积为 ．
【答案】
【21世纪教育网解析】由得，即是AC的中点。由得，即，所以是AB上的一个三等分点。所以，所以四边形BCPQ的面积为。
13．如下图，对大于或等于2的正整数的次幂进行如下方式的“分裂”(其中)：例如的“分裂”中最小的数是，最大的数是；若的“分裂”中最小的数是，则 .
21世纪教育网
[来源:21世纪教育网]
【答案】
【21世纪教育网解析】解：由，分裂中的第一个数是：，
，分裂中的第一个数是：，21世纪教育网
，分裂中的第一个数是：，
…21世纪教育网
发现奇数的个数与前面的底数相同，每一组分裂中的第一个数是底数×（底数﹣1）+1，
∴，分裂中的第一个数是：，
∴若的“分裂”中最小的数是，则的值是 15．
14．已知函数，关于的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是 .
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，21世纪教育网
当时，；
当时，；
当时，；
当时，。21世纪教育网
所以函数，做出函数的图象如图，
设，则当时，方程有两个解。当时，方程有四个不同的解。所以要使方程（）恰有6个不同实数解，则的一个根为2，另外一个根，设，则有，即所以，即，解得，即的取值范围是。
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的 [答]( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【21世纪教育网解析】若四点不共面，则直线和不共面，所以和不相交。若直线和不相交，和平行时，四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件，选A.
16．若向量满足，与的夹角为，则 [答]（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【21世纪教育网解析】，选B.21世纪教育网
17．已知函数，若存在，且，使成立，则以下对实数、的描述正确的是 [答]（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【21世纪教育网解析】由函数的图象可知当时，函数单调递增，当时，函数递减。若,则函数在上单调递增，所以条件不成立。所以必有，所以选A.
18．数列满足，，若数列的前项和为，则的值为 [答] ( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【21世纪教育网解析】因为，所以，选D.
三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19. （本题满分12分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．
已知函数；
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数，的值域.
解：

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．
科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析，得出学生的注意力指数随时间（分钟）的变化规律为：
（1）如果学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．．
已知椭圆的方程为，右焦点为，直线与圆相切于点，且在轴的右侧，设直线交椭圆于不同两点.
（1）若直线的倾斜角为，求直线的方程；
（2）求证：.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．
已知函数.
（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；
（2）如果当时，的值域是，求与的值；
（3）对任意的，是否存在，使得，若存在，求出；若不存在，请说明理由.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设数列的各项均为正数，前项和为，已知．
(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)证明：对任意，都有；
(3)对于(2)中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
闵行区2012学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷
参考答案与评分标准
说明：
1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分标准进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
一、（第1题至第14题） 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．理， 8．； 9．理； 10．； 11．理或； 12．理； 13．理； 14．理．
二、（第15题至第18题） 15．A； 16．B； 17．A； 18．D．[来源:21世纪教育网]
三、（第19题至第23题）
19. [解]
(1) …3分
所以函数的最小正周期为 …………………3分
(2) ………………………2分
∵，∴， ……………2分
∴. …………………2分另解： …2分
∵，∴， ……………………2分
∴，即. …………………………2分
20. [解]（理）（1）由于学生的注意力指数不低于80，即
当时，由得； …………2分
当时，由得；…………2分
所以，
故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有分钟. ……………3分
（2）设教师上课后从第分钟开始讲解这道题，由于
所以 …………………………………………………………2分
要学生的注意力指数最低值达到最大，只需
即 ……………………………2分
解得 ………………………………………2分
所以，教师上课后从第分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最大. ………………………………………………………………………1分
（文）（1）设直线的方程为，
则有，得 ……………………………………3分
又切点在轴的右侧，所以，……………………………2分
所以直线的方程为 …………………………………2分
（2）设
由得 …………………………2分
……………2分
又，所以到直线的距离 ……2分
所以的面积为 ……………1分
21. [解]（理）（1）设直线的方程为，21世纪教育网
则有，得 ……………………………………3分
又切点在轴的右侧，所以，……………………………2分
所以直线的方程为 …………………………………2分
（2）因为为直角三角形，所以
又得 ……………………………………………2分21世纪教育网
又得 ……………2分
所以，同理可得 ……………2分
所以 ……………………………………………1分
（文）（答案与评分标准同理科第20题）
22. [解]（理）（1）令，解得,……………2分
对任意
所以函数是奇函数. ………………………………………………………2分另证：对任意
所以函数是奇函数. …………………………………2分
（2）由知，函数在上单调递减，
因为，所以在上是增函数 ………………………2分
又因为时，的值域是，所以
且在的值域是，
故且（结合图像易得）……………2分
解得（舍去）．
所以， …………………………………2分
（3）假设存在使得
即
，
解得， …………………………………3分
下证：．
证明：，∴，∴，即，∴
所以存在，使得 ……………3分
另证：要证明，即证，也即．
，∴∴，
∴．
所以存在，使得 ……………3分
（文）（1）令，解得, ……………2分
对任意
所以函数是奇函数. ……………2分另证：对任意
所以函数是奇函数. …………………………2分
（2）设，
…………2分
∴
∴
∴ ∵ ∴………2分
∴，∴
所以函数在上是增函数. ………………………………………………2分
（3）由（2）知，函数在上是增函数，
又因为时，的值域是，
所以且在的值域是， ……………2分
故且（结合图像易得） …………………2分
解得（舍去）
所以， ………………………………………2分
23. [解]（理） (1)∵，∴当时，．
两式相减得，∴ …………………………2分
∵，∴，又，∴
∴是以为首项，为公差的等差数列． ………………………1分
∴ ………………………………………1分
(2)由(1)知，∴ …………………………2分
于是
， …………………………2分
∴ …………………………2分
(3)结论成立，证明如下： …………………………1分
设等差数列的首项为，公差为，则
于是
………………………2分
将代入得，，∴ …………………………2分
又
…………………………2分
∴． …………………………1分
（文）(1)∵，∴当时，．两式相减得，∴ …………………………2分∵，∴，又，∴∴是以为首项，为公差的等差数列．……………………2分∴ …………………………1分(2) 由(1)知， …………………………2分
假设正整数满足条件， 则 ∴， 解得； …………………………3分(3) …………………………2分于是 …………………………2分 …………………………3分∴ …………………………1分