【解析】上海市嘉定区2013届高三上学期期末教学质量调研数学理试题

2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷（理）
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．
2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．
3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若（为虚数单位），则___________．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，所以，即，所以，即，所以。
2．已知集合，，则_____________．
【答案】
【21世纪教育网解析】，，所以。
3．函数的最小正周期是___________．
【答案】
【21世纪教育网解析】,所以周期。
4．一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．
【答案】
【21世纪教育网解析】由题意知，解得。所以这组数据的方差为。
5．在等差数列中，，从第项开始为正数，则公差的取值范围是__________
【答案】
【21世纪教育网解析】由题意知，即，所以，解得，所以，即公差的取值范围是。
6．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为_____________．
【答案】21世纪教育网
【21世纪教育网解析】
7．小王同学有本不同的数学书，本不同的物理书和本不同的化学书，从中任取本，则这本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）．
【答案】
【21世纪教育网解析】从10本书中选2本有种。两本书属于相同学科的有种，属于属于不同学科的有种，所以这本书属于不同学科的概率为。
8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的体积是________．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，所以圆锥的，母线,设圆锥底面圆的半径为，则,即,所以圆锥的高为,所以圆锥的体积是.
9．点是曲线上的一个动点，且点为线段的中点，则动点的轨迹方程为__________________．
【答案】
【21世纪教育网解析】设动点，则中点。因为是曲线上的一个动点，所以，整理得，即动点的轨迹方程为。21世纪教育网
10．在△中，已知，，且△最大边的长为，则△最小边的长为____________．
【答案】
【21世纪教育网解析】在三角形中，,即，所以，所以。因为，所以最小，边最小。由，得，所以由正弦定理，得。
11．将直线：，：，：（，）围成的三角形面积记为，则___________．
【答案】
【21世纪教育网解析】由得，即交点为，由得，即交点为，由，得，即交点为。则点到直线，的距离为，所以，所以。
12．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是___________．
【答案】
【21世纪教育网解析】设，，则由得，即，所以，整理得，圆心为，半径为，所以的最大值是。
13．观察下列算式：
，
，
，
，
… … … …
若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则_______．[来源:21世纪教育网]
【答案】
【21世纪教育网解析】某数按上述规律展开后,则等式右边为m个连续奇数的和，且每行的最后一个数为，，，，，所以的最后一个数为，，因为当时，，当时，，所以要使当等式右面含有“”这个数，则。[来源:21世纪教育网]
14．设、，定义在区间上的函数的值域是，若关于的方程（）有实数解，则的取值范围是___________．
【答案】
【21世纪教育网解析】由得，因为，所以，即。由得，即。由得，所以。因为，且在区间上的函数的值域是，所以必有，所以，即，所以的取值范围是。
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知，条件：，条件：，则是的…………………（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【21世纪教育网解析】由得。由得，所以是的充分不必要条件，选A.
16．以下说法错误的是………………………………………………………………………（ ）
A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是21世纪教育网
B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是
C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是
D．空间两条直线所成角的取值范围是
【答案】C
【21世纪教育网解析】平面内两个非零向量的夹角的取值范围是,所以C错误。选C.
17．在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，。有四个命题：①存在实数，使点在直线上；②若，则过、两点的直线与直线平行；③若，则直线经过线段的中点；④若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是……………………………………………………………（ ）
A．① ② ③ B．② ③ ④ C．① ③ ④ D．① ② ③ ④
【答案】B
【21世纪教育网解析】若点在直线上，则有，此时无意义，所以不存在实数，所以①错误。排除A,C,D,选B.若，则有，即，即。即，即，与直线的斜率相同，所以、两点的直线与直线平行，所以② 正确。若，则，即，所以，所以直线经过线段的中点，所以③ 正确。当，说明同号，所以④正确，所以选B.
18．设函数是定义在上以为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为……………………（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【21世纪教育网解析】在区间上的值域为，可设，其中，因为函数是定义在上以为周期的函数，所以，，因为，于是在上的最小值是；，于是在上的最大值是，所以函数在上的值域为．选D.
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
设复数，其中，，为虚数单位．若是方程的一个根，且在复平面内对应的点在第一象限，求与的值．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
如图，在三棱锥中，底面，，．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求三棱锥的表面积．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：为定值．
21世纪教育网
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
设数列的前项和为，已知（，、为常数），，，．
（1）求、的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正整数，，使得成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由．
[来源:21世纪教育网]
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设，函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若，写出函数的单调区间（不必证明）；
（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．
2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷（理）参考答案与评分标准
一．填空题（每小题4分，满分56分）
1． 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9． 10． 11． 12．
13． 14．
二．选择题（每小题5分，满分20分）
15．A 16．C 17．B 18．D
三．解答题
19．（本题满分12分）
方程的根为．………………（3分）
因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，………………（5分）
所以，解得，因为，所以，……（8分）
所以，所以，故．…………（11分）
所以，．…………（12分）
20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）
（1）取中点，中点，中点，
连结，，，则∥，∥，
所以就是异面直线与所成的角（或
其补角）．…………（2分）
连结，则，……（3分）
， …………（4分）
又，所以．…………（5分）
在△中，，……（7分）
故．所以异面直线与所成角的大小为．…………（8分）
（2）因为底面，所以，，，
又，所以平面，所以，…………（2分）
所以△、△、△、△都是直角三角形．……（3分）
所以，．……（6分）
21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
（1）将与代入椭圆的方程，得
，…………（2分）
解得，．…………（5分）
所以椭圆的方程为．…………（6分）21世纪教育网
（2）由，知在线段的垂直平分线上，
由椭圆的对称性知、关于原点对称．
①若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时
．……（1分）
同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时
．……（2分）
②若点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），
则直线的方程为．设，，
由，解得，，……（4分）
所以，同理可得，
所以．……（7分）
综上，为定值．…………（8分）
22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
（1）由题意，得，……（2分）
即 ，解得 ．…………（4分）
（2）由（1）知， ①
当时， ② …………（1分）
①－②，得（），又，…………（3分）
所以数列是首项为，公比为的等比数列．…………（4分）
所以的通项公式为（）．…………（6分）
（3）由（2），得，…………（1分）
由，得，即，21世纪教育网
即．因为，所以，
所以且， （*）
因为，所以或或．……………………（2分）
当时，由（*）得，所以； …………（3分）
当时，由（*）得，所以或； …………（4分）
当时，由（*）得，所以或或． …………（5分）
综上可知，存在符合条件的正整数、，所有符合条件的有序整数对为：
，，，，，． …………（6分）
23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
（1）当，时，…（2分）
作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数，所以的最大值为．…………（4分）
（2）……（1分）
①当时，，
因为，所以，
所以在上单调递增．…………（3分）[来源:21世纪教育网]
②当时，，
因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减．…………（5分）
综上，函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是．………………（6分）
（3）①当时，，，所以在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）
②当时，由（1）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解．
即．…………（5分）
令，在时是增函数，故．…………（7分）
所以，实数的取值范围是．…………（8分）