【解析】上海市奉贤区2013届高三上学期期末教学质量调研数学文试题

2012学年第一学期奉贤区高三期末数学文调研试卷
2013、1、17（一模）
一、填空题（56分）
1、关于的方程的一个根是，则_________．
【答案】21世纪教育网
【21世纪教育网解析】因为方程的根为虚根，所以也是方程的根，所以，即。
2、函数的最小正周期为 ．
【答案】
【21世纪教育网解析】
，其中为参数，所以周期。
3、集合，，则_________．
【答案】
【21世纪教育网解析】.,所以.
4、设直线：的方向向量是，直线2 ：的法向量是，若与平行，则_________．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为与平行，所以直线垂直。的斜率为，直线的斜率为，由，解得。
5、已知且若恒成立，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【21世纪教育网解析】，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为4，所以要使恒成立，所以。
6、设无穷等比数列的前n项和为Sn，首项是，若Sn＝，，则公比的取值范围是 ．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，所以，则，即，所以，因为，所以，所以，即，所以公比的取值范围是。
7、设函数为奇函数，则 ．
【答案】21世纪教育网
【21世纪教育网解析】因为函数是奇函数，所以，即，即，整理得，所以。
8、关于、的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则二阶行列式= .
【答案】
【21世纪教育网解析】由增广矩阵可知是方程组的解，所以解得，所以行列式为。
9、（文）已知函数 若，则_________．
【答案】或
【21世纪教育网解析】若，由得，解得。若，由得，解得。所以或。
10、（文）已知向量则的最大值为_________．
【答案】3
【21世纪教育网解析】，所以当时，有最大值，所以的最大值为3.
11、（文）若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【21世纪教育网解析】由得，即，设。设，则函数在上递减，在上递增，所以，即，即，所以，即则实数a的取值范围是。
12、已知函数是上的偶函数，是上的奇函数，，，则的值为_________．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，所以，即，因为是上的偶函数，所以，即，所以，即函数的周期是4，所以。因为，所以。所以。
13、（文）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为____________．
【答案】
【21世纪教育网解析】抛物线的准线为。设等轴双曲线的方程为，当时，，因为，所以，所以，所以，即双曲线的方程为，即，所以双曲线的实轴为。
14、（文）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________．
【答案】
【21世纪教育网解析】设椭圆的右焦点为E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长：
因为,所以，当过时取等号，所以，即直线过椭圆的右焦点E时的周长最大，由题意可知，右焦点为，所以当时，的周长最大，当时，，所以的面积是.
二、选择题（20分）
15、设，则“”是“”的 ( )
A．充分而不必要条件； B．必要而不充分条件；
C．充分必要条件 ； D．既不充分也不必要条件；
【答案】B
【21世纪教育网解析】由得，或，即或，所以“”是“”的必要而不充分条件，选B.
16、已知函数的图像如左图所示，则函数的图像可能是（ ）

【答案】C
【21世纪教育网解析】由图象可知，所以，函数为递减函数，排除A,B.函数的最小值为，即，所以选C.
17、（文）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列结论错误的是 （ ）
A．和均为的最大值. B．；
C．公差； D．；
【答案】D
【21世纪教育网解析】由，，可知，且，所以，所以和均为的最大值. 所以A,B,C都正确，选D.
18、定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数()使得
对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”． 有下列关于“—伴随函数”的结论：①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”；
②“—伴随函数”至少有一个零点．；③是一个“—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）
A．1个； B．2个； C．3个； D．0个；
【答案】A
【21世纪教育网解析】①设是一个“—伴随函数”，则，当时，可以取遍实数集，因此不是唯一一个常值“—伴随函数”，故①不正确；
②令，得，所以，若，显然有实数根；若，．又因为的函数图象是连续不断，所以在上必有实数根．因此任意的“—伴随函数”必有根，即任意“—伴随函数”至少有一个零点，故②正确。③用反证法，假设是一个“—伴随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“—伴随函数”，故③不正确；所以正确的为1个，选A.
三 、解答题（12+14+14+16+18=74分）
19、已知集合，
集合,，
求实数的取值范围．（12分）
20、（文）设函数，其中；
（1）若的最小正周期为，求的单调增区间；（7分）
（2）若函数的图象的一条对称轴为，求的值．（7分）
21世纪教育网
21、某海域有、两个岛屿，岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以、所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。
（1）求曲线的标准方程；（6分）
（2）某日，研究人员在、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），、两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？（8分）
[来源:21世纪教育网]
22、（文）等比数列满足，，数列满足
（1）求的通项公式；（5分）
（2）数列满足，为数列的前项和．求；（5分）
（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由．（6分）
23、（文）设函数定义域为，且.
设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和
轴的垂线，垂足分别为．
（1）写出的单调递减区间（不必证明）；（4分）
（2）设点的横坐标，求点的坐标（用的代数式表示）；（7分）
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.（7分）
21世纪教育网
2012学年第一学期奉贤区高三期末数学调研试卷
参考答案21世纪教育网
一、填空题（56分）
1． 2． 3．
4． 5． 6．
7． 8． 9． 文或
10. 文 11 文 12．
13． 文 14． 文
二、选择题（20分）
15．B 16． C 17． 文D 18．A
三 、解答题（74分）
19、解： 1分
， 4分
， 6分

8分
10分

或 12分
21世纪教育网
20、（文）（1） 1分
3分
5分
令得，
所以，的单调增区间为： 8分
（2）的一条对称轴方程为
10分
12分
又， 14分
若学生直接这样做：的一条对称轴方程为
则得分为 11分
21、解（1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆 3分
又，则，故 5分
所以曲线的方程是 6分
（2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，
因此设此时距、两岛的距离分别比为 7分
即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里。 8分
设，，由 ， 10分
， 12分 21世纪教育网
13分
点的坐标为或 14分
22、解：（1）解：，所以公比 2分
计算出 3分
4分
5分
（2） 6分
于是 8分
= 10分
（3）假设否存在正整数，使得成等比数列，则
， 12分
可得，
由分子为正，解得，
由，得，此时，
当且仅当，时，成等比数列。 16分
说明：只有结论，，时，成等比数列。若学生没有说明理由，则只能得 13分
23、解：（1）、因为函数的图象过点，
所以 2分21世纪教育网
函数在上是减函数. 4分
（2）、（理）设 5分
直线的斜率
则的方程 6分
联立
9分

， 11分
（2）、（文）设 5分
直线的斜率为 6分
则的方程 7分
联立 8分

11分
3、 12分
13分
∴， 14分

， 15分21世纪教育网
∴ ， 16分
17分
当且仅当时，等号成立.
∴此时四边形面积有最小值. 18分