【解析】上海市奉贤区2013届高三上学期期末教学质量调研数学理试题

2012学年第一学期奉贤区高三期末数学理调研试卷
2013、1、17（一模）
一、填空题（56分）
1、关于的方程的一个根是，则_________．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为方程的根为虚根，所以也是方程的根，所以，即。
2、函数的最小正周期为 ．
【答案】
【21世纪教育网解析】
，其中为参数，所以周期。
3、集合，，则_________．
【答案】
【21世纪教育网解析】.,所以.
4、设直线：的方向向量是，直线2 ：的法向量是，若与平行，则_________．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为与平行，所以直线垂直。的斜率为，直线的斜率为，由，解得。
5、已知且若恒成立，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【21世纪教育网解析】，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为4，所以要使恒成立，所以。
6、设无穷等比数列的前n项和为，首项是，若，，则公比的取值范围是 ．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，所以，则，即，所以，因为，所以，所以，即，所以公比的取值范围是。
7、设函数为奇函数，则 ．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为函数是奇函数，所以，即，即，整理得，所以。
8、关于、的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则二阶行列式= .
【答案】
【21世纪教育网解析】由增广矩阵可知是方程组的解，所以解得，所以行列式为。
9、（理）已知函数那么的值为 ．
【答案】
【21世纪教育网解析】。
10、(理)函数的最大值为_________．
【答案】
【21世纪教育网解析】
，所以当时，函数有最大值为。
11、（理）设函数的反函数是，且过点，则经过点 ．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为过点，所以过点，所以函数过点，即函数过点。
12、已知函数是上的偶函数，是上的奇函数，，，则的值为_________．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，所以，即，因为是上的偶函数，所以，即，所以，即函数的周期是4，所以。因为，所以。所以。
13、（理）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”
给出如下定义：若，则点与点的“非常距离”为，
若，则点与点的“非常距离”为．
已知是直线上的一个动点，点的坐标是（0，1），则点与点的“非常距离”的最小值是_________．
【答案】
【21世纪教育网解析】设, 则，，若，则点与点的“非常距离”为，由得，，所以点与点的“非常距离”的最小值是。21世纪教育网
14、（理）设函数，是公差为的等差数列，，则 ．
【答案】
【21世纪教育网解析】,所以，，，，，所以，所以，，，因为，即，所以必有且，即。所以，，，所以。
二、选择题（20分）
15、设，则“”是“”的 ( )
A．充分而不必要条件； B．必要而不充分条件；
C．充分必要条件 ； D．既不充分也不必要条件；
【答案】B
【21世纪教育网解析】由得，或，即或，所以“”是“”的必要而不充分条件，选B.21世纪教育网
16、已知函数的图像如左图所示，则函数的图像可能是（ ）

【答案】C
【21世纪教育网解析】由图象可知，所以，函数为递减函数，排除A,B.函数的最小值为，即，所以选C.
17、（理）已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是（ ）
A．公差； B．在所有中，最大；
C．满足的的个数有11个； D．；[来源:21世纪教育网]
【答案】C
【21世纪教育网解析】由，得，即，，所以公差，。，。所以满足的的个数有12个，所以C为假命题，所以选C.
18、定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数()使得 对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”． 有下列关于“—伴随函数”的结论：①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”；
②“—伴随函数”至少有一个零点．；③是一个“—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）
A．1个； B．2个； C．3个； D．0个；
【答案】A
【21世纪教育网解析】①设是一个“—伴随函数”，则，当时，可以取遍实数集，因此不是唯一一个常值“—伴随函数”，故①不正确；
②令，得，所以，若，显然有实数根；若，．又因为的函数图象是连续不断，所以在上必有实数根．因此任意的“—伴随函数”必有根，即任意“—伴随函数”至少有一个零点，故②正确。③用反证法，假设是一个“—伴随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“—伴随函数”，故③不正确；所以正确的为1个，选A.
三 、解答题（12+14+14+16+18=74分）
19、已知集合，
集合,，
求实数的取值范围．（12分）
20、 （理） 设函数。
（1）求函数的最小正周期；（7分）
（2）设函数对任意，有，且当时， ，求函数在上的解析式．（7分）
21、某海域有、两个岛屿，岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以、所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。
（1）求曲线的标准方程；（6分）
（2）某日，研究人员在、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），、两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？（8分）
22、（理）定义数列，（例如时，）满足，且当（）时，.令．
写出数列的所有可能的情况；（5分）21世纪教育网
设，求（用的代数式来表示）；（5分）
求的最大值.（6分）
23、（理）设函数定义域为，且.
设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和
轴的垂线，垂足分别为．
（1）写出的单调递减区间（不必证明）；（4分）
（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，
若不是，则说明理由；（7分）
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.（7分）
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2012学年第一学期奉贤区高三期末数学调研试卷
参考答案
一、填空题（56分）
1． 2． 3．
4． 5． 6．
7． 8． 9．理
10．理 11．理 12．
13． 理 14．理

二、选择题（20分）
15．B 16． C 17． 理C 18．A
三 、解答题（74分）
19、解： 1分21世纪教育网
， 4分
， 6分

8分
10分

或 12分
[来源:21世纪教育网]
20、（理） 2分（1+1）
4分
5分
（1）函数的最小正周期 7分
（2）当时， 9分
当时，
11分
当时，
13分
得函数在上的解析式为 14分
21、解（1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆 3分
又，则，故 5分
所以曲线的方程是 6分
（2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，
因此设此时距、两岛的距离分别比为 7分
即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里。 8分
设，，由 ， 10分
， 12分
13分
点的坐标为或 14分
22（理）解:（1）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
2个起评，对2个1分，3个2分，4个3分，5个4分，6个5分
（2），由，
则或（，）， 6分
，
，
…
，
所以． 7分
因为，所以，且为奇数， 8分
是由个1和个构成的数列． 9分
所以
． 10分
（3）
则当的前项取，后项取时最大， 12分
此时14分
证明如下：
假设的前项中恰有项取，则
的后项中恰有项取，其中，，，．
所以 ．

． 16分
所以的最大值为．
22、解：（1）解：，所以公比 2分
计算出 3分
4分
5分
（2） 6分
于是 8分
= 10分
（3）假设否存在正整数，使得成等比数列，则
， 12分
可得，
由分子为正，解得，
由，得，此时，
当且仅当，时，成等比数列。 16分
说明：只有结论，，时，成等比数列。若学生没有说明理由，则只能得 13分21世纪教育网
21世纪教育网
23、解：（1）、因为函数的图象过点，
所以 2分
函数在上是减函数. 4分
（2）、（理）设 5分
直线的斜率
则的方程 6分
联立
9分

， 11分[来源:21世纪教育网]

（3）、 12分
13分
∴， 14分

， 15分
∴ ， 16分
17分
当且仅当时，等号成立.
∴此时四边形面积有最小值. 18分