数学人教A版2019必修第二册8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（共27张ppt）

(共27张PPT)
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第八章　 §8.3　简单几何体的表面积与体积
与多面体一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它们的各个面的面积和．不同之处在于，围成圆柱、圆锥、圆台的面中有曲面，利用的展开图，可以得到它们的表面积公式．
(r是底面半径，l是母线长)
O′
O
r
（1）圆柱的表面积
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
r
O
S
(r是底面半径，l是母线长)
（2）圆锥的表面积
注：扇形的面积公式
(r是扇形所在圆半径，l是弧长)
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
O′
O
(r′、r分别是上、下底面半径，l是母线长)
（3）圆台的表面积
O′
O
（3）圆台的表面积公式推导
r和 分别是上、下底面半径，l是母线长
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
思考 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
圆柱
圆锥
圆台
2πr
O
S
l
r

l
O
O'
2πr
r


O'
O
r'
2πr'
r
l
2πr


上底面扩大到与下底面全等
上底面缩小为一个点
r′=r
r′=0
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底＝ ；
侧面积：S侧＝ ；
表面积：S＝__________
2πr2
2πrl
知识
2πr(r＋l)
旋转体 圆锥 底面积：S底＝ ；
侧面积：S侧＝ ；
表面积：S＝________
圆台 上底面面积：S上底＝ ；
下底面面积：S下底＝ ；
侧面积：S侧＝ ；
表面积：S＝_____________________
πr2
πrl
πr(r＋l)
πr′2
πr2
π(r′l＋rl)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
例1　(1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
√
解析　设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为
A.7 B.6 C.5 D.3
√
解析　设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧＝7π(r＋3r)＝84π，解得r＝3.
跟踪训练1　圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是
√
又侧面展开图为一个正方形，
问题　我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即
V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，
由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式:
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
S
O'
O
r'
r
l


h
h′
圆台的体积公式的推导:
l
O
O'
r
h


O
S
l
r
h

O'
O
r'
r
l


h
上底面缩小为一个点
上底面扩大到与下底面全等
r′=r
r′=0
思考 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系 你能用圆柱、圆锥、
圆台的结构特征来解释这种关系吗
l
O
O'
r
h


O
S
l
r
h

O'
O
r'
r
l


h
柱体
锥体
台体
S′=S
S′=0
思考 结合棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式，你将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝______ 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥 V圆锥＝ Sh＝_______ 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台 V圆台＝ _________________ 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
πr2h
知识梳理
例2　(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是
√
√
(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为______.
224π
解析　设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图.
∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.
∴下底面半径R＝8，高h＝8，
√
解析　作圆锥的轴截面，如图所示，
由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为h，底面半径为r，
1.球的表面积公式S＝ (R为球的半径).
2.球的体积公式V＝ .
4πR2
知识
三、球的表面积与体积
第一步：分割．如图所示将球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．
思考 小学,我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗 类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式
三、球的表面积与体积
第二步：近似替代．当n越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R．设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是
第三步：由近似和求得球体积．由于球的体积是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此球的体积：
三、球的表面积与体积
√
∴S球＝4πR2＝16π.
A.4π B.12π C.24π D.48π
√
∴S球＝4πR2＝12π.
√
解析　设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，
切点：各个面的中心。
球心：正方体的中心。
直径：相对两个面中心连线。
o
球的直径等于正方体棱长。
1、正方体的内切球
2、球与正方体的棱相切
球的直径等于正方体一个面上的对角线长
切点：各棱的中点。
球心：正方体的中心。
直径： “对棱”中点连线
3、 正方体的外接球
球直径等于正方体的（体）对角线
(2)将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为_____.