8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系-2020-2021学年高一数学同步课件（人教A版2019必修第二册）(共19张PPT)）

(共19张PPT)
8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
第八章　 §8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
三个推论：
　　推论一 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
　　推论二 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
　　推论三 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 过 过该点的公共直线．
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个
平面内．
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
P∈α，且P∈β α∩β=l，且P∈l．
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α．
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前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系：
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一、空间中两直线的位置关系
问题1 我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面. 12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，观察下图所示的长方体ABCD-A'B'C'D',你能发现直线与直线之间的位置关系吗
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
①直线AB与DC在同一个平面ABCD内，它们没有公共点，它们是平行直线.
②直线AB与BC在同一个平面ABCD内，它们只有一个公共点B，它们是相交直线.
③直线AB与CC'不同在任何一个平面内.
我们把这种不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
空间两条直线的三种位置关系
共面直线
：在同一平面内，有且只有___________
：在同一平面内，___________
异面直线：不同在任何一个平面内，___________
相交直线
一个公共点
平行直线
没有公共点
没有公共点
一、空间中两直线的位置关系
知识
如果直线a, b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如下图所示.
α
β
a
b
例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_____；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是______；
平行
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
异面
解析　直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_____；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是______.
相交
解析　直线D1D与直线D1C相交于点D1.
异面
解析　直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
一、空间中两直线的位置关系
跟踪训练1　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
√
解析　可借助长方体来判断.
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.
一、空间中两直线的位置关系
提示　(1)直线在平面内——有无数个公共点.
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点.
(3)直线与平面平行——没有公共点.
问题 观察下图所示的长方体ABCD-A'B'C'D',你能发现直线与平面之间的位置关系吗
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
二、直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有 公共点 公共点 公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
无数个
有且只有一个
知识
没有
二、直线与平面的位置关系
例2　(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
√
解析　直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，
故直线上有无数多个点在平面外.
二、直线与平面的位置关系
(2)(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是
A.若a∥b，b α，则a∥α
B.若a∥α，b∥α，则a∥b
C.若a∥b，b∥α，则a∥α
D.若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面
√
√
√
二、直线与平面的位置关系
解析　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
A1B1∥AB，AB 平面ABB1A1，
A1B1 平面ABB1A1，故A错误；
A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，
但A1B1与B1C1相交，故B错误；
AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，故C错误；
因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面.
跟踪训练2　下列命题中正确的个数是
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
二、直线与平面的位置关系
解析　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；
AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；
假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确.故选B.
提示　有两种.平行、相交.
特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直线.
问题 观察下图所示的长方体ABCD-A'B'C'D',你能发现平面与平面之间的位置关系吗
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
三、平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 公共点 有 个公共点(在一条直线上)
符号表示 _______ _________
图形表示
没有
无数
知识
α∥β
α∩β＝l
三、平面与平面的位置关系
例3　(多选)以下四个命题中，正确的有
A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行
C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不
为0，那么这两个平面平行
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
或相交
√
√
解析　当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以AB错误.
跟踪训练3　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.无法确定
√
解析　根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示.