8.2　立体图形的直观图-2020-2021学年高一下学期数学同步课件（人教A版2019必修第二册））(共30张PPT)

(共30张PPT)
§8.2　立体图形的直观图
第八章　 立体几何初步
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特．为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平
面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识.
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体
几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形.
一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关,而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关,若一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形(图8.2-2).
图8.2-2
【观察】如图8.2-1,矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状 眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状
图8.2-1
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法．利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45 (或135 )，它们确定的平面表示水平面．
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段．
A
B
C
D
你能用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图吗？
y
x
O
y′
x′
O′
D′
C′
B′
A′
①建立恰当的坐标系xO'y，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于
画点，作出坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45 (或135 )
②首先画与坐标轴平行或在坐标轴上的线段(平行性不变)，与x轴平行（含x轴上）的线
段长度不变，与y轴平行（含y轴上）的线段长度减半;
③与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
x
A
B
C
D
F
E
y
O
M
N
x'
y'
O'
A'
D'
M'
N'
B'
C'
F'
E'
【例1】用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
画直观图时，除多边形外，还经常会遇见画圆的直观图问题.生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
45°
135°
水平面
x′轴或y′轴
的线段
保持原长度不变
一半
例1　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
跟踪训练1　用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.
解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正△ABC的直观图，如图②所示.
画空间几何体直观图与平面图形的直观图画法相比，只是多画了一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴（或在z轴上）的线段的平行性和长度都不变.
x
y
o
z
x
y
o
【例2】已知长方体的长、宽、高ABCD-A′B′C′D′分别为3cm、2cm、1.5cm，
用斜二测画法画出它的直观图.
A
B
C
D
z
[画法]
（1）画轴. 画x轴、y轴、z 轴，三轴相交于点 O(A)，使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
（2）画底面.在x轴正半轴上取线段 AB，使AB=3 cm;在y轴正半轴上取线段 AD，使AD=1 cm.
过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，
则□ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
x
y
o
【例2】已知长方体的长、宽、高ABCD-A′B′C′D′分别为3cm、2cm、1.5cm，
用斜二测画法画出它的直观图.
A
B
C
D
z
A′
B′
C′
D′
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
（3）画侧棱. 在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5 cm，过B，C，D各点分别作z 轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段 BB'，CC'，DD'.
（4）成图.顺次连接A′，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了.
【例3 】已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图？
O
圆锥
O
球
对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线； 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性．
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个 轴，直观图中与之对应的是 轴.
(2)画底面：平面 表示水平平面，平面 和_________
表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中____
和 都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 .
z
z′
方法总结
x′O′y′
y′O′z′
x′O′z′
平行
性
长度
虚线
例2　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.
解　(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
跟踪训练2　用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)
解　画法：
(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；
画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；
②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝ MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且长度等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且长度等于EF；
③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.
(3)成图.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3).
例3　如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是______，其面积为___________.
菱形
解析　如图，在原图形OABC中，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四边形OABC是菱形.
跟踪训练3　(1)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴，y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
√
解析　因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形.
(2)已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为
√
解析　方法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.