8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-2020-2021学年高一下学期数学同步课件（人教A版2019必修第二册））(共16张PPT)

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8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
第八章　 §8.3　简单几何体的表面积与体积
问题　我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、棱台的展开图是什么样子的？
提示　
一. 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和.
概念
例1　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积.
解　如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，
一. 棱柱、棱锥、棱台的表面积
二. 棱柱、棱锥、棱台的体积
我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是：
Ｖ正方体＝a3（a是正方体的棱长）
Ｖ长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高）
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
　　一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积
特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.
二. 棱柱、棱锥、棱台的体积
　　如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积
二. 棱柱、棱锥、棱台的体积
思考 为什么一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，棱锥的体积是棱柱体积的三分之一？
二. 棱柱、棱锥、棱台的体积
　　如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
　　因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积
二. 棱柱、棱锥、棱台的体积
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
　　由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.




二. 棱柱、棱锥、棱台的体积
(S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高)
A
D
B
C
A′
B′
C′
D′
O
O′
P
棱台体积公式的证明
几何体 棱柱 棱台 棱锥
直 观 图
体 积
上底面缩小为一个点
S′=0
上底面扩大到与下底面全等
S′=S
棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系：
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 ，h为棱柱的___
棱锥 S为棱锥的 ，h为棱锥的___
棱台 V棱台＝ (S′＋ ＋S)h S′，S分别为棱台的 ，h为棱台的____
底面积
高
知识
底面积
高
上、下底面面积
高
解析　设三棱锥B1－ABC的高为h，
例2　(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为
√
(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.
解　正四棱台如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
在直角梯形EOO1E1中，
∴EE1＝13 cm.
例3　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
解　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.
因为A1B1＝AB＝6 m，
故仓库的容积是312 m3.
跟踪训练3　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积.
1.知识清单：
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.
(3)组合体的表面积与体积.
(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系.
2.方法归纳：等体积法、割补法.
3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.
课堂小结