8.4.1　平　面-2020-2021学年高一数学同步课件（人教A版2019必修第二册）(共22张PPT)

(共22张PPT)
8.4.1　平　面
第八章　 §8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
问题1　生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？
一、平面的概念、画法及表示
无限延展
不计大小
绝对的平
平面的几何特征
不计厚薄
没有质量
... ...
画 法 平面水平放置 平面竖直放置

表示 ①平行四边形的四个顶点：平面 ； ②对角顶点：平面 或平面 ； ③希腊字母：平面 ，平面__
平面的画法及表示
ABCD
AC
知识
BD
α
β
例1　(多选)下列说法正确的是
A.平面是处处平的面
B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形
D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
√
解析　平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；
CD两种说法是错误的.
√
跟踪训练1　下列说法正确的是
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.一个平面可以将空间分成两部分
√
解析　A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的；
B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的；
C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面；
D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分.
问题2 我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢？
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
A
B
C
α
简记为“不共线的三点确定一个平面”
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记为平面ABC．
直线、平面都可以看成是点的集合. 因此,
点A在直线l上, 记作A∈l; 点B在直线l外, 记作B l.
点A在平面α内,记作A∈α; 点P在平面α外,记作P α.
A
B
α
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个
平面内．
基本事实2也可以用符号表示为 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α．
问题3 如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？
平面可以看成是直线的集合.
如果直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l α；否则，就说直线l不在平面α内，记作l α.
　　如图，由基本事实1，给定不共线三点A，B，C，它们可以确定一个平面ABC； 连接AB，BC，CA，由基本事实2，这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC．组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”．
问题4 把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
l
P
基本事实3也可以用符号表示为 P∈α，且P∈β α∩β=l，且P∈l．
若平面α与β相交于直线l，则把l叫做α与β的交线，记作α∩β=l .
两相交平面的画法
在画两个平面相交时，一定要画出交线，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些，如图.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
α
a
A
α
α
b
a
b
a
P
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
平面的基本性质的推论
推论一 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
a
【证明】如图，设点A是直线a外一点，在直线a上任取两点B、C，
则由基本事实1，经过A、B、C三点确定一个平面α．
再由基本事实2，直线a也在平面α内，因此平面α经过直线a和点A．
再由基本事实1，经过不共线的三点A、B、C的平面只有一个，所以经过直线a和点A的平面只有一个.
推论二 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
【证明】如图，设直线a、b交于点C,点A、B分别是直线a、b上异于C的点，
由基本事实1，经过A、B、C三点确定一个平面α．
由基本事实2，直线a和直线b也在平面α内，因此平面α经过直线a和直线b．
由于点A、B、C分别在直线a、b上，所以它们在过a、b的平面内.
再由基本事实1，经过不共线的三点A、B、C的平面只有一个，所以过相交直线a、b的平面只有一个.
推论三 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
【证明】设直线a//b，因为当两条直线在同一个平面内，且不相交时叫做平行线，所以过直线a和b有平面α.
设A为直线a上任意一点，则点A不在直线b上，点A和直线b在过直线a、b的平面内，由推论1，过点A和直线b的平面只有一个.所以过平行直线a和b的平面只有一个．
角度1　点、线共面问题
例2　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
证明　如图所示，∵a∥b，
∴过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴l α，即过a，b，l有且只有一个平面.
跟踪训练2　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明　方法一　(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二　(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
角度2　共线、共点问题
例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.
证明　如图，连接EF，D1C，A1B，
因为E为AB的中点，F为AA1的中点，
所以E，F，D1，C四点共面，可设D1F∩CE＝P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以由基本事实3可得P∈DA，
即CE，D1F，DA三线交于一点.
变式若将题目条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D，A，M三点共线.
证明　因为D1F∩CE＝M，且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立.
所以点D，A，M三点共线.
M
跟踪训练3　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点.
证明　因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，
所以AB，CD必定相交于一点，
如图，设AB∩CD＝M.
又因为AB α，CD β，所以M∈α，且M∈β，
又因为α∩β＝l，
所以M∈l.即AB，CD，l共点.