高考试题中函数导函数和函数极值（或最值）问题的类型与解法 学案

函数导函数和函数极值（或最值）问题的类型与解法
运用函数导函数求解函数极值（或最值）问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及运用函数导函数求解函数极值（或最值）的问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），也可能是渗透到函数的大题；难度为中，高档。纵观各种考试试卷，归结起来函数导函数和函数极值（或最值）问题主要包括：①运用函数导函数求函数的极值；②运用函数导函数求函数的最值；③已知函数的极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答运用函数导函数求解函数单调性问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题： y
1、设函数f(x)在R上可导，其导函数为（x），
且函数y=(1-x) （x）的图像如图所示，则下列 -2 0 1 2 x
结论中一定成立的是（ ）
A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】当x<-2时，(1-x)>0，函数y=(1-x) （x）>0，（x）>0，当-20，函数y=(1-x) （x）<0，（x）<0，当10，（x）<0，当x>2时，(1-x)<0，函数y=(1-x) （x）<0，（x）>0，
函数f(x)在x=-2时，取得极大值f(-2)，在x=2时，取得极小值f(2)，D正确，选D。
2、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值就可求出a-b的值。
【详细解答】（x）=3+6ax+b，函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，（-1）=3-6a+b=0①，f(-1)=-1+3a-b+=0②，联立①②解得：a=1，b=3或a=2，b=9，a-b
=1-3=-2或a-b=2-9=-7。
3、求函数f(x)= 的极大值；
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；④
函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用判定函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)= 的极大值。
【详细解答】（x）===，令（x）=0解得：x=-1或x=1，①当b>0时，x，（x）， x (-，-1) -1 （-1，1） 1 （1，+ ）
f(x)的变化情况如表所示， （x） - 0 + 0 -
= f(1)= = ； f(x)
②当b<0时，x，（x），f(x)的变 x (-，-1) -1 （-1，1） 1 （1，+ ）
化情况如表所示，= f(-1) （x） + 0 - 0 +
= = ；综上所述，当b>0 f(x)
时，=；当b<0时，=。
4、已知函数f(x)=x-1+ (a∈R,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤函数极值的定义与性质；⑥判定函数在某点存在极值的基本方法；⑦求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数在某点导数的几何意义得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）运用判定函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值。
【详细解答】（1）（x）=1-=，曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，（1）==0，即a=e；（2）（x）=1-=，①当a0时，（x）>0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，此时函数f(x)不存在极值；②当a>0时，令（x）=0解得：x=lna， x（-∞，lna）时，（x）<0，x（lna，+∞）时，（x）>0，函数f(x)在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，即
= f(lna)= lna-1+1= lna，综上所述，当a0时，函数f(x)不存在极值；当a>0时，函数f(x)存在极小值lna。
5、已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)。
（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)的极值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤函数极值的定义与性质；⑥判定函数在某点存在极值的基本方法；⑦求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)当a=2时的导函数（x），根据函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法就可求出曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程；（2）运用判定函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值。
【详细解答】（1）当a=2时，f(x)=x-2lnx，（x）=1-，（1）=1-2=-1，
f(1)=1-0=1，曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程为：y-1=-(x-1),即y=-x+2；（2）
（x）=1-=，①当a0时， （x）＞0在（0，+∞）上恒成立，函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，即此时函数f(x)没有极值；②当a＞0时，令 （x）=0解得：
x=a， x（0，a）时，（x）<0，x（a，+∞）时，（x）>0，函数f(x)在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即函数f(x)存在极小值f(a)=a-alna, 综上所述，当a0时，函数f(x)没有极值；当a＞0时，函数f(x)有= a-alna。
6、设函数f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1。
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f(x)的单调区间及极值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤求函数单调区间的基本方法；⑥判定函数在某点存在极值的基本方法；⑦求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组就可求出a，b，c的值；（2）运用求函数单调区间和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间与极值。
【详细解答】（1）（x）=3a+2bx+c，函数f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1，（1）=3a+2b+c=0①， （-1）=3a-2b+c=0②，f(1)= a+b+c =-1③，联立①②③解得a=,b=0，c=-, a=,b=0，c=-；（2）由（1）知f(x)= -x，
（x）=-=（-1）=（x+1） x （-∞，-1）-1 （-1，1）1（1，+∞）
（x-1）,x，（x），f(x)的变化情况如表所示：（x） + - +
函数f(x)在区间（-∞，-1），（1，+∞）上单 f(x)
调递增，在区间（-1，1）上单调递减；= f(1)= -=-1，= f(-1)= -
+=1。
7、已知函数f(x)=a +b -3x在x= 1处取得极值。
（1）求a、b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）过点A（0,16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法；⑦函数在某点导数的几何意义；⑧求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（2）运用函数极值的性质和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值；（3）利用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法就可求出点A（0,16）曲线y=f(x)的切线方程。
【详细解答】（1）（x）=3a+2bx-3，函数f(x) 在x= 1处取得极值，（1）=3a+2b-3=0①， （-1）=3a-2b-3=0②，联立①②解得：a=1，b=0；（2）由（1）知f(x)=-3x，
（x）=3-3=3（x+1）（x-1），令（x）=0解得x=-1或x=1，x，（x），f(x)的变化情况如表所示：函数f(x)在区间（-∞，-1）， x （-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）
（1，+∞）上单调递增，在区间（-1，1）上单 （x） + - +
调递减；= f(1)=1-3=-2， f(x)
= f(-1)= -1+3=2；（3）当x=0时，f(0)=0-0=0 16，点A（0,16）不在曲线y=f(x)上，设切线与曲线y=f(x)的切点为（，f()）, （）=3-3, f()=-3,曲线y=f(x)在点（，f()）处的切线方程为：y-(-3)=(3-3)(x-),y=(3-3)x-2,
点A（0，16）在切线上，16=-2，=-2，过点A（0，16）曲线y=f(x)的切线方程为：y=9x-16。
8、若函数y= f(x)在x=处取得极大值或极小值，则称为函数y= f(x)的极值点。已知a、b是实数，-1和1是函数f(x)= +a+bx的两个极值点。
（1）求a和b的值；
（2）设函数g(x)的导函数（x）=f(x)+2，求g(x)的极值点。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（2）运用判断函数在某点存在极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值点。
【详细解答】（1）（x）=3+2ax+b，函数f(x) 在x= 1处取得极值，（1）=3+2a+b=0①， （-1）=3-2a+b=0②，联立①②解得：a=0，b=-3；（2）由（1）知f(x)=-3x，
（x）=f(x)+2=-3x+2=（x-1）(+x-2)= (x+2)，令（x）=0解得x=-2或x=1，x，（x），f(x)的变化情况如表所示： x （-∞，-2）-2 （-2，1）1（1，+∞）
函数f(x)在点x=-2处取得极小值f(-2) ，即 （x） - + +
函数f(x)只有一个极小值点（-2，f(-2) ）。 f(x)
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用导数求函数极值的问题，解答这类问题应该理解函数极值的定义，掌握函数极值存在的判定方法和求函数极值的基本方法；
（2）函数在某点存在极值的必要条件是该点的导数值为0；函数的导数在某点的导数值为0，函数在该点的极值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函数在某点的极值是否存在或确定函数在某点存在极大值还是极小值的基本方法是：①求出该点的导数值，看是否为0，②判定函数在该点左右的导数值的符号，③运用极值存在定理判定该点是否是极值点，④运用极大值或极小值的判断方法确定函数在该点是极大值还是极小值并求出该点的函数值，⑤得出结果；
（4）与函数极值相关问题的常见题型有：①根据函数图像判断函数的极值；②求函数的极值；③已知函数的极值求参数的值或取值范围；
（5）求函数极值的基本方法是：①求函数的导函数，②求出导函数等于0这个方程的根，③判定这些点哪些极值点，④确定极值点是极大值还是极小值，⑤求出函数在该点的极大值或极小值。
〔练习1〕按要求解答下列问题：
1、函数f(x)= +2的极值点的（ ）（答案：C）
A x=1 B x=-1 C x=1或x=-1或x=0 D x=0
2、函数y=-2x-的极大值是 ；（答案：函数y=-2x-的极大值是1。）
3、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；（答案：a-b=2或a-b=-23。）
4、已知函数f(x)= -3+6，求函数的单调区间及极值； （答案：函数f(x)在（-∞，-），（0，）上单调递减，在（-，0），（，+∞）上单调递增；= f(-)
=f()=-+6= ，= f(0)= 0-0+6=6。）
5、已知函数f(x)=a+b-3x在x=±1处取得极值。
（1）判断f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。（答案：（1）f(-1)是函数f(x)的极大值，f(1) 是函数f(x)的极小值；（2）过点A（0，16）曲线y=f(x)的切线方程为y=21x 16 。）
6、已知函数f(x)=x-1+ (aR,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。（答案：（1）a=e；（2）= f(lna)=lna-1+1=lna。）
7、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=1，x= 处取得极值。
（1）求a、b的值；
（2） 求函数f(x)的极值；
（3）若对x∈〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。（答案：（1）a=-，b=-；（2）= f()=-+-ln2=-ln2，= f(1)=- ++0=-。）
【典例2】解答下列问题：
1、求函数y=-2+5在区间〔-2，2〕上的最大值与最小值；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法；⑦函数最值的定义与性质；⑧求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，求出函数f(x) 在区间〔-2，2〕上的极值，同时求出f(-2)，f(2)的函数值，利用函数最值的性质和求函数最值的基本方法就可求出函数y=-2+5在区间〔-2，2〕上的最大值与最小值。
【详细解答】（x）=4-4x x -2 (-2，-1) -1（-1，0）0（0，1） 1（1，2） 2
=4x(x+1)(x-1)，令 （x）=0解 （x） - + - +
得：x=-1或x=0或x=1，x， f(x) 13 4 5 4 13
（x），f(x)的变化情况如图所示：= f(-2)= f(2)=13，= f(-1)= f(1)=4。
2、求函数y= - 的值域。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数最值的定义与性质； ⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x) 的导数（x），运用求函数最值的基本方法，求出函数f(x)的最小值与最大值，就可求出函数f(x)的值域。
【详细解答】函数f(x)的定义域为［-2，+），（x）= -
==
=0在［-2，+）恒成立，函数f(x) 在区间［-2，+）上单调递增，= f(-2)=0-1=-1，无最大值，函数f(x)的值域为［-1，+）。
3、已知aR，函数f(x)= +lnx-1。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)在区间（0，e）上的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤求曲线y=f(x)在某点处切线方程的基本方法；⑥求函数
极值的基本方法；⑦函数最值的定义与性质；⑧求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x) 当a=1时的导数（2）的值，根据函数在某点导数的几何意义和求曲线y=f(x)在某点处切线方程的基本方法就可求出曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间（0，e）上的最小值。
【详细解答】（1）当a=1时，（x）=-+=，（2）=， f(2)
= +ln2-1=ln2- ，曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为：y-( ln2- )= (x-2)，
即：y=x+ln2-1；（2）（x）=-+=，①当a0时，（x）＞0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在区间（0，+）上单调递增，此时函数f(x)在区间（0，e）上无最值；②当a＞0时，令（x）=0得x=a，x（0，a）时，（x）＜0， x（a，+）时，（x）＞0，函数f(x)在区间（0，a）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增，若a＜e, = f(a)=1+lna-1=lna，若a＞e，＞f(e)= +1-1=，综上所述，当a0时，函数f(x)在区间（0，e）上无最值，当0＜a＜e时，函数f(x)在区间（0，e）上的最小值为lna，当ae时，函数f(x)在区间（0，e）上无最小值。
4、已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数最值的定义与性质；⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x）；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间〔0，2〕上的最小值。
【详细解答】（1）函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)，（x）=-1=；（2）令
（x）=0得x=1-a, ①当1-a0，即a1时，（x）＜0在区间〔0，2〕上恒成立，函数f(x)在区间〔0，2〕上单调递减，即= f(2)=ln(2+a)-2；②当0＜1-a2，即0＜a＜1时，x［0，1-a）时，（x）＞0， x（a，+）时，（x）＜0，函数f(x)在区间（0，1-a）上单调递增，在区间（1-a，2］上单调递减， f(2)=ln(2+a)-2，f(0)=lna-0
=lna, f(2)- f(0) =ln(2+a)-2- lna=ln -2，若0＜a ＜，= f(0)= lna，若
a＜1，= f(2) =ln(2+a)-2，综上所述，当0＜a ＜时，函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值为= lna，当a时，函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值为=ln(2+a)-2。
5、已知函数f(x)=ax- ，x∈（0，2〕。
（1）若函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法；⑥函数最值的定义与性质；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值。
【详细解答】（1）（x）=a+=，①当a0时， （x）＞0在（0，2］上恒成立，函数f(x)在区间（0，2］上单调递增；②当a＜0时，令（x）=0解得：x=-或x=，若2，即a-时，（x）＞0在（0，2］上恒成立，函数f(x)在区间（0，2］上单调递增， 综上所述，若函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，则实数a的取值范围是［-，+）；（2）由（1）知，①当a-时，函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为= f(2)=2a-;②当＜2，即a＜-时， x∈（0，）时，（x）＞0，x∈（，2］时，（x）＜0，函数f(x) 在区间（0，）上单调递增，在区间（，2〕上单调递减，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为= f()=-2， 综上所述，当a［-，+）时，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为= f(2)=2a-，当a（-，-）时，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为=f()=-2。
6、已知函数f(x)=lnx-ax（a∈R）。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f(x)在［1，2］上的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法；⑥函数最值的定义与性质；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间［1，2〕上的最小值。
【详细解答】（1）（x）=-a=，①当a0时，（x）＞0在（0，+）上恒成立， 函数f(x) 在区间（0，+）上单调递增；②当a＞0时，令（x）=0解得：x=，
x（0，）时，（x）＞0， x（，+）时，（x）＜0，函数f(x)在区间（0，）上单调递增，在区间（，+）上单调递减，综上所述，当a0时，函数f(x) 在区间（0，+）上单调递增；当a＞0时，函数f(x)在区间（0，）上单调递增，在区间（，+）上单调递减；（2）①当＜1，即a＞1时，由（1）知（x）＜0在［1，2］上恒成立，函数f(x)在区间［1，2］上单调递减，= f(2)=ln2-2a；②当1＜2，即＜a1时，由（1）知， x［1，）时，（x）＞0， x（，2］时，（x）＜0， 函数f(x) 在区间［1，）上单调递增，在区间（，2］上单调递减， f(2)=ln2-2a，f(1)=ln1-a=-a，f(2)- f(1)=ln2-2a+a= ln2-a，若ln2＜a， =f(2)=ln2-2a，若ln2＞a，=f(1)=ln1-a=-a；③当2，即0＜a时，由（1）知（x）＞0在［1，2］上恒成立，函数f(x)在区间［1，2］上单调递增，
=f(1)=ln1-a=-a，综上所述，当0＜a＜ln2时，函数f(x)在区间［1，2］的最小值为=f(1)=ln1-a=-a；当ln2a时，函数f(x)在区间［1，2］的最小值为=f(2)=ln2-2a。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求函数的最值（或值域）的问题，解答这类问题应该理解函数最值（或值域）的定义和函数最值存在定理，掌握求函数最值（或值域）的基本求法，注意函数极值与最值之间的关系；
（2）利用导数求函数的最大值与最小值的理论依据是函数最值存在定理；
（3）函数的极值与最值的关系是：①区别：函数的极值是定义域上某一区间函数的最值，而函数最值是函数在整个定义域上的最值；②联系：当函数在某一开区间上只有一个极值点时，函数的极值就是函数的最值，当函数在区间上的极值点有多个时函数的极值不一定是函数的最值 ；
（4）求函数f(x)在闭区间〔a，b〕上的最值的基本方法是：①求出函数在闭区间〔a，b〕上的所有极值；②求出函数的端点值f(a) ，f(b)；③比较函数在闭区间〔a，b〕上的极值与端点值f(a) ，f(b)的大小，④得出函数的最值。
〔练习2〕按要求解答下列问题：
1、设函数f(x)= +2+x+1，试求函数f(x)在区间〔-1,1〕上的最大值与最小值；（答案：函数f(x)在区间〔-1,1〕上的最大值为f(1)= +2+1+1=，最小值为f(-2+ )=（7-4）（-2+）+2（7-4）-2++1=-2。）
2、已知a≥0,函数f(x)=( -2ax) ，求函数f(x)的最小值；（答案：= f(a-1+ )=2(1-)。）
3、已知函数f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函数f(x)在(0,1〕上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x)在(0,1〕上的最大值。（答案：（1）实数a的取值范围是[0，+）；（2）①当a0时，函数f(x)在(0,1〕上的最大值为f(1)=2a-1；②当a-1时，函数f(x)在(0,1〕上的最大值为f(1)=2a-1；③当-1【典例3】解答下列问题：
1、若函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤运用导函数判断函数存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数极值的性质和判断函数存在极值的基本方法得到关于参数a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（x）=-ax+1，函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，=-40①，（3）=10-3a＞0②，（）=-a＞0③，联立①②③解得：
2a＜，实数a的取值范围是［2，），B正确，选B。
2、设函数f(x)= --2x+5，若对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，则实数a的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数最值的定义与性质；⑤运用导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数最值的性质和求函数最值的基本方法求出函数f(x)= --2x+5在区间［-1,2］的最小值，从而得到实数a的取值范围。
【详细解答】（x）=3-x-2，令 x -1 (-1,- ) - (-,1) 1 (1,2) 2
（x）=0解得：x=- 或x=1，x， （x） + - +
（x），f(x)在区间［-1,2］上的变化 f(x) 7
情况如表所示： x∈［-1,2］时, = ，对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，实数a的取值范围是（-∞，）。
3、已知函数f(x)=lnx，g(x)= a+2x(a 0)。
（1）若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若函数h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上单调递减，求a的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质； ⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数g(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）利用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（1） h(x)=f(x)-g(x)= lnx-a-2x， (x)= -ax-2=，
函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间， (x)= 0，即a+2x-10有解，①当a＞0时，=4+4a=4（a+1）＞0, x∈［，+∞）时， (x)= 0，即函数h(x)在区间; ［，+∞）上单调递减 ②当a＜0时，=4+4a=4（a+1）＞0，即-1＜a＜0时，x∈（，）时， (x)= 0，即函数h(x)在区间; （，）上单调递减 ，综上所述，若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(-1，0) （0，+∞）；（2）函数h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上单调递减， (x)= 0，即a-在［1，4］上恒成立，设函数m（x）=-，（x）=-+=0在区间［1，4］上恒成立，函数m（x）在区间［1，4］上单调递增， x［1，4］时，= m（4）=-=-，若函数h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上单调递减，则实数a的取值范围是［-，+∞）。
『思考问题3』
（1）【典例】是已知函数的极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要根据运用函数导函数判断函数在某点存在极值和求函数极值（或最值）的基本方法得到关于参数的方程，不等式（或不等式组），然后求解方程，不等式（或不等式组）就可得出答案；
（2）已知函数极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数f(x)在某点存在极值的必要条件和求函数极值（或最值）的基本方法寻求函数解析式中参数应该满足的条件；②函数f(x)在某点存在极值的必要条件是函数在该点的导数值为0，判断函数在该点是否存在极值的基本方法是函数在该点左右的导函数符号相异，函数在某点的极值就是函数在该点的函数值，函数最值是依据函数最值存在定理，在求出函数极值的基础上确定函数的最值；③根据②得到关于参数的方程，不等式（或不等式组）；④求解方程，不等式（或不等式组）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；（答案：a-b=2或a-b=-23。）
2、已知函数f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函数f（x）在点（1，f(1)）处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围。（答案：（1）a=2；（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（-∞，1]。）
3、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=-1，x= 处取得极值。
（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）若对x〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。（答案：（1）a=-，b=-；（2）= f(1)=- ++0=-，= f()=-+-ln2=-ln2；
（3）实数c的取值范围是（-∞，-+2ln2）。）