1.1 探索勾股定理（一）
一、预习检测
1.直角三角形的性质：
角：直角三角形，两锐角______ _。
面积：直角三角形面积= 。
2.勾股定理：直角三角形 的平方和等于 的平方。
如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c，那么
（我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。）
3. 在中， （1）如果a=3，b=4，则c= ；（2）如果a=6，b=8，则c= ；
二、课堂学习
知识点1 通过计算面积的方法探索勾股定理
【 例1 】如图所示，每个小方格代表一个单位面积，观察图2，图3，完成下表。你能利用它说明勾股定理吗？
A的面积
B的面积
C的面积
图2
图3
规律
归纳与小结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于 。
巩固练习：
1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边长在△ABC外做正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S3=225，则S2=
2.如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为，请说明之间的关系，并说明理由。
知识点2 勾股定理的应用
【 例2 】在中，,两直角边分别为a、b，斜边为c
(1)已知a=5，b=12，求c。 （2）已知c=25，b=7，求a。
变式：在中，，已知a=5，b=12，求c的值。
归纳与小结：1.只有在 中才能运用勾股定理。2.运用勾股定理时应明确直角边和斜边。
3.已知直角三角形任意两边，运用____________求出第三边。已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c是△ABC的三边，则⑴c= 。（已知a、b，求c）；⑵a= 。（已知b、c，求a）；⑶b= 。（已知a、c，求b）
巩固练习：
1．判断：（1）已知a、b、c是三角形的三边，则 （ ）
（2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。 （ ）
（3）在 （ ）
2.如图， 则x= ，y=
3.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为___________。
4.已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长的平方为 ．
5．直角三角形一条直角边与斜边分别为4cm和5cm， 则斜边上高为 cm
【 例3】在△ABC中，∠C=900，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c。若c=40，a∶b=3∶4，求a,b。
归纳与小结：三角形边长成比例时，考虑列方程解题,直角三角形中利用 列方程。
巩固练习：一直角三角形的斜边比一条直角边大2，另一直角边为6，求斜边长。
三、课堂小结
１.这节课你有哪些收获？
2.这节课你感觉还有哪些问题？
四、当堂检测
1．如图，阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积是100cm2，
则a的长是 cm
2.在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则AC=
3．直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和17cm， 则斜边上高为 cm
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则正方形①，②，③，④的面积之和为 cm2．
1.1 探索勾股定理（二）
一、预习检测
1.如图１，从电线杆离地面8米处向地面拉一条缆绳，这条缆绳在地面上的固定点距离电线杆底部15米，则这条缆绳的长为 米。
2.如图２，一根竹竿，在离地９m处断裂，竹竿顶部抵着地面，
此时顶部距底部有１２m，竹竿长为 。
３.如图３，已知Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB ，若BC=7，AB=25，
CD的长为 。
直角三角形的面积= = ，（a,b为直角边，c为斜边，h为斜边上的高）
二、课堂学习
知识点1 利用拼图的方法验证勾股定理
【 例1 】如图（1）（2），是由四个全等的直角三角形拼成正方形，你能利用它说明勾股定理吗？
解：
图(1)中，大正方形的面积可以表示为：
还可以表示为： 所以
化简得：
图(2)中，大正方形的面积可以表示为：
还可以表示为：
所以：
化简得：
归纳与小结：面积可以利用面积公式直接计算，也可以间接计算（分割成小面积）
巩固练习：1.假设如图4中的直角三角形有若干个，你能运用图4中所给的直角三角形拼成另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图，并说明理由。(提示：书11页数学理解2)
知识点2 利用勾股定理解决实际问题
【 例2】已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的高和面积.
归纳与小结：利用等腰三角形（等边三角形）的 性质和直角三角形的 定理知识解题。
巩固练习：已知等边三角形的边长为2cm，则它的高的平方为 ．
【 例3】我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
归纳与小结：遇到实际问题，需要画图，建立几何模型（构造 三角形），运用 知识解题。
巩固练习：如图5（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测得BD=0.5米，
求梯子顶端A下落了多少米？
三、课堂小结
１.这节课你有哪些收获？
2.这节课你感觉还有哪些问题？
四、当堂检测
1. 已知等腰三角形底边和腰的长分别为24 cm和13 cm，则它面积为 ．
2.如图6，在此长方形零件中有两孔．根据图中所给数据，求出两孔的孔心距离．
3. 暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往
东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北
走6 km处往东一拐，仅1 km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点
的直线距离是多少？
1.3 蚂蚁怎样走最近
一、预习检测
1.欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要 米长的梯子。
2. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险．某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东
行走．1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进．上午10∶00，甲、乙两人相距 。
二、课堂学习
【 例1 】如图1，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3)．
（1）自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是多少?
图1
归纳与小结：将曲面的路线问题 侧面展开图上的平面问题 用勾股定理解决的数学问题。
巩固练习：
1.如图2所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到D点，则小虫爬行的最短路程是 .
【 例2 】如图，长方体的高为3，底面是长方形，边长分别为4和2，现有绳子从出发，沿长方体表面到达处，最短需要多少绳子？？
归纳与小结：几何体表面最短距离问题，通常是将几何体表面 ，求展开图中两点之间的最短距离．求长方体表面最短距离问题须根据三种不同的展开图分别计算，比较得出最短距离。
巩固练习：
1、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm．点离点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少?
【 例3 】如图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的
AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD长是50厘米.AD边垂直于AB边吗？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
本节课你还有哪些问题？提出来和大家一起探讨。
三、课堂小结
1.学会在解决几何体表面的最短距离问题时可以将立体图形展开将空间问题 为平面问题。
2.利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型。
四、当堂检测
1．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 。
2. 一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做多长？
3.如下图，长方体的高为3，底面是正方形，边长为2，现有绳子从出发，沿长方体表面到达处，问绳子最短是多少厘米？
