北师大版2021—2022学年度七年级下册第一单元《整式的乘除》单元测试卷（困难）（含解析）

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北师大版初中数学七年级下册第一单元《整式的乘除》单元测试卷（困难）
考试范围：第一章；考试时间：100分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
下列各式中，计算正确的是
A. B. C. D.
若，则的值是
A. B. C. D.
比较，，的大小正确是
A. B. C. D.
一质点从距原点个单位的点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，则第次跳动后，该质点到原点的距离为
A. B. C. D.
下面是一名学生所做的道练习题：，他做对的个数
A. B. C. D.
已知实数，，，满足，，则
A. B. C. D. 无法计算
若展开后不含的一次项，则与的关系是
A. B. C. D.
在的乘积中，含项的系数为
A. B. C. D.
请你估计一下的值应该最接近于
A. B. C. D.
已知实数、、满足，则的最大值是
A. B. C. D.
下列各式中，正确的是
A. B.
C. D.
计算，结果正确的是
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，两个正方形边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为_________．
数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 请填上正确的序号
若，则 ______ ．
我们知道下面的结论，若，且，则，利用这个结论解决下列问题：设，，，现给出、、三者之间的三个关系式：，，，其中正确的是________填编号
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
，，求的值
若，求的值
已知，
求的值；
求的值。
已知，，用含的代数式表示
若，，求的值．
若的积中不含项与项，
求、的值；
求代数式的值．
如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．
设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，；
请写出上述过程所揭示的乘法公式；
试利用这个公式计算：
如图，是用个全等的长方形拼成一个“回形”的正方形，试将图中阴影部分面用两种方法表示可得一个等式，这个等式为______________．
若，，利用中的等式，求的值．
小刚同学动手剪了如图所示的正方形与长方形纸片若干张．
观察与操作：
他拼成如图所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：，验证了完全平方公式；即：多项式分解因式后，其结果表示正方形的长与宽两个整式的积．
当他拼成如图所示的矩形，由面积相等又得到：，即：多项式分解因式后，其结果表示矩形的长与宽两个整式的积．
问题解决：
请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式：画图说明，并写出其结果
试猜想面积是的矩形，其长与宽分别是多少？画图说明，并写出其结果
先化简，再求值：，其中．
答案和解析
1.【答案】
【解析】分析
分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
详解
解：，正确，故本选项符合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是同底数幂的乘法和有理数的乘方运算首先根据有理数的乘方运算把原式变形为，再由同底数幂的运算得到，解出的值即可．
【解答】
解：，
，
，
，
．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了幂的乘方和积的乘方的应用．
先根据幂的乘方法则把四个式子转化为指数相同的式子，再根据底数的大小比较即可．
【解答】
解：，
，
，
．
．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
质点从点处向原点方向跳动，
第一次跳动到的中点处，此时质点到原点的距离为，
第二次从跳到的中点处，此时质点到原点的距离为，
第三次从点跳到的中点处，此时质点到原点的距离为，
第次从点跳到的中点处，此时质点到原点的距离为，
第次跳动后，该质点到原点的距离为，
故选：．
根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离原点的处，第二次从点跳动到处，即在离原点的处，则跳动次后，即跳到了离原点的处，即可根据规律计算出到原点的距离．
本题主要考查负整数指数幂及数字的规律探索，这类题型在中考中经常出现．找出各个点跳动的规律并理解是解题关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的乘方，合并同类项法则，负整数指数次幂的运算，幂的乘方与积的乘方，是基础题，熟记各性质是解题的关键．根据有理数的乘方，合并同类项法则，负整数指数次幂等于正整数指数幂的倒数，幂的乘方与积的乘方的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】
解：，故本小题错误；
，故本小题错误；
，故本小题错误；
，故本小题正确；
综上所述，做对的个数是．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．
本题需要综合运用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则，将式子通过变形后整体代入求解，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解，有一定难度．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．利用多项式乘多项式法则计算，令一次项系数为求出与的关系式即可．
【解答】
解：，
结果不含的一次项，
，即．
故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查多项式乘多项式，解题的关键是正确理解展开式，利用含的项是由的个括号中个括号出仅个括号出常数，即可得到展开式中含项的系数．
【解答】
解：含的项是由的个括号中个括号出仅个括号出常数
展开式中含的项的系数是．
故选A．

9.【答案】
【解析】分析
此题主要考查平方差公式的性质及其应用，解题的关键是利用平方差公式进行展开．利用平方差公式，对所求式子进行化简，从而进行求解．
详解
解：，
原式
的值应该最接近于．
故选B．
10.【答案】
【解析】解：实数、、满足，
当时的最大值是．
故选：．
由题意实数、、满足，可以将，用和表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查同底数幂的乘法、多项式乘多项式、完全平方公式和平方差公式的知识点，熟练掌握法则和性质并灵活运用是解题的关键根据同底数幂的乘法、多项式乘多项式、完全平方公式和平方差公式的运算法则进行计算，即可解答．
【解答】
解：．，本选项错误；
B.，本选项错误；
C.，本选项错误；
D.，本选项正确．
故选D．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查多项式除以单项式，用被除的每一项与除式分别相除，再将结果相加，属于容易题．
【解答】
解：根据多项式除以单项式的运算法则可知，
．
故选C．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了整式的化简求值，正确列出代数式是解题的关键．
分析图形可得阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，据此计算可得关系式；代入，，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，阴影部分的面积为两个正方形面积减去两个空白三角形面积．
即


将，代入，
阴影部分的面积为，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：在图中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积，
故可得：，可以验证平方差公式；
在图中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，
可得：，可以验证平方差公式；
在图中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，
可得：，不可以验证平方差公式．
故答案为：．
针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前后的面积是得出答案的前提．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，根据幂的乘方把第二第三个因式都化为底数为的形式，结合同底数幂的运算，可求结果．
【解答】
解：由已知可得：
原式
，
解得．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式，本题属于中等题型根据同底数幂的乘法公式即可求出、、的关系．
【解答】
解：因为，
所以，，
因为，
所以，
，故此结论正确；
，故此结论正确；
，故此结论错误；
故答案为．
17.【答案】解：因为
，
又因为，

原式
．
【解析】此题考查了同底数幂乘法，难度较难．
把已知的等式两边都化成以为底的同底指数幂，分别求出，的值即可计算；
把化成以为底的同底的指数幂的积，再根据求值．
18.【答案】解：，
；
，
．
【解析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方．
逆向应用同底数幂的乘法，计算即可求得答案；
利用幂的乘方与积的乘方法则，变形为，代入即可求得答案．
19.【答案】解：由，，
得，，

由，，
得，
即，
．
．
．
【解析】见答案
20.【答案】解：，
积中不含项与项，
，，
，，
．
【解析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确求出，的值．
展开式子，找出项与项，令其系数等于求解即可．
把，的值代入求解即可．
21.【答案】解：，，
，
．
【解析】图的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积；图矩形的长为，宽为，因此面积为；
由图和图阴影部分的面积相等，即可得出等式；
配个因式，连续利用平方差公式进行计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提．
22.【答案】解：．
由得，，
，
．
【解析】
【分析】
本题主要考查完全平方公式的结合背景解题关键是熟练掌握完全平方公式，并能进行应用．
我们通过观察可知阴影部分面积为，由大正方形的面积减去中间小正方形的面积也可得到，从而得出等式．
可利用上题得出的结论求值．
【解答】
解：第一种表示是，
第二种表示是，
则等式是．
故答案为．
见答案．
23.【答案】解：，
图形如下：
，所画图形如下：
【解析】先将分解，然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形．
将分解，然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形．
本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．
24.【答案】解：原式
，
，
又，，
，，
即，．
当，时，
原式
【解析】根据非负数的和为时，各个非负数都为，确定、的值，代入多项式化简后的结果中．
本题考查了多项式的化简、非负数的性质．解决本题的关键是根据非负数的和为，确定、的值．
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