沪科版数学七年级下册 8.1 幂的运算 教案

幂的运算
【教学内容】
同底数幂的乘法
【教学目标】
（一）教学知识点：
1．经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义。
2．了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。
（二）能力训练要求：
1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力。
2．学习同底幂乘法的运算性质，提高解决问题的能力。
（三）情感与价值观要求：
在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心。
【教学重点】
同底数幂的乘法运算法则及其应用。
【教学难点】
同底数幂的乘法运算法则的灵活运用。
【教学方法】
引导启发法：
教师引导学生在回忆幂的意义的基础上，通过特例的推理，再到一般结论的推出，启发学生应用旧知识解决新问题，得出新结论，并能灵活运用。
【教学过程】
（一）创设问题情景，引入新课
［师］同学们还记得“an”的意义吗？
［生］an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方。乘方的结果叫幂，a叫做底数，n是指数。
［师］我们回忆了幂的意义后，下面看这一章最开始提出的问题：
问题1：我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”计算机每秒可计算2.57×1015次运算。它工作1h（3.6×103s）共进行了多少次运算？
［生］根据距离=速度×时间，可得：
2.57×1015×3.6×103＝2.57×3.6×1015×103
［师］1015×103如何计算呢？
［生］根据幂的意义：
1015×103=×
=
=1018
［师］很棒！我们观察1015×103可以发现1015、103这两个因数是同底的幂的形式，所以1015×103我们把这种运算叫做同底数幂的乘法。
由问题1不难看出，我们有必要研究和学习这样一种运算——同底数幂的乘法。
（二）学生通过做一做，推导出同底数幂的乘法的运算性质。
1．做一做
计算下列各式：
（1）22×23；
（2）105×108；
你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言加以描述。
［师］根据幂的意义，同学们可以独立解决上述问题。
［生］（1）22×23=（2×2）×（2×2×2）=25=22+3
因为22的意义表示两个2相乘；23的意义表示三个2相乘。根据乘方的意义5个2相乘就表示25同样道理，可求得：
（2）105×108
=×
=1013=105+8
从上面的小题可以发现，底数都为10的幂相乘后的结果底数仍为10，指数为两个同底的幂的指数和。
我们可以发现底数相同的幂相乘的结果的底数和原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和。
2．议一议
am·an等于什么（m、n都是正整数）？为什么？
［师生共析］am·an表示同底的幂的乘法，根据幂的意义，可得
am·an=·
==am+n
即有am·an=am+n（m，n都是正整数）
用语言来描述此性质，即为：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
［师］同学们不妨再来深思，为什么同底数幂相乘，底数不变，指数相加呢？即为什么am·an=am+n呢？
［生］am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，即有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·an=am+n。
［师］也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降低一级运算，变为相加。
（三）例题讲解
［例1］计算：
想一想：am·an·ap等于什么？
［生］am·an·ap=（am·an）·ap=am+n·ap=am+n+p；
［生］am·an·ap=am·（an·ap）=am·an+p=am+n+p；
［生］am·an·ap=··=am+n+p。
（四）练习
1．随堂练习
2．补充练习：判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）x3·x5=x15 （ ）
（2）x·x3=x3 （ ）
（3）x3+x5=x8 （ ）
（4）x2·x2=2x4 （ ）
（5）（-x）2·（-x）3=（-x）5=-x5 （ ）
（6）a3·a2-a2·a3=0 （ ）
（7）a3·b5=（ab）8 （ ）
（8）y7+y7=y14 （ ）
解：（1）×。因为x3·x5是同底数幂的乘法，运算性质应是底数不变，指数相加，即x3·x5=x8。
（2）×。x·x3也是同底数幂的乘法，但切记x的指数是1，不是0，因此x·x3=x1+3=x4。
（3）×。x3+x5不是同底数幂的乘法，因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算，同时x3+x5是两个单项式相加，x3和x5不是同类项，因此x3+x5不能再进行运算。
（4）×。x2·x2是同底数幂的乘法，直接用运算性质应为x2·x2=x2+2=x4。
（5）√。
（6）√。因为a3·a2-a2·a3=a5-a5=0。
（7）×。a3·b5中a3与b5这两个幂的底数不相同。
（8）×。y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项，因此应用合并同类项法则，得出y7+y7=2y7。
（五）课时小结
［师］这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
［生］在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义。了解了同底数幂乘法的运算性质。
［生］同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加。应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加。即am·an=am+n（m、n是正整数）。
（五）备课资料
1．参考例题
［例1］计算：
（1）（-a）2·（-a）3
（2）a5·a2·a
分析：（1）中的两个幂的底数都是-a；（2）中三个幂的底数都是a。根据同底数幂的乘法的运算性质：底数不变，指数相加。
解：
（1）（-a）2·（-a）3
=（-a）2+3=（-a）5
=-a5
（2）a5·a2·a=a5+2+1=a8
评注：（2）中的“a”的指数为1，而不是0。
［例2］计算：
（1）a3·（-a）4
（2）-b2·（-b）2·（-b）3
分析：底数的符号不同，要把它们的底数化成同底的形式再运算，运算过程中要注意符号。
解：
（1）a3·（-a）4=a3·a4=a3+4=a7
（2）-b2·（-b）2·（-b）3
=-b2·b2·（-b3）
=b2·b2·b3=b7
评注：（1）中的（-a）4必须先化为a4，才可运用同底数幂的乘法性质计算；（2）中-b2和（-b）2不相同，-b2表示b2的相反数，底数为b，而不是-b，（-b）2表示-b的平方，它的底数是-b，且（-b）2=（+b）2，所以（-b）2=b2，而（-b）3=-b3。
［例3］计算：
（1）（2a+b）2n+1·（2a+b）3·（2a+b）m-1
（2）（x-y）2（y-x）3
分析：分别把（2a+b），（x-y）看成一个整体，（1）是三个同底数幂相乘；（2）中底不相同，可把（x-y）2化为（y-x）2或把（y-x）3化为-（x-y）3，使底相同后运算。
解：（1）（2a+b）2n+1·（2a+b）3·（2a+b）m-1
=（2a+b）2n+1+3+m-1
=（2a+b）2n+m+3
（2）解法一：（x-y）2·（y-x）3
=（y-x）2·（y-x）3
=（y-x）5
解法二：（x-y）2·（y-x）3
=-（x-y）2（x-y）3
=-（x-y）5
评注：（2）中的两个幂必须化为同底再运算，采用两种化同底的方法运算得到的结果是相同的。
［例4］计算：
（1）x3·x3 （2）a6+a6 （3）a·a4
分析：运用幂的运算性质进行运算时，常会出现如下错误：am·an=amn，am+an=am+n。例如（1）易错解为x3·x3=x9；（2）易错解为a6+a6=a12；（3）易错解为a·a4=a4，而（1）中3和3应相加；（2）是合并同类项；（3）也是易忽略的地方，把a的指数1看成0.
解：（1）x3·x3=x3+3=x6；（2）a6+a6=2a6；（3）a·a4=a1+4=a5
【作业布置】
课本习题8.1第1题
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