沪科版数学七年级下册 10.1 相交线 教案

相交线
【课时安排】
3课时
【第一课时】
【教学目标】
1．经历探究对顶角、邻补角的位置关系的过程；
2．了解对顶角、邻补角的概念；
3．知道“对顶角相等”并会运用它进行简单的说理。
【教学重难点】
对顶角、邻补角的概念和“对顶角相等”是重点；正确区别互为邻补角与互为补角和运用“对顶角相等”说理是难点。
【教学过程】
（一）情景导入
〔投影1〕下图是一段铁路桥梁的侧面图，找出图中的相交线、平行线。
“米”字形中的线段都相交，“米”字形中间的线段都平行等等。
相交线和平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用。我们将在前一章的基础上，进一步研究直线间的位置关系，同时还要介绍一些有关推理证明的常识，为后面的学习做些准备。
（二）邻补角和对顶角
〔投影2〕下面是一把剪刀，你能联想到什么几何图形？
两条直线相交，如图。
上图中两条相交直线形成的四个角中，两两相配共能组成六对角，即：
∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4、∠2和∠3、∠2和∠4、∠3和∠4。
量一量各个角的度数，你能将上面的六对角分类吗？
可分为两类：∠1和∠2、∠1和∠4、∠2和∠3、∠3和∠4为一类，它们的和是180°；∠1和∠3、∠2和∠4为二类，它们相等。
第一类角有什么共同的特征？
一条边公共，另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角，互为邻补角。
讨论：邻补角与补角有什么关系？
邻补角是补角的一种特殊情况，数量上互补，位置上有一条公共边，而互补的角与位置无关。
第二类角有什么共同的特征？
有公共的顶点，两边互为反向延长线。
具有这种位置关系的角，互为对顶角。
思考：〔投影3〕下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是〔 〕
A B C D
注意：对顶角形成的前提条件是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个。
（三）对顶角的性质
在用剪刀剪布片的过程中，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开布片。在这过程中，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角有什么关系？
为了回答这个问题，我们先来研究下面的问题。
如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠1和∠3有什么关系？为什么？
∠1和∠3相等。
∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°
∴∠1＝∠3（同角的补角相等）
同理∠2和∠4相等。
这就是说：对顶角相等。
你能利用这个性质回答上面的问题吗？
因为剪刀的构造可以看成两条相交的直线，所以两个把手之间的角与剪刀刃之间的角互为对顶角，由于对顶角相等，因此，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角始终相等。
（四）例题
〔投影4〕如图，直线a、b相交，∠1＝400，求∠2、∠3、∠4的度数。
分析：∠1和∠2有什么关系？∠1和∠3有什么关系？∠2和∠4有什么关系？
解：∵∠1＋∠2＝180°
∴∠2＝180°—∠1＝180°—40°＝140°
∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°
（五）课堂练习〔投影5〕
1．一个角的对顶角有______个，邻补角最多有______个，而补角则可以有______个。
2．下图中直线AB、CD相交于O，∠BOC的对顶角是______，邻补角是______。
3．课本练习。
（六）课堂小结
1．什么是邻补角？邻补角与补角有什么区别？
2．什么是对顶角？对顶角有什么性质？
【第二课时】
【教学目标】
1．了解垂线的概念。
2．理解垂线的性质1。
3．会用三角尺或量角器过一点画一条直线垂直于已知直线。
【教学重难点】
重点：垂线的概念、性质1和画法。
难点：画线段和射线的垂线。
【教学过程】
（一）情景导入
投影1：如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b。当b的位置变化时，a、b所成的角是如何变化的？其中会有特殊情况出现吗？当这种情况出现时，a与b是什么位置关系？
有，当＝900时；垂直。
（二）垂线
显然，垂直是相交的一种特殊情形，即两条直线相交成90°的情况。
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如图，直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD，垂足为O。
在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的，如：投影2
你能再举一些其它的例子吗？
思考：投影3：下面所叙述的两条直线是否垂直？
1．两条直线相交所成的四个角相等；
2．两条直线相交，有一组邻补角相等；
3．两条直线相交，对顶角互补。
都是垂直的。
（三）垂线的性质
1．探究：投影4：学生用三角尺或量角器画已知直线l的垂线。
（1）画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
（2）经过直线l上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条？
（3）经过直线l外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？
2．由画图可知：
（1）可以画无数条；
（2）可以画一条；
（3）可以画一条。
这就是说，经过直线上或直线外一点，可以画一条垂线，并且只能画一条垂线，即：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3．注意：
（1）“有”指存在，“只有”指唯一；
（2）“过一点”中的“点”在直线上或在直线外。
（四）课堂练习
课本第1题；
（五）课堂小结
1．垂线的概念，垂直的表示；
2．垂直的性质1；
3．垂线的画法。
【第三课时】
【教学目标】
1．了解垂线段的概念；
2．理解“垂线段最短”的性质；
3．体会点到直线的距离的意义， 并会度量点到直线的距离。
【教学重难点】
重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用；
难点：理解点到直线的距离的概念是难点。
【教学过程】
（一）情景导入
投影1：沙坑中留下一位同学跳远的足印，如何测量这位同学的跳远成绩？为什么这样量？
（二）垂线的性质2
演示：在黑板上固定木条l，l外一点P，木条a一端固定在点P，使之与l相交于点A。
左右摆动木条a，l与a的交点A随之变动，线段PA的长度也随之变化，a与l的位置关系怎样时，PA最短？
a与l垂直时，PA最短。这时的线段PA叫做垂线段。
〔投影2〕画出PA在摆动过程中的几个位置，如图，点A1、A2、A3……在l上，连接PA1、PA2、PA3……，PO⊥l，垂足为O，用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……的长短，可知垂线段PO最短。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：
垂线段最短。
（三）点到直线的距离
我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如上图，PO就是点P到直线l的距离。
注意：点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离。
（四）课堂练习
1．判断正确与错误，如果正确，请说明理由，若错误，请订正。
（1）直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离。
（2）如图，线段AE是点A到直线BC的距离。
（3）如图，线段CD的长是点C到直线AB的距离。
1题图 2题图
2．已知直线a、b，过点a上一点A作AB⊥a，交b于点B，过B作BC⊥b交a上于点C。请说出线段AE的长是哪一点到哪一条直线的距离？CD的长是哪一点到哪一条直线的距离？
3．课本练习2、3题
（五）课堂小结
1．垂线段、点到直线的距离概念
2．垂线的性质2及应用
1
2
1
2
1
2
1
2
·
a
b
b
如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b。当b的位置变化时，a、 b所成的角是如何变化的 其中会有特殊情况出现吗 当这种情况出现时,a与b是什么位置关系？
O
B BB
A
C BB
D BB
十字路口的两条道路
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
l
P
O
A2
A1
…
A3
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