北师大版（2019）高中数学 必修第二册 2.2.2 向量的减法(1) 教案

向量的减法
【教学目标】 【核心素养】
1．知道向量减法的定义，理解相反向量的意义． 2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量. 1．通过学习向量减法的定义及相反向量，体会数学抽象素养． 2．通过向量减法的运算及几何意义作出向量的差，体会数学直观素养.
【教学过程】
一、基础铺垫
向量的减法：
定义 把与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a； 规定：零向量的相反向量仍是零向量
性质 （1）零向量的相反向量仍是零向量，于是－0＝0； （2）互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （3）若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a
定义 向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法
几何 意义 如图，设＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
思考：向量减法的三角形法则是什么？
[提示] （1）两个向量a，b的始点移到同一点；
（2）连接两个向量(a与b)的终点；
（3）差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．
这种求差向量a－b的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．
二、合作探究
1．向量减法法则的应用
【例1】 如图所示，已知向量a．b．c．d，求作向量a－b．c－d．
[解] 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d．
则a－b＝，c－d＝.
【规律方法】
利用向量减法进行几何作图的方法
（1）已知向量a，b，如图①所示，作＝a，＝b，利用向量减法的三角形法则可得a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b．如图②所示，作＝a，＝b，＝－b，则＝a＋(－b)，即＝a－b．
2．向量加减法的混合运算
【例2】 化简下列各式：
（1）(＋)＋(－－)；
（2）－－.
[解] （1）法一：原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
法二：原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋＝＋＋
＝＋0＝.
（2）法一：原式＝－＝.
法二：原式＝－(＋)＝－＝.
【规律方法】
化简向量的和差的方法：
（1）如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号.
（2）可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简.
（3）化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点.
提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.
3．向量加减法的综合应用
[探究问题]
（1）向量减法的实质是什么？
[提示] 加法的逆运算．
（2）|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系如何？
[提示] |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
（3）怎样求两个向量的差？
[提示] 两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是对角线所对应的向量点，和向量是对角线所对应的向量，而差向量是另一条对角线所对应的向量，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为：共起点，连终点，指向被减．
（4）向量的模与平行四边形形状的几何结论有哪些？
[提示] 在 OACB中，＝a，＝b，则：
（1）若|a|＝|b|，则 OACB为菱形．
（2）若|a＋b|＝|a－b|，则 OACB为矩形．
（3）若|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则 OACB为正方形．
【例3】 如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，用向量a，b表示、，并回答下面几个问题．
（1）当a．b满足什么条件时，AC⊥BD
（2）当 ABCD满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|
[思路探究] 解答本题首先要弄清四边形与向量条件的对应关系，再结合图形，灵活转化求解．
[解] ∵＝a，＝b，∴＝a＋b，＝a－b．
（1）当|a|＝|b|时， ABCD为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，故此时有AC⊥BD．
（2）当 ABCD为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a＋b|＝|a－b|.
【母题探究】
1．将例3中的条件变为“ ABCD中∠ABC＝60°，＝a，＝b，若|a|＝|a＋b|＝2”，求|a－b|的值．
[解] 依题意，||＝|a＋b|＝2，如图所示．
而||＝|a|＝2．
因为∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，
所以BC＝AB．
所以 ABCD为菱形，AC⊥BD，
所以|a|2＝2＋2，
即4＝1＋，
所以|a－b|＝2.
2．若将例3中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|”．试判断四边形ABCD的形状．
[解] 由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，
即－＝－，
∴＝，于是AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又|a－b|＝|a－d|，从而|－|＝|－|，
∴||＝||，∴四边形ABCD为菱形．
【规律方法】
1．关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．
2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果．
三、课堂总结
1．向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a．
3．以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a．
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）两个向量的差仍是一个向量．( )
（2）＝－.( )
（3）a－b的相反向量是b－a．( )
（4）|a－b|＜|a＋b|.( )
[答案] （1）√ （2）√ （3）√ （4）×
2．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
2 [|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2．]
3．若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．
7 17 [由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|可得．]
4．如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.
[解] ＝＋＝＋＋
＝＋－＝c＋b－a．
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