北师大版（2019）高中数学 必修第二册 6.1.2简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 教案

简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
【第一课时】
【教学目标】
1．通过多面体的定义与分类学习，培养学生的数学抽象核心素养。
2．借助棱柱结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。
【教学重难点】
1．了解多面体的定义及其分类。（重点）
2．理解棱柱的定义和结构特征。（重点）
3．在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。（难点）
【教学过程】
一、基础铺垫
多面体：
一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体。例如，我们初中学习过的长方体、棱锥等都是多面体。
一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线。一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），称为这个几何体的一个截面，多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积（或全面积）。
二、新知探究
1．棱柱的概念
【例】下列关于棱柱的说法正确的个数是（ ）
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱。
A．1 B．2 C．3 D．4
A [四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确。]
2．几种常见四棱柱的关系
【例】 下列说法中正确的是（ ）
A．直四棱柱是直平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱
C [直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错。]
【教师小结】
几种常见四棱柱的关系
【跟踪训练】
1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）
A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱
C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱
D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱
D [选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，所以选D．]
三、课堂总结
1．多面体
（1）定义
由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体。
（2）相关概念（如图所示）
（3）凸多面体
把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体。
2．棱柱的结构特征
定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体
图示及相关概念 底面：两个互相平行的面 侧面：底面以外的其余各面 侧棱：相邻两侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱……
四、课堂检测
1．下列几何体中是棱柱的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
D [由棱柱的定义知①③是棱柱，选D．]
2．一个棱柱至少有__________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱。
5 6 9 [面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱。]
【第二课时】
【教学目标】
借助棱锥、棱台结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。
【教学重难点】
1．棱锥、棱台的定义和结构特征。（重点）
2．棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。（难点）
【教学过程】
一、复习导入
思考1：长方体、正方体是多面体吗？
[提示] 是。长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义。
思考2：最简单的多面体由几个面所围成？
[提示] 四个。
二、合作探究
1．棱锥、棱台的概念
【例】 下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________。
（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；
（3）棱锥的侧面只能是三角形；
（4）棱台的各侧棱延长后必交于一点；
（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。
（2）（3）（4） [（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
（4）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；
（5）错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥。]
【教师小结】判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等。
2．几何体的计算问题
[探究问题]
（1）计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？
[提示] 常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形。
（2）其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？
[提示] 是。
（3）正棱台中的计算呢？
[提示] 根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解。
【例】 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高。
[思路探究] 正三棱锥 侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形 勾股定理求解。
[解] 作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点。
在Rt△ADO中，AD＝，
∠OAD＝30°，
故AO＝＝。
在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，
故SO＝＝3，其高为3．
【母题探究】
1．将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？
[解] 在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝＝。
2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？
[解] 如图正四棱锥S ABCD中，SO为高，连接OC．则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝，又因为SC＝2，则SO＝＝＝＝。
故其高为。
【教师小结】
（一）正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高。
(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC．
(2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE。
(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC．
（二）正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，
(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1．
(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO。
(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1．
三、课堂总结
1．棱锥的结构特征。
定义 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体
图示及相关概念 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻两侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
2．棱台的结构特征。
定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
图示及相关概念 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上下底面以外的面 侧棱：相邻两侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台……
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥。 ( )
（2）棱台的侧棱长都相等。 ( )
（3）棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形。 ( )
（4）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形。 ( )
[答案] （1）√ （2）× （3）× （4）×
2．下列几何体中是棱柱的个数有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
D [由棱柱的定义知①③是棱柱，选D．]
3．画一个三棱台，再把它分成：
（1）一个三棱柱和另一个多面体；
（2）三个三棱锥，并用字母表示。
[解] 画三棱台一定要利用三棱锥。
① ②
（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′ AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″。
（2）如图②所示，三个三棱锥分别是A′ ABC，B′ A′BC，C′ A′B′C．
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