北师大版（2019）高中数学 必修第二册 利用数量积计算长度与角度 教案

利用数量积计算长度与角度
【教学目标】
1．利用数量积计算长度.
2．利用数量积计算角度．
【教学重难点】
应用数量积计算长度与角度.
【教学过程】
一、旧知巩固
1．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
（1）a·b＝x1x2＋y1y2；
（2）a2＝x＋y，即|a|＝；
（3）设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝；
（4）a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
二、合作探究
1．向量长度的计算
【例1】设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．
求a－2b的坐标和模的大小．
[思路探究] 利用向量的坐标运算求得a－2b的坐标表示，然后求模．
[解] ∵a＝(1,1)，b＝(0,2)，
∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)，
∴|a－2b|＝.
【母题探究】
将例1中的条件不变，若c＝3a－(a·b)b，试求|c|.
[解] a·b＝1×0＋1×2＝2，
∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)，
∴|c|＝.
【规律方法】
求向量的模的两种基本策略
（1）利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
（2）坐标表示的运算，若a＝（x，y），则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，,于是有|a|＝.
2．向量夹角的计算
【例2】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
（1）a与b的夹角为直角；
（2）a与b的夹角为钝角；
（3）a与b的夹角为锐角．
[解] a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
（1）因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，
即1＋2λ＝0，所以λ＝－.
（2）因为a与b的夹角为钝角，
所以cos θ＜0，且cos θ≠－1，
所以a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为.
（3）因为a与b的夹角为锐角，
所以cos θ＞0，且cos θ≠1，
所以a·b＞0且a，b不同向．
由a·b＞0，得λ＞－，
由a与b同向得λ＝2．
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
【规律方法】
1．已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝进行计算．
2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：
（1）先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；
（2）再求出两向量的模；
（3）由公式cos θ＝，计算cos θ的值；
（4）在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ.
【跟踪训练】
已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.
（1）求|a＋2b|；
（2）若(a＋b)·c＝，求向量a与c的夹角．
[解] （1）a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，
∴|a＋2b|＝＝3.
（2）∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，
∴a＋b＝－a，
∴(a＋b)·c＝－a·c＝.
设a与c的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝π，
即a与c的夹角为π.
三、课堂总结
向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直．
四、课堂练习
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
（2）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.( )
（3）两向量a与b的夹角公式cos θ＝的使用范围是a≠0且b≠0.( )
[答案] （1）× （2）√ （3）√
2．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ＝( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
D [cos θ＝＝－，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝150°.]
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B．
C．2 D．4
C [∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±.∴|a|＝＝2．]
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