数学人教A版（2019）必修第二册8.2立体图形的直观图（共31张ppt）

(共31张PPT)
8.2 立体图形的直观图
请你说出下面几何体分别是什么几何体？
长方体
五棱锥
圆柱
圆锥
圆台
四棱台
这些图形就是空间几何体的直观图
把平面图形画在纸上或黑板上，那很简单。要把立体图形画在纸上或黑板上，实际上是把本来不完全在同一个平面内的点的集合，用同一个平面内的点来表示。这时画在纸上或黑板上的图形，已经不是普通的平面图形，而是立体图形的直观图。立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。
思考：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。
要画出空间几何体的直观图, 应先学会水平放置的平面图形的画法．
例如：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图．
x
. . . . .
. . . . .
y
O
解：①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴，y轴建立如图所示的坐标系；
x
. . . . .
. . . . .
y
O
②建立∠x′O′y′=45°的坐标系
③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x′、y′轴，但横向长度不变，纵向长度减半
. . . . .
x′
. . . . .
y′
O′
例1、用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
解：(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O。
画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°
(2)以O'为中心，在x'轴上取A'D' =AD，在y'轴上取
以点N'为中心，画B'C'平行于x'轴，并且等于BC；
再以M'为中心，画E'F'平行于x'轴，并且等于EF。
(3)连接A'B'，C'D'，E'F'，F'A'，并擦去辅助线x'轴和y'轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F' 。
规则：
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段；
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于O，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面；(建立直角坐标系，画出斜坐标系)
口诀：x不变，y折半。
平行关系不改变，九十度画一半。
画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来象椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画图时，常用如图椭圆模板。
常用的一些空间图形的平面画法
练习(课本P109页）
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确。
(1) 相等的线段在直观图中仍然相等。 （ ）
(2) 平行的线段在直观图中仍然平行。 （ ）
(3)一个角的直观图仍然是一个角。 （ ）
(4) 相等的角在直观图中仍然相等。 （ ）
√
√
×
×
例2、已知长方体的长，宽，高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图。
解：画法：
(1)画轴。
画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°
(2)画底面。
在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm;
在y轴上取线段AD，使AD=1cm.
过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则四边形ABCD就是长方形的底面ABCD的直观图。
(3)画侧棱。
在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5cm，过点B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB'，CC'，DD' 。
(4)成图。
顺次连接A'，B'，C'，D'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡住的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
例3、已知圆柱的底面半径为1cm. 侧面母线长3cm，画出它的直观图。
解：(1)画轴。如图，画x轴，y轴，z轴，使∠xOz=90°
(2)画下底面。以O 为中点，在x轴上取线段AB，使OA=OB=1cm，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点。这个椭圆就是圆柱的下底面。
A
B
（3）画上底面。在Oz上截取点O'，使OO'=3cm，
过点O'作平行于Ox的轴O'x'。 类似下底面的做法作出圆柱的上底面。
例3、已知圆柱的底面半径为1cm. 侧面母线长3cm，画出它的直观图。
(4)成图。
连接AA'，BB'，整理得到圆柱的直观图。
圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，
最后画出两侧的两条母线。
画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出
经过球心得截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。
例4、某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。
解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图。
达标检测
1、判断正误，用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观.(1)原来相交的仍相交. (　　)(2)原来垂直的仍垂直. (　　)(3)原来平行的仍平行. (　　)(4)原来共点的仍共点. (　　)
×
√
√
√
2、利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　)
C
B
A
C
D
【解析】正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1，故选C.
10
3、如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′=3，O′R′=1，则原四边形OPQR的周长为 ．
【解析】由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四边形OPQR的周长为10.
4 、如图，一个平面图形的直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积.
A
B
C
D
A
B
C
D
5、已知正三角形ABC的边长为a，那么三角形ABC的平面直观图△A1B1C1的面积为（ ）
D
解析：如图①②所示的实际图形和直观图．
由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，
一般地，原图面积是平面直观图的面积的
6、右图是△ABC利用斜二测画法得到的水平放置的直观图△A'B'C'，其中A'B'∥y'轴，B'C'∥x'轴，若△A'B'C'的面积是3，则△ABC的面积是_______.
A'
B'
C'
一般地，原图面积是平面直观图的面积的
7、如图正方形O'A'B'C'的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )（ ）
B
8、如图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B'到x'轴的距离为_______。
O
A
C
B(2,2)
2、空间几何体直观图斜二测画法步骤：
画轴——画底面——画侧棱——连线成图
口诀：横竖不变纵减半，平行性不变
1、水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：
画轴取轴——取点——连线成图
口诀：横不变纵减半，平行性不变
3、三视图与直观图联系，平行投影与中心投影不同表现形式
小结