2022年春人教版八年级下册第18章 平行四边形 单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年春人教版八年级下册第18章 平行四边形 单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-20 20:32:25 | ||
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文档简介
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八年级下册《第18章 平行四边形》单元测试卷
一、选择题（共10小题，3*10＝30）
1．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．AB＝CD B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．AB＝AC D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
2．（3分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．125°
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
4．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
5．（3分）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
6．（3分）下列说法中，正确个数有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）平行四边形ABCD的对角线交于点O，有五个条件：①AC＝BD，②∠ABC＝90°，③AB＝AC，④AB＝BC，⑤AC⊥BD，则下列哪个组合可判别这个四边形是正方形（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．④⑤
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1 B． C．4﹣2 D．3﹣4
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：
①DF＝CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等边三角形；
④S△BEF＝3S△DEF．
其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共8小题，3*8＝24）
11．（3分）如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么再添加条件 ，就可以变为矩形．（只需填一个条件）
12．（3分）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 ．
13．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为 ．
15．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 ．
16．（3分）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为 cm．
17．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ．
18．（3分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（7小题，共66分）
19．（8分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF＝CE．求证：BE＝DF．
20．（8分）如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：BE＝DF．
21．（8分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD＝EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．
22．（10分）如图，在 ABCD中，E，F两点在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）当四边形AECF为矩形时，请求出的值．
23．（10分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24．（10分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长．
八年级下册《第18章 平行四边形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，3*10＝30）
1．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．AB＝CD
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．AB＝AC
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
【解答】解：A、平行四边形对边相等，故A正确；
B、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故正确；
C、无法得到AB＝AC，故此选项错误，符合题意；
D、有一个角是90°的平行四边形是矩形．故正确．
故选：C．
2．（3分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．125°
【解答】解：∵AD＝CB，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠ABC+∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠A＝120°，
故选：C．
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵∠BED＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．
故选：C．
4．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，
∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠1＝15°；
故选：D．
5．（3分）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD＝BC＝＝5，且O为BD的中点，
∵E为CD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE＝CB＝2.5，
故选：A．
6．（3分）下列说法中，正确个数有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①对顶角相等，故①正确；
②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；
③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，
故选：B．
7．（3分）平行四边形ABCD的对角线交于点O，有五个条件：①AC＝BD，②∠ABC＝90°，③AB＝AC，④AB＝BC，⑤AC⊥BD，则下列哪个组合可判别这个四边形是正方形（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．④⑤
【解答】解：由①得对角线相等的平行四边形是矩形，加上④得，有一组邻边相等的矩形是正方形，故选C．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1 B． C．4﹣2 D．3﹣4
【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD＝4，
∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
又点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝1.5，
∴ED＝2OD＝3．
故选：B．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：
①DF＝CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等边三角形；
④S△BEF＝3S△DEF．
其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF；故①正确；
∵∠BFM＝90°﹣∠EBF，∠BFC＝90°﹣∠CBF，
∴∠BFM＝∠BFC，
∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，
∴∠BFE＝∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN＝180°，
∴∠BFE＝90°，
即BF⊥EN，故②正确；
∵在△DEF和△CNF中，
，
∴△DEF≌△CNF（ASA），
∴EF＝FN，
∴BE＝BN，
假设△BEN是等边三角形，则∠EBN＝60°，∠EBA＝30°，
则AE＝BE，又∵AE＝AD，则AD＝BC＝BE，
而明显BE＝BN＞BC，
∴△BEN不是等边三角形；故③错误；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；
故④正确．
故选：B．
二．填空题（共8小题，3*8＝24）
11．（3分）如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么再添加条件 AC＝BD ，就可以变为矩形．（只需填一个条件）
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：AC＝BD．
12．（3分）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 1或5 ．
【解答】解：旋转得到F1点，
∵AE＝AF1，AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
∴△ADE≌△ABF1，
∴F1C＝1；
旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，
∴F2B＝DE＝2，
F2C＝F2B+BC＝5．
13．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 8 ．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，
由勾股定理得：DE＝＝2，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2＝8，
故答案为：8．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为 （3，4） ．
【解答】解：过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝AB＝BC，BC∥OA，
设AB＝x，则OA＝x，AD＝8﹣x，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
即x2＝（8﹣x）2+16，
解得：x＝5，
∴BC＝5，
∴C点的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
15．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 2 ．
【解答】解：根据作图的方法得：BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2；
故答案为：2．
16．（3分）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为 2 cm．
【解答】解：连接AC，与EF交于O点，
∵E点在AB上，F在CD上，A、C点重合，EF是折痕，
∴OA＝OC，EF⊥AC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝4cm，
∴AC＝＝4（cm），
∴OC＝2cm，
设AE＝CE＝xcm，则BE＝（8﹣x）cm，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
∴CE＝5cm，
∴OE＝＝＝（cm），
∵AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴EF＝2OE＝2cm，
故答案为：2．
17．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 16或8 ．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝4，
∴DE＝AD＝2，AE＝AD＝6，
在Rt△BDE中，∵BD＝4，
∴BE＝＝＝2，
如图1，∴AB＝8，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝8×2＝16，
如图2，AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝4×2＝8，
如图3，过B作BE⊥AD于E，
在Rt△ABE中，设AE＝x，则DE＝4﹣x，
∵∠A＝30°，BE＝x，
在Rt△BDE中，∵BD＝4，
∴42＝（x）2+（4﹣x）2，
∴x＝2，x＝4（不合题意舍去），
∴BE＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD BE＝2×4＝8，
如图4，当AD⊥BD时，平行四边形ABCD的面积＝AD BD＝16，
解法二：解：过点D作DE⊥AB于E，如图1，当点B在E的右边时，
∵∠A＝30°，AD＝4，
∴DE＝AD＝2，
∴AE＝DE＝6，
∴BE＝＝2，
∴AB＝AE+BE＝8，
∴S四边形ABCD＝8×2＝16，
如图2，点B在E的左边时，
同理AE＝6，BE＝2，DE＝2，
∴S四边形ABCD＝4×2＝8，
故答案为：16或8．
18．（3分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
则四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；
③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，
则△AMQ≌△DQP，
∴AM＝QD，AQ＝PD，
∵PD＝BM，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；
故答案为：①②③．
三．解答题（7小题，共66分）
19．（8分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF＝CE．
求证：BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AF＝CE，
∴OE＝OF，
在△BEO和△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO，
∴BE＝DF．
20．（8分）如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：BE＝DF．
【解答】解：（1）图中全等的图形有：△ABE≌△CDF，△ADF≌△CBE，△ABC≌△DCA；
（2）∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE＝DF．
21．（8分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD＝EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，∴OE＝OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）；
（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：
∵OB＝OD，OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD＝EF，
∴四边形EBFD是矩形．
22．（10分）如图，在 ABCD中，E，F两点在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）当四边形AECF为矩形时，请求出的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴∠1＝∠2．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）解：∵四边形AECF为矩形，
∴AC＝EF，
∴＝＝＝2，
∵BE＝DF，
∴当四边形AECF为矩形时，＝2．
23．（10分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形，∠2＝∠3，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AD＝DC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）直角三角形．
理由：∵AE＝EC
∴∠2＝∠4，
∵AE＝EB，
∴EB＝EC，
∴∠5＝∠B，
又因为三角形内角和为180°，
∴∠2+∠4+∠5+∠B＝180°，
∴∠ACB＝∠4+∠5＝90°，
∴△ACB为直角三角形．
24．（10分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE＝OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝10，
∴ ABCD的周长＝2（BC+AB）＝20．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长．
【解答】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA）；
∴OE＝OF
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：设AF＝x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
42+（8﹣x）2＝x2，
解得 x＝5．
∴AF＝5，
∴菱形AECF的周长为20．
om；学号：40371422
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八年级下册《第18章 平行四边形》单元测试卷
一、选择题（共10小题，3*10＝30）
1．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．AB＝CD B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．AB＝AC D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
2．（3分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．125°
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
4．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
5．（3分）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
6．（3分）下列说法中，正确个数有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）平行四边形ABCD的对角线交于点O，有五个条件：①AC＝BD，②∠ABC＝90°，③AB＝AC，④AB＝BC，⑤AC⊥BD，则下列哪个组合可判别这个四边形是正方形（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．④⑤
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1 B． C．4﹣2 D．3﹣4
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：
①DF＝CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等边三角形；
④S△BEF＝3S△DEF．
其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共8小题，3*8＝24）
11．（3分）如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么再添加条件 ，就可以变为矩形．（只需填一个条件）
12．（3分）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 ．
13．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为 ．
15．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 ．
16．（3分）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为 cm．
17．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ．
18．（3分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（7小题，共66分）
19．（8分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF＝CE．求证：BE＝DF．
20．（8分）如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：BE＝DF．
21．（8分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD＝EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．
22．（10分）如图，在 ABCD中，E，F两点在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）当四边形AECF为矩形时，请求出的值．
23．（10分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24．（10分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长．
八年级下册《第18章 平行四边形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，3*10＝30）
1．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．AB＝CD
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．AB＝AC
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
【解答】解：A、平行四边形对边相等，故A正确；
B、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故正确；
C、无法得到AB＝AC，故此选项错误，符合题意；
D、有一个角是90°的平行四边形是矩形．故正确．
故选：C．
2．（3分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．125°
【解答】解：∵AD＝CB，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠ABC+∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠A＝120°，
故选：C．
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵∠BED＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．
故选：C．
4．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，
∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠1＝15°；
故选：D．
5．（3分）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD＝BC＝＝5，且O为BD的中点，
∵E为CD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE＝CB＝2.5，
故选：A．
6．（3分）下列说法中，正确个数有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①对顶角相等，故①正确；
②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；
③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，
故选：B．
7．（3分）平行四边形ABCD的对角线交于点O，有五个条件：①AC＝BD，②∠ABC＝90°，③AB＝AC，④AB＝BC，⑤AC⊥BD，则下列哪个组合可判别这个四边形是正方形（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．④⑤
【解答】解：由①得对角线相等的平行四边形是矩形，加上④得，有一组邻边相等的矩形是正方形，故选C．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1 B． C．4﹣2 D．3﹣4
【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD＝4，
∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
又点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝1.5，
∴ED＝2OD＝3．
故选：B．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：
①DF＝CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等边三角形；
④S△BEF＝3S△DEF．
其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF；故①正确；
∵∠BFM＝90°﹣∠EBF，∠BFC＝90°﹣∠CBF，
∴∠BFM＝∠BFC，
∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，
∴∠BFE＝∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN＝180°，
∴∠BFE＝90°，
即BF⊥EN，故②正确；
∵在△DEF和△CNF中，
，
∴△DEF≌△CNF（ASA），
∴EF＝FN，
∴BE＝BN，
假设△BEN是等边三角形，则∠EBN＝60°，∠EBA＝30°，
则AE＝BE，又∵AE＝AD，则AD＝BC＝BE，
而明显BE＝BN＞BC，
∴△BEN不是等边三角形；故③错误；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；
故④正确．
故选：B．
二．填空题（共8小题，3*8＝24）
11．（3分）如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么再添加条件 AC＝BD ，就可以变为矩形．（只需填一个条件）
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：AC＝BD．
12．（3分）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 1或5 ．
【解答】解：旋转得到F1点，
∵AE＝AF1，AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
∴△ADE≌△ABF1，
∴F1C＝1；
旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，
∴F2B＝DE＝2，
F2C＝F2B+BC＝5．
13．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 8 ．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，
由勾股定理得：DE＝＝2，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2＝8，
故答案为：8．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为 （3，4） ．
【解答】解：过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝AB＝BC，BC∥OA，
设AB＝x，则OA＝x，AD＝8﹣x，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
即x2＝（8﹣x）2+16，
解得：x＝5，
∴BC＝5，
∴C点的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
15．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 2 ．
【解答】解：根据作图的方法得：BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2；
故答案为：2．
16．（3分）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为 2 cm．
【解答】解：连接AC，与EF交于O点，
∵E点在AB上，F在CD上，A、C点重合，EF是折痕，
∴OA＝OC，EF⊥AC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝4cm，
∴AC＝＝4（cm），
∴OC＝2cm，
设AE＝CE＝xcm，则BE＝（8﹣x）cm，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
∴CE＝5cm，
∴OE＝＝＝（cm），
∵AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴EF＝2OE＝2cm，
故答案为：2．
17．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 16或8 ．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝4，
∴DE＝AD＝2，AE＝AD＝6，
在Rt△BDE中，∵BD＝4，
∴BE＝＝＝2，
如图1，∴AB＝8，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝8×2＝16，
如图2，AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝4×2＝8，
如图3，过B作BE⊥AD于E，
在Rt△ABE中，设AE＝x，则DE＝4﹣x，
∵∠A＝30°，BE＝x，
在Rt△BDE中，∵BD＝4，
∴42＝（x）2+（4﹣x）2，
∴x＝2，x＝4（不合题意舍去），
∴BE＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD BE＝2×4＝8，
如图4，当AD⊥BD时，平行四边形ABCD的面积＝AD BD＝16，
解法二：解：过点D作DE⊥AB于E，如图1，当点B在E的右边时，
∵∠A＝30°，AD＝4，
∴DE＝AD＝2，
∴AE＝DE＝6，
∴BE＝＝2，
∴AB＝AE+BE＝8，
∴S四边形ABCD＝8×2＝16，
如图2，点B在E的左边时，
同理AE＝6，BE＝2，DE＝2，
∴S四边形ABCD＝4×2＝8，
故答案为：16或8．
18．（3分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
则四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；
③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，
则△AMQ≌△DQP，
∴AM＝QD，AQ＝PD，
∵PD＝BM，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；
故答案为：①②③．
三．解答题（7小题，共66分）
19．（8分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF＝CE．
求证：BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AF＝CE，
∴OE＝OF，
在△BEO和△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO，
∴BE＝DF．
20．（8分）如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：BE＝DF．
【解答】解：（1）图中全等的图形有：△ABE≌△CDF，△ADF≌△CBE，△ABC≌△DCA；
（2）∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE＝DF．
21．（8分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD＝EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，∴OE＝OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）；
（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：
∵OB＝OD，OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD＝EF，
∴四边形EBFD是矩形．
22．（10分）如图，在 ABCD中，E，F两点在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）当四边形AECF为矩形时，请求出的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴∠1＝∠2．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）解：∵四边形AECF为矩形，
∴AC＝EF，
∴＝＝＝2，
∵BE＝DF，
∴当四边形AECF为矩形时，＝2．
23．（10分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形，∠2＝∠3，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AD＝DC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）直角三角形．
理由：∵AE＝EC
∴∠2＝∠4，
∵AE＝EB，
∴EB＝EC，
∴∠5＝∠B，
又因为三角形内角和为180°，
∴∠2+∠4+∠5+∠B＝180°，
∴∠ACB＝∠4+∠5＝90°，
∴△ACB为直角三角形．
24．（10分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE＝OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝10，
∴ ABCD的周长＝2（BC+AB）＝20．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长．
【解答】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA）；
∴OE＝OF
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：设AF＝x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
42+（8﹣x）2＝x2，
解得 x＝5．
∴AF＝5，
∴菱形AECF的周长为20．
om；学号：40371422
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