5.1.1 复数的概念 教案

复数的概念
【教学目标】 【核心素养】
1．了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．（重点） 2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．（重点、难点） 3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．（易混点） 通过复数的概念学习，提升学生的数学抽象素养.
【教学过程】
一、问题导入
数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
因为类似的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似的方程在整数范围内有解；因为类似的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似的方程在有理数范围内有解；因为类似的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似的方程在实数范围内有解。
我们已经知道，类似的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
二、新知探究
1.复数的概念
【例1】（1）给出下列三个命题：①若，则；②的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
（2）已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__________．
（3）下列命题正确的是__________（填序号)．
①若，则的充要条件是，；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
[解析]（1）复数的平方不一定大于0，故①错；的虚部为2，故②错；的实部是0，③正确，故选B.
（2）由题意，得，，所以，.
（3）①由于x，y都是复数，故不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当时，为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
[答案]（1）B
（2），5
（3）③
【教师小结】判断与复数有关的命题是否正确的方法：
（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
（2）化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
2.复数的分类
【例2】（1）复数为纯虚数的充要条件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
（2）已知，复数，当m为何值时，
①z为实数？②z为虚数？③z为纯虚数？
[思路探究]依据复数的分类列出方程（不等式）组求解．
[解析]（1）要使复数z为纯虚数，则，，.故选D.
[答案]D
（2）①要使z为实数，需满足，且有意义，即，解得.
②要使z为虚数，需满足，且有意义，即，解得且.
③要使z为纯虚数，需满足，且，解得或.
[母题探究]
若把上例（1）中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？
[解]复数z为实数的充要条件是，即，所以.
【教师小结】利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数为纯虚数的充要条件是且.
3.复数相等的充要条件
[探究问题]
（1）是复数为纯虚数的充分条件吗？
提示：因为当且时，才是纯虚数，所以是复数为纯虚数的必要不充分条件．
（2）正确吗？
提示：不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．
【例3】（1）若，求实数x，y的值；
（2）关于x的方程有实根，求实数a的值．
[思路探究]根据复数相等的充要条件求解．
[解]（1）由复数相等的充要条件，
得，解得．
（2）设方程的实根为，
则原方程可变为，
所以，
解得或.
【教师小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：
（1）等式两边整理为的形式；
（2）由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
（3）解方程组，求出相应的参数．
三、课堂总结
（一）复数的概念及分类
1．数系的扩充及对应的集合符号表示
→→→→
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
N Z Q R C
2．复数的有关概念
3．复数的分类
（1）复数
（2）集合表示
（二）两个复数相等的充要条件
在复数集中，任取两个复数，，规定与相等的充要条件是且.
四、课堂检测
1．设集合，，，若全集，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[解析]集合A，B，C的关系如图，可知只有正确．
[答案]D
2．若复数与复数相等，则实数a的值为（ ）
A．1 B．1或
C． D．0或
[解析]由复数相等的条件得
，.
[答案]C
3．复数的实部为________．
[解析]复数，实部为0.
[答案]0
4．已知，，其中，i为虚数单位，若，则m的值为________．
[解析]由题意得，从而，解得．
[答案]
5．已知集合，集合满足，求整数a，b.
[解]依题意得， ①
或， ②
或. ③
由①得，，
由②得，.
③中，A，B无整数解不符合题意．
综上所述得，或，或，.
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