湖北省湖州八中2012-2013学年度高一下学期开学考试数学试题

一、填空题
1．将一骰子（六个面标有1—6个圆点的正方体）抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是__________(结果用分数表示).
2．在约束条件下，目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为1，则ab的最大值等于_______
3．已知函数的部分图像如下图所示：则函数的解析式为 .
4．设是等差数列，的前项和，且，则= ．
5．已知的三个内角所对的边分别是，且，则 ．
6．已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为 .
7．设是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：
①;
②;
③;
④两单位向量平行，则；
⑤将函数y=2x的图象按向量 平移后得到y=2x+6的图象，的坐标可以有无数种情况。其中正确命题是 （填上正确命题的序号）
8．P是双曲线的右支上一动点,F是双曲线的右焦点,已知A(3,1),则的最小值是 .
9．已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为 .
10．一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数的数学期望=_________________.
11．已知为第二象限角，，则 　　
12．已知从点发出的一束光线，经轴反射后,反射光线恰好平分圆:的圆周,则反射光线所在的直线方程为 .
13．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为 。
14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000］（元）月收入段应抽出 人。
二、解答题
15．．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
16．下表是某班英语和数学成绩的分布表，已知该班有50名学生，成绩分为1~5个档次。如：表中英语成绩是4分、数学成绩是2分的人数有5人。现设该班任意一位学生的英语成绩为m,数学成绩为n。
n
m
数学
5
4
3
2
1
英
语
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
（1）求m=4,n=3的概率；
（2）求在m≥3的条件下， n=3的概率；
（3）求a+b的值，并求m的数学期望；
（4）若m=2与n=4是相互独立的，求a，b的值。
17．如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．
（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．
18．己知点P在抛物线上运动，Q点的坐标是（-1，2），O是坐标原点，四边形OPQR是平行四边形(O、P、Q、R顺序按逆时针)，求R点的轨迹方程。
19．设， 其中 ，且
． 求的最大值和最小值．
20．如图椭圆的上顶点为A，左顶点为B, F为右焦点, 过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点. 作平行四边形OCED, E恰在椭圆上。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若平行四边形OCED的面积为, 求椭圆的方程.
参考答案
8．__
9．
10．
11．
12．
13．
14．25
16.（1）7/50 （2）8/35 （3）a+b=3 Em=78/25 （4）b=1 a=2
17．证明：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，
其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥B D．
∴BD⊥平面APC，
平面PAC，
∴BD⊥FG
（II）当G为EC中点，即时，
FG//平面PBD，
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，
而FG平面PBD，PB平面PBD，
故FG//平面PB D．
（III）作BH⊥PC于H，连结DH，
∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，
∴△PCB≌△PCD，
∴DH⊥PC，且DH=BH，
∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，
即
∵PA⊥面ABCD，
∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 …………12分
18．
19．解：先证当且仅当时等号成立.
因 …
由哥西不等式:，因为
从而 当且仅当时等号成立.
再证当时等号成立.
事实上，=
故，当时等号成立．
另证：设，若，则
而由柯西不等式，可得
即②成立，从而，故，当时等号成立.
20．解∵焦点为F(c, 0), AB斜率为, 故CD方程为y=(x－c). 于椭圆联立后消去y得2x2－2cx－b2=0. ∵CD的中点为G(), 点E(c, －)在椭圆上,
∴将E(c, －)代入椭圆方程并整理得2c2=a2, ∴e =.