人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》知识讲解及考前预测卷精讲（第一套） 课件（40张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》知识讲解及考前预测卷精讲（第一套） 课件（40张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 6.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-20 20:41:00 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
人教版九年级数学下册第二十八章
《锐角三角函数》知识讲解及考前预测卷精讲
（第一套）
专题复习课件
知识讲解
01
第一部分：知识讲解
28．1锐角三角函数
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边，
余弦（cos）等于邻边比斜边
正切（tan）等于对边比邻边；
余切（cot）等于邻边比对边
正割（sec)等于斜边比邻边
余割 (csc)等于斜边比对边
正切与余切互为倒数
互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
第一部分：知识讲解
同角三角函数间的关系
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
积的关系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
第一部分：知识讲解
倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边
余切等于邻边比对边
三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
第一部分：知识讲解
（3）锐角三角函数值的变化情况
（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0, cotα>0.
特殊的三角函数值
0° 30° 45° 60° 90°
0 1/2 √2/2 √3/2 1 ← sinα
第一部分：知识讲解
1 √3/2 √2/2 1/2 0 ← cosα
0 √3/3 1 √3 None ← tanα
None √3 1 √3/3 0 ← cotα
28．2解直角三角形
勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）
a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，
第一部分：知识讲解
考前押题卷精讲
（全解析）
02
第二部分：学习检测
05
01
02
03
选择题
填空题
解答题
讲解流程
一.选择题
1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，
则sinA的值为（ ）．
A. B. C. D.
【解答】解：∵∠C=90°，BC=3,AC=4
∴
∴
故选：C.
【点评】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可.
【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA= 求解即可.
C
一.选择题
一.选择题
2.如果α是锐角，且 ，那么cos（90°﹣α）的值为（ ）
A. B. C. D.
【解答】解： α是锐角，且sin ，
cos（90°﹣α）=sina= .
故选：B.
【点评】本题主要查考同角三角函数的关系.
【分析】根据互余角三角函数关系, 解答即可.
A
一.选择题
一.选择题
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则sinB的值为( )
A. B. C. D.
【解答】解：因为∠A＋∠B＝90°，所以sinB＝cosA，所以sinB＝ .
故选：D.
【点评】本题考查了互为余角的三角函数间的关系，如果∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，sinB＝cosA，tanA＝cotB，tanB＝cotA.
【分析】根据互为余角的两个角的三角形函数之间的关系求解.
D
一.选择题
一.选择题
4.已知∠A为锐角，且sinA＝ ，那么∠A等于（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【解答】解：∵∠A为锐角，sinA= ，∴∠A=30°．
故选：B．
【点评】特殊角的三角函数值．
B
一.选择题
一.选择题
5.如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα＝（ ）
A. B. C. D.
【解答】解：OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|=5，则sina= ．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，正弦的定义，坐标与图形的性质，熟记三角函数的定义是解题的关键．
【分析】已知点P的坐标，就是已知直角三角形的两直角边的长，根据勾股定理就可以求出OP的长．然后根据三角函数的定义求解．
C
一.选择题
一.选择题
6.如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB＝20米，AC＝30米，∠A＝150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（ ）
A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出AB边上的高，根据相关的性质求出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
【分析】过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则∠DAC=30°，由AC=30m，求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式推出△ABC的面积为150m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
C
一.选择题
一.选择题
【解答】解：如图，过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC= AB×CD= ×20×15=150m2，
∵草皮的售价为a元/米2，
∴购买这种草皮的价格：150a元．
故选：C．
一.选择题
一.选择题
7.如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（ ）
A. 1：2.6 B. 1: C. 1：2.4 D. 1:
【解答】解：如图
据题意得;AB=13、AC=5，
则
∴斜坡的坡度i=tan∠ABC= =1∶2.4,
故选：C.
【点评】根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻边的比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决．
C
一.选择题
一.选择题
8.一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以每小时40海里的速度前往救援，则海警船到达事故船C处所需的时间大约为（单位：小时）（ ）
A. B. C. sin37° D. cos37°
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD= AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC= 海里，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．
B
一.选择题
一.选择题
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80，∴CD= AC=40．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠BCD=37°，∴BC= ，
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为： （小时）．
故选：B．
一.选择题
二.填空题
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝ ，则BC的长为_____．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=6，
∴
∴
故答案：4
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， .
【分析】根据锐角的余弦值等于邻边比对边列式求解即可.
4
二.填空题
二.填空题
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanA＝_____．
【解答】解：由sinA＝ 知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x，
∴
故答案为： ．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
二.填空题
【解答】解：sin245°+cos230°﹣tan260°
故答案为：
二.填空题
11.sin245°+cos230°﹣tan260°＝_____．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角额三角函数值是解题的关键．
【分析】将sin45°＝ ，cos30°＝ ，tan60°＝ ，代入sin245°+cos230°﹣tan260°计算求值即可．
二.填空题
二.填空题
12.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝4，则AB值是_____．
【解答】解：∵sinA= ，即
∴AB=10，
故答案为:10．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．
【分析】根据正弦函数的定义得出sinA= ，即 ，即可得出AB的值．
10
二.填空题
二.填空题
13.一个小球由地面沿着坡度1：2的坡面向上前进了10米，此时小球距离地面的高度为________米．
【解答】解：在Rt△ABC中，tanA= ，AB=10．
设BC=x，则AC=2x，
则根据勾股定理可得方程x2+（2x）2=102，
解得x= （负值舍去）．
即此时小球距离地面的高度为 米．
故答案为：
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理的运用能力，构造直角三角形是解题的关键．
二.填空题
二.填空题
14.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平上)，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂足上升100m到达A处，在A处观察C地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为_________m．
【解答】解：根据题意得∠C＝30°，AB＝100，
∵tanC＝
∴ （m）．
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
【分析】利用题意得到∠C＝30°，AB＝100，然后根据30°的正切可计算出BC．
二.填空题
二.填空题
15.如图，轮船从B处以每小时50海里速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是_____海里．
【解答】解：由题可知∠CBA=45°,∠BCA=90°,
∴△BCA是等腰直角三角形,
∴CB=CA
∵轮船从B处以每小时50海里的速度航行半小时到达C处，
∴CA=CB=25海里.
【点评】本题考查解直角三角形的实际应用,属于简单题,证明△BCA是等腰直角三角形是解题关键.
【分析】根据所给方位角证明△BCA是等腰直角三角形,即CB=CA,再根据速度即可求出CA的长度.
25
二.填空题
二.填空题
16.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为_____米．
【解答】解：作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．
则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=270．
在Rt△ACD中，tan∠CAD= ，∴AD= ．
在Rt△ABD中，tan∠BAD= ，∴BD=AD tan30°= ，
∴BC=CD﹣BD=270﹣90=180．则这栋大楼的高为180米．
故答案为：180．
【点评】本题考查了俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
【分析】作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．在Rt△ACD中，利用∠CAD的正切函数求出邻边AD的长，进而可在Rt△ABD中，利用已知角的三角函数求出BD的长；由BC=CD﹣BD即可求出楼的高度．
180
二.填空题
三.解答题
17.计算：
（1）sin260°﹣tan30° cos30°+tan45°
（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°
【解答】解：（1）原式＝
（2）原式＝（cos 45°+sin 45°）+（sin 54°+cos 54°）＝1+1 ＝2
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数的定义．
【分析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
三.解答题
三.解答题
18.如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（ ）
【解答】解：若渔船继续向东航行，无触礁的危险．理由如下：
如图，过点A作AD⊥BC于点D．
由题意得：∠ABD=45°，∠ACD=30°．
设AD=x．在Rt△ABD中，∵∠ABD=45°，∴BD= AD= x．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴CDADx．
∵BD+DC=30，∴x+ x=30，解得：x=15（ -1），15（ -1）≈10.5＞8．
即：若渔船继续向东航行，无触礁危险．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题，属于中考常考题型．
【分析】判断渔船有无危险只要求出点A到BC的距离，与8海里比较大小就可以．
三.解答题
三.解答题
19.计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE=30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．(保留根号)
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，此类题目要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
【分析】先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△CEF、△CGE，利用其公共边CE构造等量关系，借助FG＝EF﹣GE＝100，构造关系式求解．
三.解答题
三.解答题
【解答】解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD．
∴∠CEF＝90°．
设CE＝x米，
∵在Rt△CEF中，tan∠CFE＝ ，
∴EF＝ ，
∵在Rt△CEG中，tan∠CGE＝ ，
∴ ．
∵FG＝EF﹣GE＝100，
∴ ，
解得x＝ ．
∴CD＝CE+ED＝ +1.5（米）．
答：古塔CD的高度是（ +1.5）米．
三.解答题
三.解答题
20.乌鞘岭隧道群是连霍国道主干线上隧道最密集、路线最长、海拔最高、地质条件最复杂、施工难度最大咽喉工程．乌鞘岭特长公路隧道群的全部贯通，将使连霍国道主干线在甘肃境内1608公里路段全部实现高速化，同时也使甘肃河西五市与省会兰州及东南沿海省、市实现全线高速连接．如图，在建设中为确定某隧道AB的长度，测量人员在离地面2700米高度C处的飞机上，测得正前方A、B两点处的俯角分别是60°和30°，求隧道AB的长（结果保留根号）
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．利用三角函数值得到与所求线段相关线段的长度是解决本题的关键．
【分析】根据俯角的定义余角的性质可得∠ACD=30°，∠BCD=60°，解直角三角形可得AD，BD的长，相减即可得到AB的长．
三.解答题
三.解答题
【解答】解：由题意得：∠ACM=60°，∠BCM=30°．
则∠ACD=30°，∠BCD=60°．
在Rt△ADC中，AD=2700×tan∠ACD=2700×tan30°=2700× = ；
在Rt△BCD中，BD=2700×tan∠BCD=2700×tan60°= ．
故AB=BD﹣AD= （米）．
答：隧道AB的长为 米．
三.解答题
三.解答题
21.为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD=32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为60°，（如图）．已知C、D、B三点在同一水平直线上，且CD=400米，DB=200米．
（1）求大厦DE的高度；
（2）求平安金融中心AB的高度．
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62， ）
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解答此题的关键．
【分析】（1）在Rt△DCE中，根据正切函数的定义即可求出大厦DE的高度；
（2）作EF⊥AB于F．由题意，得EF=DB=200米，BF=DE，∠AEF=60°．在Rt△AFE中，根据正切函数的定义得出AF=EF tan∠AEF，由AB=BF+AF即可得到结论．
三.解答题
三.解答题
【解答】解：（1）∵在Rt△DCE中，∠CDE=90°，∠ECD=32°，CD=400，∴DE=CD tan∠ECD≈400×0.62=248（米）．
答：大厦DE的高度约为248米．
（2）如图，作EF⊥AB于F．
由题意，得：EF=DB=200，BF=DE=248，∠AEF=60°．
在Rt△AFE中，∵∠AFE=90°，∴AF=EF tan∠AEF≈200×1.73=346，∴AB=BF+AF=248+346=594（米）．
答：平安金融中心AB的高度约为594米．
三.解答题
三.解答题
22.港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知 ≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）
【分析】首先在直角三角形ADC中求得AD的长，然后在直角三角形BDC中求得BD的长，两者相加即可求得AB的长．
三.解答题
三.解答题
【解答】解：在Rt△ADC中，∵ ，CD=100，∴AD=tan30° CD= ．
在Rt△BDC中，∵ ，CD=100，∴BD=tan20° CD≈0.36×100=36．
故AB=AD+DB=57.7+36=93.7（米）．
答：斜拉索顶端A点到海平面B点的距离93.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
三.解答题
谢谢您的观看！
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人教版九年级数学下册第二十八章
《锐角三角函数》知识讲解及考前预测卷精讲
（第一套）
专题复习课件
知识讲解
01
第一部分：知识讲解
28．1锐角三角函数
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边，
余弦（cos）等于邻边比斜边
正切（tan）等于对边比邻边；
余切（cot）等于邻边比对边
正割（sec)等于斜边比邻边
余割 (csc)等于斜边比对边
正切与余切互为倒数
互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
第一部分：知识讲解
同角三角函数间的关系
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
积的关系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
第一部分：知识讲解
倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边
余切等于邻边比对边
三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
第一部分：知识讲解
（3）锐角三角函数值的变化情况
（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0, cotα>0.
特殊的三角函数值
0° 30° 45° 60° 90°
0 1/2 √2/2 √3/2 1 ← sinα
第一部分：知识讲解
1 √3/2 √2/2 1/2 0 ← cosα
0 √3/3 1 √3 None ← tanα
None √3 1 √3/3 0 ← cotα
28．2解直角三角形
勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）
a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，
第一部分：知识讲解
考前押题卷精讲
（全解析）
02
第二部分：学习检测
05
01
02
03
选择题
填空题
解答题
讲解流程
一.选择题
1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，
则sinA的值为（ ）．
A. B. C. D.
【解答】解：∵∠C=90°，BC=3,AC=4
∴
∴
故选：C.
【点评】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可.
【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA= 求解即可.
C
一.选择题
一.选择题
2.如果α是锐角，且 ，那么cos（90°﹣α）的值为（ ）
A. B. C. D.
【解答】解： α是锐角，且sin ，
cos（90°﹣α）=sina= .
故选：B.
【点评】本题主要查考同角三角函数的关系.
【分析】根据互余角三角函数关系, 解答即可.
A
一.选择题
一.选择题
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则sinB的值为( )
A. B. C. D.
【解答】解：因为∠A＋∠B＝90°，所以sinB＝cosA，所以sinB＝ .
故选：D.
【点评】本题考查了互为余角的三角函数间的关系，如果∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，sinB＝cosA，tanA＝cotB，tanB＝cotA.
【分析】根据互为余角的两个角的三角形函数之间的关系求解.
D
一.选择题
一.选择题
4.已知∠A为锐角，且sinA＝ ，那么∠A等于（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【解答】解：∵∠A为锐角，sinA= ，∴∠A=30°．
故选：B．
【点评】特殊角的三角函数值．
B
一.选择题
一.选择题
5.如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα＝（ ）
A. B. C. D.
【解答】解：OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|=5，则sina= ．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，正弦的定义，坐标与图形的性质，熟记三角函数的定义是解题的关键．
【分析】已知点P的坐标，就是已知直角三角形的两直角边的长，根据勾股定理就可以求出OP的长．然后根据三角函数的定义求解．
C
一.选择题
一.选择题
6.如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB＝20米，AC＝30米，∠A＝150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（ ）
A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出AB边上的高，根据相关的性质求出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
【分析】过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则∠DAC=30°，由AC=30m，求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式推出△ABC的面积为150m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
C
一.选择题
一.选择题
【解答】解：如图，过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC= AB×CD= ×20×15=150m2，
∵草皮的售价为a元/米2，
∴购买这种草皮的价格：150a元．
故选：C．
一.选择题
一.选择题
7.如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（ ）
A. 1：2.6 B. 1: C. 1：2.4 D. 1:
【解答】解：如图
据题意得;AB=13、AC=5，
则
∴斜坡的坡度i=tan∠ABC= =1∶2.4,
故选：C.
【点评】根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻边的比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决．
C
一.选择题
一.选择题
8.一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以每小时40海里的速度前往救援，则海警船到达事故船C处所需的时间大约为（单位：小时）（ ）
A. B. C. sin37° D. cos37°
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD= AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC= 海里，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．
B
一.选择题
一.选择题
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80，∴CD= AC=40．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠BCD=37°，∴BC= ，
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为： （小时）．
故选：B．
一.选择题
二.填空题
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝ ，则BC的长为_____．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=6，
∴
∴
故答案：4
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， .
【分析】根据锐角的余弦值等于邻边比对边列式求解即可.
4
二.填空题
二.填空题
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanA＝_____．
【解答】解：由sinA＝ 知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x，
∴
故答案为： ．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
二.填空题
【解答】解：sin245°+cos230°﹣tan260°
故答案为：
二.填空题
11.sin245°+cos230°﹣tan260°＝_____．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角额三角函数值是解题的关键．
【分析】将sin45°＝ ，cos30°＝ ，tan60°＝ ，代入sin245°+cos230°﹣tan260°计算求值即可．
二.填空题
二.填空题
12.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝4，则AB值是_____．
【解答】解：∵sinA= ，即
∴AB=10，
故答案为:10．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．
【分析】根据正弦函数的定义得出sinA= ，即 ，即可得出AB的值．
10
二.填空题
二.填空题
13.一个小球由地面沿着坡度1：2的坡面向上前进了10米，此时小球距离地面的高度为________米．
【解答】解：在Rt△ABC中，tanA= ，AB=10．
设BC=x，则AC=2x，
则根据勾股定理可得方程x2+（2x）2=102，
解得x= （负值舍去）．
即此时小球距离地面的高度为 米．
故答案为：
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理的运用能力，构造直角三角形是解题的关键．
二.填空题
二.填空题
14.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平上)，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂足上升100m到达A处，在A处观察C地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为_________m．
【解答】解：根据题意得∠C＝30°，AB＝100，
∵tanC＝
∴ （m）．
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
【分析】利用题意得到∠C＝30°，AB＝100，然后根据30°的正切可计算出BC．
二.填空题
二.填空题
15.如图，轮船从B处以每小时50海里速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是_____海里．
【解答】解：由题可知∠CBA=45°,∠BCA=90°,
∴△BCA是等腰直角三角形,
∴CB=CA
∵轮船从B处以每小时50海里的速度航行半小时到达C处，
∴CA=CB=25海里.
【点评】本题考查解直角三角形的实际应用,属于简单题,证明△BCA是等腰直角三角形是解题关键.
【分析】根据所给方位角证明△BCA是等腰直角三角形,即CB=CA,再根据速度即可求出CA的长度.
25
二.填空题
二.填空题
16.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为_____米．
【解答】解：作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．
则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=270．
在Rt△ACD中，tan∠CAD= ，∴AD= ．
在Rt△ABD中，tan∠BAD= ，∴BD=AD tan30°= ，
∴BC=CD﹣BD=270﹣90=180．则这栋大楼的高为180米．
故答案为：180．
【点评】本题考查了俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
【分析】作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．在Rt△ACD中，利用∠CAD的正切函数求出邻边AD的长，进而可在Rt△ABD中，利用已知角的三角函数求出BD的长；由BC=CD﹣BD即可求出楼的高度．
180
二.填空题
三.解答题
17.计算：
（1）sin260°﹣tan30° cos30°+tan45°
（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°
【解答】解：（1）原式＝
（2）原式＝（cos 45°+sin 45°）+（sin 54°+cos 54°）＝1+1 ＝2
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数的定义．
【分析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
三.解答题
三.解答题
18.如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（ ）
【解答】解：若渔船继续向东航行，无触礁的危险．理由如下：
如图，过点A作AD⊥BC于点D．
由题意得：∠ABD=45°，∠ACD=30°．
设AD=x．在Rt△ABD中，∵∠ABD=45°，∴BD= AD= x．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴CDADx．
∵BD+DC=30，∴x+ x=30，解得：x=15（ -1），15（ -1）≈10.5＞8．
即：若渔船继续向东航行，无触礁危险．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题，属于中考常考题型．
【分析】判断渔船有无危险只要求出点A到BC的距离，与8海里比较大小就可以．
三.解答题
三.解答题
19.计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE=30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．(保留根号)
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，此类题目要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
【分析】先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△CEF、△CGE，利用其公共边CE构造等量关系，借助FG＝EF﹣GE＝100，构造关系式求解．
三.解答题
三.解答题
【解答】解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD．
∴∠CEF＝90°．
设CE＝x米，
∵在Rt△CEF中，tan∠CFE＝ ，
∴EF＝ ，
∵在Rt△CEG中，tan∠CGE＝ ，
∴ ．
∵FG＝EF﹣GE＝100，
∴ ，
解得x＝ ．
∴CD＝CE+ED＝ +1.5（米）．
答：古塔CD的高度是（ +1.5）米．
三.解答题
三.解答题
20.乌鞘岭隧道群是连霍国道主干线上隧道最密集、路线最长、海拔最高、地质条件最复杂、施工难度最大咽喉工程．乌鞘岭特长公路隧道群的全部贯通，将使连霍国道主干线在甘肃境内1608公里路段全部实现高速化，同时也使甘肃河西五市与省会兰州及东南沿海省、市实现全线高速连接．如图，在建设中为确定某隧道AB的长度，测量人员在离地面2700米高度C处的飞机上，测得正前方A、B两点处的俯角分别是60°和30°，求隧道AB的长（结果保留根号）
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．利用三角函数值得到与所求线段相关线段的长度是解决本题的关键．
【分析】根据俯角的定义余角的性质可得∠ACD=30°，∠BCD=60°，解直角三角形可得AD，BD的长，相减即可得到AB的长．
三.解答题
三.解答题
【解答】解：由题意得：∠ACM=60°，∠BCM=30°．
则∠ACD=30°，∠BCD=60°．
在Rt△ADC中，AD=2700×tan∠ACD=2700×tan30°=2700× = ；
在Rt△BCD中，BD=2700×tan∠BCD=2700×tan60°= ．
故AB=BD﹣AD= （米）．
答：隧道AB的长为 米．
三.解答题
三.解答题
21.为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD=32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为60°，（如图）．已知C、D、B三点在同一水平直线上，且CD=400米，DB=200米．
（1）求大厦DE的高度；
（2）求平安金融中心AB的高度．
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62， ）
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解答此题的关键．
【分析】（1）在Rt△DCE中，根据正切函数的定义即可求出大厦DE的高度；
（2）作EF⊥AB于F．由题意，得EF=DB=200米，BF=DE，∠AEF=60°．在Rt△AFE中，根据正切函数的定义得出AF=EF tan∠AEF，由AB=BF+AF即可得到结论．
三.解答题
三.解答题
【解答】解：（1）∵在Rt△DCE中，∠CDE=90°，∠ECD=32°，CD=400，∴DE=CD tan∠ECD≈400×0.62=248（米）．
答：大厦DE的高度约为248米．
（2）如图，作EF⊥AB于F．
由题意，得：EF=DB=200，BF=DE=248，∠AEF=60°．
在Rt△AFE中，∵∠AFE=90°，∴AF=EF tan∠AEF≈200×1.73=346，∴AB=BF+AF=248+346=594（米）．
答：平安金融中心AB的高度约为594米．
三.解答题
三.解答题
22.港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知 ≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）
【分析】首先在直角三角形ADC中求得AD的长，然后在直角三角形BDC中求得BD的长，两者相加即可求得AB的长．
三.解答题
三.解答题
【解答】解：在Rt△ADC中，∵ ，CD=100，∴AD=tan30° CD= ．
在Rt△BDC中，∵ ，CD=100，∴BD=tan20° CD≈0.36×100=36．
故AB=AD+DB=57.7+36=93.7（米）．
答：斜拉索顶端A点到海平面B点的距离93.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
三.解答题
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