第四章平面解析几何初步>>直线的斜率
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直线的斜率
学习目标
1.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；
2.理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；
3.掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.
学习过程
一 学生活动
1.确定直线位置的要素有哪些？
2.直线的倾斜程度如何来刻画？
二 建构知识
1.直线的斜率的定义：
（1）已知两点、．
如果，那么直线的斜率为；
如果，那么直线的斜率_______．
（2）对于与轴不垂直的直线，它的斜率也可以看作是
．
注意：直线斜率公式与两点在直线上的位置及顺序无关．
2.倾斜角的定义：
在平面直角坐标系中，
便是直线的倾斜角．
直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ．
因此该定义也可看作是一个分类定义．
3．倾斜角的范围是 ．
4．直线的斜率与倾斜角的关系：
当直线与轴不垂直时，直线的斜率与倾斜角之间满足 ；
当直线与轴垂直时，直线的斜率 ，但此时倾斜角为 ．
5．斜率与倾斜角之间的变化规律：
当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率 ；且均为正；
当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率 ；且均为负；
并规定 ；但我们不能错误的认为倾斜角越大，斜率越大．
注意：任何直线都有倾斜角且是唯一的，但不是任何直线都有斜率．
三 知识运用
例题
例1 如图，直线l1，l2，l3，都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（－2，－1），Q2（4，－2），Q3（－3，2），试计算直线l1，l2，l3的斜率．
例2 经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为：
（1）； （2）．
例3 证明三点A（－2，12），B（1，3），C（4，－6）在同一条直线上．
变式：已知两点A（1，－1），B（3，3），点C（5，a）在直线AB上，求实数a的值．
已知直线经过点P（a，1），Q（3，－3），求直线PQ的斜率．
例5 已知过点、的直线的倾斜角为，求实数的值．
一变：若过点、的直线的倾斜角为，求实数的值．
二变：若过点、的直线的倾斜角为，求实数的值．
三变：实数为何值时，经过两点、的直线的倾斜角为钝角？
过两点（－，1），（0，b）的直线l的倾斜角介于30°与60°之间，
求实数b的取值范围．
已知两点A（m，3），B（2，3+2），直线l的斜率是，且l的倾斜角是
直线AB倾斜角的，求m的值．
例8 设点，直线过点，且与线段相交，
求直线的斜率的取值范围．
巩固练习
1．分别求经过下列两点的直线的斜率．
（1）；
（2）；
（3）；
（4），（）
2．根据下列条件，分别画出经过点，且斜率为的直线．
（1），；
（2），；
（3），；
（4），斜率不存在．
3．分别判断下列三点是否在同一直线上．
（1）； （2）．
4．判断正误：
（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率． （ ）
（2）若一直线的倾斜角为，则此直线的斜率为． （ ）
（3）倾斜角越大，斜率越大． （ ）
（4）直线斜率可取到任意实数． （ ）
5．光线射到轴上并反射，已知入射光线的倾斜角，则斜率________，
反射光线的倾斜角_____________，斜率____________．
6．已知直线l1的倾斜角为，则l1关于轴对称的直线l2的倾斜角为____ _．
7．已知直线l过点P（1，2）且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的斜率．
四 回顾小结
掌握过两点的直线的斜率公式．理解直线的倾斜角的范围；掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.
五 学习评价
双基训练
经过的直线的斜率
2.三边所在直线的斜率：
3.已知过点
5.设直线的斜率为，则它关于y轴对称的直线的倾斜角是__________.
6.设a，b，c是两两不等的实数，直线经过点P(b,b+c),Q(a,a+c)与点，则直线的斜率是___________.
7.已知M(2, m+3),N (m-2 ,1).
（1）当为m何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
（2）当为m何值时，直线MN的倾斜角为直角？
（3）当为m何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
8.已知A(4,5),B(-2a,-3),C(1,a)三点共线，求a的值.
拓展延伸
9．（1）线段PQ的两个端点的坐标为P（2，2），Q（6，）在直角坐标系中画出线段PQ，并写出线段PQ上的另3点A，B，C，的坐标（答案不惟一）；
（2）分别计算A，B，C和原点连线的斜率；
（3）若过原点的直线与连接P（2，2），Q（6，）的线段相交，求直线的斜率和倾斜角的取值范围.
学习目标
1.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；
2.理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；
3.掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.
学习过程
一 学生活动
1.确定直线位置的要素有哪些？
2.直线的倾斜程度如何来刻画？
二 建构知识
1.直线的斜率的定义：
（1）已知两点、．
如果，那么直线的斜率为；
如果，那么直线的斜率_______．
（2）对于与轴不垂直的直线，它的斜率也可以看作是
．
注意：直线斜率公式与两点在直线上的位置及顺序无关．
2.倾斜角的定义：
在平面直角坐标系中，
便是直线的倾斜角．
直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ．
因此该定义也可看作是一个分类定义．
3．倾斜角的范围是 ．
4．直线的斜率与倾斜角的关系：
当直线与轴不垂直时，直线的斜率与倾斜角之间满足 ；
当直线与轴垂直时，直线的斜率 ，但此时倾斜角为 ．
5．斜率与倾斜角之间的变化规律：
当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率 ；且均为正；
当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率 ；且均为负；
并规定 ；但我们不能错误的认为倾斜角越大，斜率越大．
注意：任何直线都有倾斜角且是唯一的，但不是任何直线都有斜率．
三 知识运用
例题
例1 如图，直线l1，l2，l3，都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（－2，－1），Q2（4，－2），Q3（－3，2），试计算直线l1，l2，l3的斜率．
例2 经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为：
（1）； （2）．
例3 证明三点A（－2，12），B（1，3），C（4，－6）在同一条直线上．
变式：已知两点A（1，－1），B（3，3），点C（5，a）在直线AB上，求实数a的值．
已知直线经过点P（a，1），Q（3，－3），求直线PQ的斜率．
例5 已知过点、的直线的倾斜角为，求实数的值．
一变：若过点、的直线的倾斜角为，求实数的值．
二变：若过点、的直线的倾斜角为，求实数的值．
三变：实数为何值时，经过两点、的直线的倾斜角为钝角？
过两点（－，1），（0，b）的直线l的倾斜角介于30°与60°之间，
求实数b的取值范围．
已知两点A（m，3），B（2，3+2），直线l的斜率是，且l的倾斜角是
直线AB倾斜角的，求m的值．
例8 设点，直线过点，且与线段相交，
求直线的斜率的取值范围．
巩固练习
1．分别求经过下列两点的直线的斜率．
（1）；
（2）；
（3）；
（4），（）
2．根据下列条件，分别画出经过点，且斜率为的直线．
（1），；
（2），；
（3），；
（4），斜率不存在．
3．分别判断下列三点是否在同一直线上．
（1）； （2）．
4．判断正误：
（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率． （ ）
（2）若一直线的倾斜角为，则此直线的斜率为． （ ）
（3）倾斜角越大，斜率越大． （ ）
（4）直线斜率可取到任意实数． （ ）
5．光线射到轴上并反射，已知入射光线的倾斜角，则斜率________，
反射光线的倾斜角_____________，斜率____________．
6．已知直线l1的倾斜角为，则l1关于轴对称的直线l2的倾斜角为____ _．
7．已知直线l过点P（1，2）且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的斜率．
四 回顾小结
掌握过两点的直线的斜率公式．理解直线的倾斜角的范围；掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.
五 学习评价
双基训练
经过的直线的斜率
2.三边所在直线的斜率：
3.已知过点
5.设直线的斜率为，则它关于y轴对称的直线的倾斜角是__________.
6.设a，b，c是两两不等的实数，直线经过点P(b,b+c),Q(a,a+c)与点，则直线的斜率是___________.
7.已知M(2, m+3),N (m-2 ,1).
（1）当为m何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
（2）当为m何值时，直线MN的倾斜角为直角？
（3）当为m何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
8.已知A(4,5),B(-2a,-3),C(1,a)三点共线，求a的值.
拓展延伸
9．（1）线段PQ的两个端点的坐标为P（2，2），Q（6，）在直角坐标系中画出线段PQ，并写出线段PQ上的另3点A，B，C，的坐标（答案不惟一）；
（2）分别计算A，B，C和原点连线的斜率；
（3）若过原点的直线与连接P（2，2），Q（6，）的线段相交，求直线的斜率和倾斜角的取值范围.