6.1.2空间向量基本定理 课件（27张PPT）

(共27张PPT)
第一章 1.2空间向量基本定理
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；
2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；
3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.
学习目标
知识点一　空间向量基本定理
思考　平面向量基本定量的内容是什么？
答案
问题导学 　　　　
答案　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
答案
梳理　(1)如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量.
(3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两 ，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的 .
垂直
起点
答案
知识点二　空间向量的坐标表示
思考　平面向量的坐标是如何表示的？
答案　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
梳理　(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量 ＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝_____________，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的 恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标 .
答案
返回
xe1＋ye2＋ze3
坐标
(x，y，z)
解析答案
类型一　空间向量的基底
题型探究
例1　若{a，b，c}是空间的一个基底.试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？
反思与感悟
反思与感悟
解　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底，
∴a，b，c不共面.
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面.
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底.
空间向量有无数个基底.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1　以下四个命题中正确的是_____.
①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；
③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；
④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.
解析　因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；
由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；
空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确.
②③
类型二　用基底表示向量
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
解　连接AC，AD′.
求解空间向量在某基底下的坐标的关键：一是运用空间向量的基本定理，二是理解空间向量的坐标表示的意义.
反思与感悟
解析答案
解　∵H为△OBC的重心，D为BC的中点，
类型三　应用空间向量坐标表示解题
解析答案
解析答案
反思与感悟
(1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，a＝λe1＋μe2＋ke3，则a的坐标为(λ，μ，k).
反思与感悟
解析　∵OM＝2MA，点M在OA上，
解析答案
返回
为_____________.
1.在以下三个命题中，真命题的个数是(　　)
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析答案
C
当堂训练 　　　　
解析　①正确.基底的量必须不共面；②正确；
③不对，a，b不共线.当c＝λa＋μb时，a、b、c共面，故只有①②正确.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
解析答案
1
2
3
4
5
答案　A
1
2
3
4
5
解析答案
所以O、A、B、C四点共面.
D
1
2
3
4
5
解析答案
4.设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为____(填写代号).
解析　①∵a－b与a，b共面，
∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底.
②∵a＋b－c与a，b不共面，
∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底.
②
1
2
3
4
5
解析答案
5.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是__________.
解析　设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，
则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，
故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10).
(12,14,10)
规律与方法
返回
(1)基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.
(2)空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.
(3)用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.
谢谢！