6.2.4 向量的数量积
第一课时 向量的数量积的物理背景和数量积
教材分析
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.
主要知识点：平面向量数量积的定义；平面向量数量积的5个重要性质.
课程目标
1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2．体会平面向量的数量积与投影向量的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
数学学科素养
1.数学抽象：数量积相关概念的理解；
2.逻辑推理：有关数量积的运算；
3.数学运算：求数量积或投影；
4.数学建模：从物理问题抽象出数学模型，数形结合，运用数量积解决实际问题.
重点：平面向量数量积的含义与物理意义；
难点：平面向量数量积的概念.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
问题2：两个向量之间能进行乘法运算吗？物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
力F所做的功W应当怎样计算？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本17-21页，思考并完成以下问题
1、怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？
2、向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？
3、向量数量积的性质有哪些？
4、向量数量积的运算律有哪些？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、向量的夹角：
已知两个非零向量a与b，作=a，=b，∠AOB=（0°≤≤180°）叫作向量a与b的夹角。
当=0°时，a与b同向；当=180°时，a与b反向；
当=90°时，a与b垂直，记作a⊥b。
规定：零向量可与任一向量垂直。
2、投影向量的概念
在向量上的投影向量：已知向量和向量.作，过点A，B分别垂线，垂足分别为，则向量 叫做向量在向量上的
3、数量积的定义：
已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量︱a︱·︱b︱叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b= ︱a︱·︱b︱
注意 不能写成或的形式
4、向量数量积的性质
特别地：
(当且仅当等号成立)
四、典例分析、举一反三
题型一 数量积的基本运算
例1 已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.
【答案】①a·b=－10. ②a·b＝0. ③a·b＝5.
【解析】①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°.
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.
若a与b反向，则它们的夹角为180°.
∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.
②当a⊥b时，它们的夹角为90°.
∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.
③当a与b的夹角为30°时，
a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×＝5.
解题技巧（向量数量积的运算方法）
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
(2)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，三种特殊情况．
跟踪训练一
1、已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．
【答案】－25．
【解析】如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cosA＝，cosC＝，
∴·＋·＋·
＝·＋·
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)
＝－20cosC－15cosA
＝－20×－15×＝－25.
思考：
练习1：
练习2：
五、课堂小结
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）类比向量加、减法，我们还应该怎样研究数量积这种运算？
六、板书设计
七、作业
课本20页练习.
F
θ
S
6.2.4 向量的加法运算
第一课时 向量的数量积的物理背景和数量积
1.向量的夹角 例1 例2 例3
2、射影
3.数量积定义
4、数量积的性质
5. 数量积运算律6.2.4 向量的数量积
第二课时 向量数量积的运算律
【教材分析】
本节主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.本节课主要从平面向量夹角及模长两方面继续研究平面向量.
【教学目标】
1、理解平面向量的数量积定义与向量的夹角的关系.
2、掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用.
数学学科素养
1.数学抽象：利用数量积定义得到夹角、模长公式；
2.逻辑推理：由已知条件求夹角；
3.数学运算：求模长,根据向量垂直求参数；
4.数学建模：应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角及长度等几何问题时，综合考虑，层层分析.
【教学重点、难点】
重点：平面向量数量积的性质与运算律应的应用;
难点：对向量数量积概念的应用.
【课前准备】
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】
1、 情景导入
上一节课主要就定义对数量积进行的研讨，本节课主要是对其性质的应用，那么有哪些应用？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本17-21页，思考并完成以下问题
数量积运算中常用到哪些公式？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．常用公式
①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；
③(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
④(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c.
四、典例分析、举一反三
题型一 向量模的有关计算
【例1】我们知道，对任意实数a,b,恒有
①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；
③(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
练习1 已知|a|＝3，|b|＝4，向量a与b的夹角θ为120°，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)|a＋b|；(4)|a－b|.
【答案】(1)－6. (2)13. (3) . (4) .
【解析】(1)a·b＝|a||b|cos θ＝3×4×cos 120°＝－6.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－6)＋16＝13.
(3)|a＋b|＝＝.
(4)|a－b|＝
＝
＝
＝.
解题技巧（求向量模的常见方法和思路）
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
练习2．已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则·＝________， AB=______.
练习3．（1）已知|a|＝3，|b|＝4，a与b不共线，则向量a+kb与a-kb垂直是， k＝________．
（2）已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，当m为何值时，c与d垂直．
解、由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1.
若c⊥d，则c·d＝0.
∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2
＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，
∴m＝.
故当m＝时，c与d垂直．
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本22页习题6.2剩余题.
6.2.4 向量的数量积
第二课时 向量的向量积
1.常用公式 例1 例2 例3
