6.2.4 向量的数量积
学习目标：
1.能说出向量数量积的物理背景，理解数量积的含义
2.体会投影向量的概念及表示，会用数量积的性质进行简单的计算
学习重点：
数量积的定义与性质
学习过程：
一 、情境引入：我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
力F所做的功W应当怎样计算？
二、知识探究：
1、两个向量的夹角
（1）已知两个非零向量、（如图所示），作，,
则 称作向量和向量的夹角，记为 ，并规定它的范围是 ；
（2）当 时，与同向，当 时，与反向；当 时，我们就说向量和向量互相垂直，记作 。在讨论垂直问题时，规定零向量与 垂直，
练习：
2、向量的数量积（内积）
定义： 叫做向量和的数量积（或内积），记作，即 。
例1：
例2：
3、投影向量
在向量上的投影向量：已知向量和向量.作，过点A，B分别垂线，垂足分别为，则向量 叫做向量在向量上的
思考：
练习1：
4、 平面向量的数量积的性质
①如果是单位向量，则 ；
② ，且 ；
③ ，或 ；
④ （）；
⑤
练习2：
三 、课堂小结：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）类比向量加、减法，我们还应该怎样研究数量积这种运算？
巩固练习：
1.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10 m，则力F做的功为( )
A．100 J B．50 J C．50 J D．200 J
2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于( )
A. B. C．1＋ D．2
3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于( )
A．2 B. C. D.
4．如图所示，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.
求：(1)·；(2)·；(3)·.
F
θ
S
4
36.2.4 向量的数量积
第2课时 向量数量积的运算律
【学习目标】
1、掌握平面向量数量积运算律，并运用运算律求数量积
2、会求或判断向量的垂直的条件
【学习过程】
1、 预习导入
阅读课本17-21页，填写。
1.向量数量积的运算律
新知识探究：证明
2．常用公式
①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；
③(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
二、典例解析
【例1】我们知道，对任意实数a,b,恒有
①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；
③(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
练习1．设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：
①a·(b－c)＝a·b－a·c；
②(a·b)c＝a(b·c)；
③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；
④若a·b＝0，则a＝0，b＝0.
其中正确的有__________个．
练习2：已知|a|＝3，|b|＝4，向量a与b的夹角θ为120°，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)|a＋b|；(4)|a－b|.
练习3．已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则·＝________；AB=_________。
练习4．（1）已知|a|＝3，|b|＝4，a与b不共线，则向量a+kb与a-kb垂直是， k＝________．
（2）已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，当m为何值时，c与d垂直．
三、课堂小结
1．数量积的运算律：
2. 数量积的运算律应用
四、巩固练习
1．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝( )
A．2 B. C．2 D．4
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3. 已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝－4b，c与d垂直，则k的值为________.
5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________.
6．已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
