陕西省西工大附中2013届高三上学期第五次适应性训练数学（文）试题

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应性训练
数学（文科）试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，， 则
A． B． C． D．
2. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数” 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
4. 已知，动点满足，则动点的轨迹所包围的图形的面积等于
A． B． C． D．
5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，则抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人数为
A．10 B．14 C．15 D．16
6．如图，正方形的边长为，延长至，使，连接，则
A． B． C． D．
7．已知长方体中，，为的中点，则点到平面的距离为
A．1 B． C． D．2
8．将甲、乙、丙、丁四人分配到高中三个年级，每个年级至少1人，则不同的安排种数为
A．72 B．36 C．24 D．18
9．在长为的线段上任取一点.现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形面积大于的概率为
A． B. C. D.
10．对任意两个非零的平面向量和，定义；若两个非零的平面向量满足:
与的夹角，且，都在集合中，则
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
11. 观察下列各式：,=3125，=15625，…，则的末三位数字为 .
12．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是 .
13. 若椭圆中心为坐标原点，焦点在轴上，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是 .
14．设满足约束条件，则的最小值为 .
15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分.)
A.（不等式选做题）不等式的解集为 ．
B.(几何证明选做题)如图，直线与圆相切于点，割线
经过圆心，弦⊥于点， ，，
则 .
C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 .
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. (本小题满分12分)
在中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．
17．（本小题满分12分）
袋中装着分别标有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球.
（1）从袋中任取2个小球，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率；
（2）从袋中有放回的取出2个小球，记第一次取出的小球所标数字为x，第二次为y，求点满足的概率．
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面,
,,点是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．
19．（本小题满分12分）
已知等差数列，为其前项和，且， ．
（1）求数列的通项公式；
（2）设,数列的前项和为,求证:.
20．（本小题共13分）
若双曲线的离心率等于，直线与双曲线的右支交于两点.
（1）求的取值范围；
（2）若，点是双曲线上一点，且，求的值.
21．（本小题满分14分）
已知函数，
（1）当时，求的极大值；
（2）当时，讨论在区间上的单调性.
数学（文科）试题参考答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D 2．C 3．D 4．B　 5. C
6. B 7．A 8．B 9．C 10．D
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
11.125 12.-1 13. 14.
15.A. B. C.
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
解：（1）由正弦定理得
因为所以
又故
（2）由（1）知于是
取最大值2．
故的最大值为2，此时
17．（本小题满分12分）
解: (1)任取2次，基本事件有：
[1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [2,3] [2,4] [2,5] [3,4] [3,5] [4,5]
记“两数之和为3的倍数”为事件A，则事件A中含有：
[1,2] [1,5] [2,4] [4,5]共4个基本事件，
所以；
(2) 有放回的取出2个，基本事件有：
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
记“点满足”为事件，则包含：
(1,1) (1,2) （1，3）(2,1) (2,2) (3,1) (3,2)共7个基本事件
所以．
18．（本小题满分12分）
解：（1）证明： 平面，
,,
（2）取的中点,连结，则∥,平面,平面.
取的中点,连结,则∥，,
连结, 则是二面角的平面角，
又
二面角大小为
19．（本小题满分12分）
解：（1）.
(2)由（1）知

20．（本小题共13分）
解：（1）由 得
故双曲线的方程为
设，
由 得
又直线与双曲线右支交于两点，所以
解得
（2）
得
∴或 又 ∴
那么，
设，由已知，得
∴
∴ ，得
故，.
21．（本小题满分14分）
解：（1）当时，

当或时，；当时，；
∴在和上单调递减，在上单调递增；
故。
（2）

当时，，
故时，；时，。
此时在上单调递减，在上单调递增；
当时，，
故时，，
此时在上单调递减；
当时，，
故时，；时，，
此时在上单调递减，在上单调递增.