陕西省西工大附中2013届高三上学期第五次适应性训练数学（理）试题 Word版含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应性训练
数学（理科）试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，， 则
A． B． C． D．
2. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数” 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
4. 已知，动点满足，则动点的轨迹所包围的图形的面积等于
A． B． C． D．
5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做调查，为此将他们编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人数为
A．10 B．14 C．15 D．16
6．如图，正方形的边长为，延长至，使，连接，则
A． B． C． D．
7．已知正四棱柱中，，为的中点，则直线 与平面的距离为
A．2 B． C． D．1
8．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为
A．18 B．15 C．12 D．9
9．在长为的线段上任取一点.现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形面积小于的概率为
A． B． C． D．
10．对任意两个非零的平面向量和，定义；若平面向量满足，
与的夹角，且，都在集合中，则
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
11. 观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为 .
12．设满足约束条件，若的最小值为，则的值为__________.
13. 已知，则的展开式中常数项等于 .
14．若椭圆中心为坐标原点，焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .
15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分.)
A.（不等式选做题）不等式的解集为 ．
B.(几何证明选做题)如图，直线与圆相切于点，
割线经过圆心，弦⊥于点， ，
，则 .
C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 .
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. (本小题满分12分)
在中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．
17．（本小题满分12分）
袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个．从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的2个小球上的最大数字，求：
（1）取出的2个小球上的数字不相同的概率；
（2）随机变量的分布列和数学期望.
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面,,,点是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．
19．（本小题满分12分）
已知数列各项均为正数，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设,数列的前项和为,求证:.
20．（本小题共13分）
若双曲线的离心率等于，焦点到渐近线的距离为1，直线与双曲线的右支交于两点.
（1）求的取值范围；
（2）若，点是双曲线左支上一点，满足，求点坐标.
21．（本小题满分14分）
设函数.
（1）若，求的最小值；
（2）若当时恒成立，求实数的取值范围.
数学（理科）试题参考答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. A 2．C 3．D 4．B　 5. C
6. B 7．D 8．D 9．C 10． B
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
11.3125 12. 1 13. 20 14.
15.A. B. C.
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
解：（1）由正弦定理得
因为所以
又故
（2）由（1）知于是
取最大值2．
故的最大值为2，此时
17．（本小题满分12分）
解：(1) 记“取出的2个小球上的数字不相同”为事件，
则
(2)由题意，可能的取值为：1，2，3．
， ，
所以随机变量的分布列为
1
2
3
P
因此的数学期望为
.
18．（本小题满分12分）
解：（1）证明： 平面，
,,
（2）取的中点,连结，则∥,平面,平面.
取的中点,连结,则∥，,
连结, 则是二面角的平面角，
又
二面角大小为
19．（本小题满分12分）
解：（1）由已知得：
∵各项均为正数，∴
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列,
∴.
(2)由（1）可知
当时
20．（本小题共13分）
解：（1）由 得 故双曲线的方程为
设，
由得
又已知直线与双曲线右支交于两点，由
解得
（2）
得
∴或 又 ∴
那么，
设，由已知，得
∴
因是双曲线左支上一点，所以 得，
故点的坐标为
21．（本小题满分14分）
解：（1）时，，.
当时，；当时，.
所以在上单调减小，在上单调增加
故的最小值为
（2），
ⅰ.当时，，所以在上递增，
而，所以，所以在上递增，
而，于是当时， .
ⅱ.当时，由得
当时，，所以在上递减，
而，于是当时，，所以在上递减，
而，所以当时，.
综上得的取值范围为.