4.2.3 三角函数的叠加及其应用 教案

三角函数的叠加及其应用
【教学目标】
1．掌握三角函数的辅助角公式.
2．能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
【教学重难点】
三角函数的辅助角公式及其应用.
【教学过程】
一、基础铺垫
辅助角公式：
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定，或者sin φ＝，cos φ＝.
二、合作探究
利用辅助角公式研究函数性质：
【例】已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R).
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
解 （1）∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
（2）当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)，
∴所求x的集合为
.
【规律方法】
（1）为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
（2）解此类题时要充分运用两角和(差)、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.
【训练】已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.
解 （1）f(x)＝·
＝cos2x－sin2x＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
（2）h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)，
即x＝kπ－(k∈Z)时，h(x)有最大值.
此时x的集合为.
三、课堂总结
1．在推导公式和应用公式的过程中，熟悉角的转化方法和换元法的应用，不断提升学生的逻辑推理、数学运算素养，并通过本节的asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)的转化过程，进一步提升学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
2．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.
3．asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tan φ＝，φ所在象限由a，b确定，掌握实质并能熟练应用.
四、课堂练习
1．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，b∈R)，则A＝________，b＝________.
解析 2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1
＝sin＋1，∴A＝，b＝1．
答案 1
2．函数y＝3sin 4x＋cos 4x的最大值是( )
A． B．2
C．3 D．6
解析 y＝3sin 4x＋cos 4x
＝2
＝2sin，
∴ymax＝2，故选B．
答案 B
3．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期为________.
解析 f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝＋sin 2x＋1＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋，
∴T＝π.
答案 π
4．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R).
（1）求f的值；
（2）求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解 （1）f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，
则f＝－2sin＝2．
（2）f(x)的最小正周期为π.
由正弦函数的性质，
得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Z).
4 / 4