课件15张PPT。平行线等分线段定理平行线等分线段定理练习1、已知：直线l1∥l2∥l3 AC∥A1C1
AB=BC
求证；A1B1=B1C1ABCA1B1C1ABCA1C12、已知：直线， l1∥l2∥l3 ，AB=BC
求证；A1B=BC1l1l3l2l1l3l2图1
图2
ABCA1B1C1l1l2l3证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于点E、F
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ABB1E和□BCFB1∴EB1 =AB ，B1F=BC∵AB=BC
∴EB1=B1F又∠1=∠2，∠3=∠4
∴△A1B1E≌△C1B1F
∴A1B1=B1C1请同学们自己完成下面两图的证明图3
3、已知如图3，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证； A1B1=B1C1？？练习图1图2平行线等分线段定理也相等 。图1图2图4图3图5？？？？？？？？？？ABCA1B1C11、在定理的证明过程中添加的辅助线起到了什么作用？
2、你还有其它的添加辅助线的方法吗？思考l1l3l23、如果一组平行线为三条以上，你还会证明此定理吗？ABCA1B1C1DD1∵如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
∴A1B1=B1C1∵如图 ，直线l2∥l3∥l4 BC=CD
∴B1C1 =C1D1
思考分析：l1l3l2l4？？？已知：直线l1∥l2∥l3∥l4 ，AB=BC=CD
求证； A1B1=B1C1 =C1D1平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得
的线段相等，那么在其他直线上截得
的线段也相等符号语言
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1判断题1、如图△ABC中点D、E三等分AB，DF∥EG∥BC，DF、
EG分别交AC于点F、G，则点F、G三等分AC（ ）
2、四边形ABCD中，点M、N分别在AB、CD上若AM=BM、
DN=CN 则AD∥MN∥BC ( )
3、一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相
等，则这组平行线能等分线段。 （ ）
4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么AB=BC=DE=EF （ ）ABCl1l3l2EFDDABCEFG推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的
直线，必平分另一腰。ABCDEF图4符号语言：
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FCAEBCF推论2 经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边。符号语言
∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
∴AF=FC图5平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等平行线等分线段定理的应用(1)把线段n等分
(2)证明在同一直线上的线段相等P证明题1、已知：如图，M、N分别为平行四边形ABCD边AB、
CD的中点。CM、AN分别交BD于点E、F
求证：BE=EF=FDADCBMNEF分析：1、证CM∥AN2、证BE=EF3、证DF=EF平行四边形对边相等；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=90。M是CD的中点
求证：AM=BM分析：过M点作ME∥AD交AB于点E
又∵在梯形ABCD中，MD=MC
∴AE=EB易证ME是AB的垂直平分线ABCDM证明题辅助线点滴：
有线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理及推论的基本图形。
小结1、平行线等分线段定理和两个推论2、定理和推论的应用(1)把线段n等分
(2)证明在同一直线上的线段相等数学思想方法
---转化思想3、辅助线点滴：
有线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理及推论的基本图形。
一、如图：有块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农民耕种，已知张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配方法按人口比例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，P处是三家合用的肥料仓库，所以点P 必须是三家地的交界地
要求：用尺规在图中作出各家菜地的分界线
（保留作图痕迹，不写作法、标出户名）
思考与练习谢谢观看 再见课件19张PPT。2019/1/26平行线分线段成比例定理2019/1/26平行线等分线段定理复习推论1推论2平行线等分线段定理的应用把线段n等分
证明同一直线上的线段相等推论1推论2平行线等分线段定理的应用2019/1/26如何不通过测量，运用所学知识，快速将一条长5厘米的细线分成两部分，使这两部分之比是2:3?ABC2019/1/26平行线等分线段定理的条件相邻的两条平行线间的距离相等一组平行线中相邻两条平行
线间距离不相等,结论如何?2019/1/26三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果?猜想：你能否利用所学过的相关知识进行说明？2019/1/26设线段AB的中点为P1，线段BC的三等分点为P2、P3.则：这时你想到了什么？AP1=P1B=BP2= P2P3= P3CDQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F平行线等分线段定理分别过点P1,P2, P3作直线a1,a2,a3平行于l1,与l? 的交点分别为Q1,Q2,Q3.ll? 2019/1/26除此之外，还有其它对应线段成比例吗？2019/1/26?反 比合 比合 比反 比合比2019/1/26平行线等分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2019/1/26推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.2019/1/26平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？结论：后者是前者的一种特殊情况！2019/1/26例 如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长.分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解.解∵DE//BC∵DF//ACDE2019/1/26例 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD.
求证:AD是AB和AF的比例中项.分析: 分别在△ABC及△ADC中利用平行线分线段成比例定理的推论证明∴AD2=AB?AF,即AD是AB和AF的比例中项2019/1/26如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长c米.求CF.2019/1/26用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、EDE=BF2019/1/26 如图,直线l1,l2被三个平行平面?,?,?所截,直线l1与它们的交点分别为A,B,C,直线l2分别为D,E,F探究2019/1/26一、平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）小结二、要熟悉该定理的几种基本图形2019/1/26三、注意该定理在三角形中的应用2019/1/26作业课本第9页习题1.2 题1,2,3,4课件10张PPT。2019/1/26相似三角形的性质2019/1/26 问题情境在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比:
三角形的边长,周长,面积,角,发生什么关系？2019/1/26性质定理：1．相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比；2．相似三角形周长的比等于相似比；3．相似三角形面积的比等于相似比的平方；
2019/1/26练一练：已知两个三角形相似，请完成下列表格
224210101002019/1/26 如图，D，E分别是AC，AB边上的点，∠AED=∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，若AD=3，AB=5，AE=4 ； 求：（1） ；
（2）△ADE与△ABC的周长比; （3）△ADE与△ABC的面积比。2019/1/26如图，△ＡＢＣ中，ＤＥ??ＦＧ??ＢＣＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________ .
1：3：52019/1/26 已知:梯形ABCD中AD∥BC,AD=36cm, BC=60cm,延长两腰BA,CD交于点 O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_______.F80cm2019/1/26探究活动：已知△ABC，如果要作与BC平行的直线把△ABC划分成两部分，使这两部分（三角形与四边形）的面积之比为1：1，该怎么作？如果要使划分成的面积之比为1：2，又该怎么作？如果要使划分成的面积之比为1；n,又该怎么作？
2019/1/26结论：1．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．2．相似三角形内切圆的直径比、周长 比等于相似比，内切圆的面积比等于 相似比的平方．2019/1/26作业：1．课本P19-20 习题1．3
2．成才之路P21-22课件9张PPT。2019/1/26相似三角形的判定2019/1/26一、复习引入。1、相似三角形的定义是什么？ 如果那么ΔABC∽ΔA/B/C/ 2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？ 全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。 3、预备定理：平行于三角形一边的直线与三角形的其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。2019/1/26分析:要证两个三角形相似，
目前只有两个途径。一个是
三角形相似的定义，（显然条件不具备）；二个是预备定理。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？二、新课教学。 1、命题：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（把小的三角形移动到大的三角形上）。怎样实现移动呢?2019/1/26证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/，∴ ∠ADE=∠B/，又∵ ∠B/=∠B，∴ ∠ADE=∠B，∴ DE//BC，∴ ΔADE∽ΔABC。∴ ΔA/B/C/∽ΔABC2019/1/26判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似．
2019/1/26引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
2019/1/26判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形似．即三边对应成比例，两三角形相似．
2019/1/26练习：依据下列各组条件判定两三角形是否相似？
1．∠A = 45 , A B =12cm , A C =15cm ,
∠A′= 45°, A′B′=16cm , A′C′=20cm ;
2．∠B= ∠B′=75°, ∠C=50°, ∠A′=55°;
3．∠B= ∠B′=75°, ∠A=50°, ∠A′=55°;
4． AB=12cm,AC=15cm,A′B′=16cm,A′C′=20cm
5． A B = 4cm , A C = 5cm , B C = 6cm,
A′B′= 16cm , A′C′= 20cm , B′C′= 24cm ;
2019/1/26成才之路P15例3
已知△ABC中，AB=AC, ∠A=36°,BD 平分∠ABC
求证：想一想课件9张PPT。直角三角形的射影定理一.新授1.射影：（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影子应是什么？（2）线段留在MN上的影子是什么？定义：过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线，垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在直线l上的正射影，简称射影。
线段A‘B’点A′讨论：1．线段在直线上的射影结果点或线段2．直线在直线上的射影结果
点或直线
已知直角三角形ABC，CD垂直AB
问：1．图中有几个Rt△?
2．有几对△相似？
3．CD2 =？
AC2 =？
BC2 =？ AD·DBAD·ABBD·BA 2.射影定理：1．直角三角形中,斜边
上的高线是两条直角
边在斜边上的射影的
比例中项;
2．每一条直角边是这
条直角边在斜边上的
射影和斜边的比例中
项;利用射影定理证明勾股定理:利用勾股定理证明射影定理:AB2 =(AD＋DB) 2 =AD 2＋2AD ·DB ＋DB2
=(AC2-CD2)+ 2AD ·DB +(BC2-CD2)=
AC2+BC2+2(AD ·DB - CD2)
AB2 = AC2 ＋BC2 AD ·DB - CD2 =0
CD2 = AD ·DB 1．直角三角形中,斜边 上的高线是两条直角 边在斜边上的射影的 比例中项;2．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项; 例1、如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD=2，DB=8，求CD、AC和 BC的长。1．直角三角形中,斜边 上的高线是两条直角 边在斜边上的射影的 比例中项;2．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;例2、如图，△ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且
求证： △ABC是直角三角形。1．直角三角形中,斜边 上的高线是两条直角 边在斜边上的射影的 比例中项;2．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;1、在△ABC中，∠C=600，CD是斜边AB上的高，已知CD=60，AD=25，求BD、AB、AC、BC的长。作业：2、如图， △ABC中，∠BAC=600，CD⊥AB，求证：3、如图，已知线段a、b，
求作线段a和b的比例中项。1．直角三角形中,斜边 上的高线是两条直角 边在斜边上的射影的 比例中项;2．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;
