数学高中必修四苏教版3.1《两角和与差的三角函数》课件

课件15张PPT。 P(x,y)rx=r ·cosα
y=r ·sinα
P(r ·cosα , r ·sinα)
Oxy 我们把y/r、x/r、y/x、x/y、r/x、r/y定义为α的六个三 角函数特别地，r=1时，点P的坐标为（cos α,sin α)C:sketch第三章 两角和与差的三角函数，
解斜三角形
一、两角和与差的三角函数 不查表，求cos（ –435°） 的值. 解：cos(–435 ° ) =cos435 ° =cos(360 ° +75 °)=cos75 °
§3.1 两角和与差的三角函数

1.两角和与差的余弦 cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
在平面直角坐标系xOy内,作单位圆,并作
α 、 β 和–β角,使α角的始边为Ox，交圆O于P1,
终边交圆O于P2;β角的始边为OP2,终边交圆O于
P3; – β角的始边为OP1,终边交圆O于P4;

此时,P1.P2.P3.P4的坐标分别为P1(1,0) ,
P2(cosα,sinα), P3(cos(α+β),sin(α+β) ),
P4(cos(–β), sin(–β)).
由︱P1P3 ︱= ︱P2P4︱及两点间距离公式,
得： [cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)=[cos(–β)–cosα]2+[sin(–β)–sinα] 2.
整理得:
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ.
证明:如图所示 cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ 公式的结构特征:
左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β的余弦积与正弦积的差. cos(α–β)= cosαcosβ+sinαsinβ 公式的结构特征:
左边是复角α+β的余弦,右边是单角α、β 的余弦积
与正弦积的和. 例1.不查表,求cos(–435°)的值.
解:cos(– 435 °)=cos75 ° =cos(45 ° +30 °)
=cos45 ° ?cos30 ° –sin45 ° ?sin30 °应用举例不查表,求cos105 °和cos15 °的值.练习例2.已知cos(α–30 °)=15/17, α为大于30 °的锐角,求cos α的值. 分析： α=(α– 30 °)+ 30 °
解：∵ 30 °＜ α ＜90 ° , ∴ 0 ° ＜ α – 30 ° ＜60 °,
由cos(α – 30 ° )=15／17,得sin (α – 30 ° )=8／17,
∴cos α=cos[(α – 30 ° )+ 30 °]
= cos(α – 30 ° )cos 30 ° – sin (α – 30 ° )sin 30 °
= 15／17 × √3／2 – 8／17 × 1／2
=（15 √3 – 8）／34.
例3.在△ABC中,cosA=3／5,cosB=5／13,则cosC的值为( ). 分析: ∵C=180 °–(A+B)
∴cosC=–cos(A+B)= –cosAcosB+sinAsinB
已知cosA=3／5 ,cosB=5／13,尚需求sinA,sinB的值.
∵sinA= 4／5 , sinB=12／13,
∴cosC=–3／5 × 5／13 + 4／5 × 12／13
=33／65.例4.cos25 °cos35 °–cos65 °cos55 °的值等于( ). (A) 0 (B) 1／2 (C) √3／2 (D)–1／2
解: 原式=cos25 °cos35 °–sin25 °sin35 °
=cos(25 ° +35 °)
=cos60 °
=1／2.
故选: ( )B例5. 求函数y=cos2xcosπ／6 +sin2xsinπ／6的周期. 解: y=cos2xcosπ／6 +sin2xsinπ／6
=cos(2x– π／6 ),
故此函数的最小正周期为π. 1.不查表,求cos165 °,cos(– 61π／12)的值.
2.已知cosθ=–5／13, θ∈(π,3π／2)求cos(θ+π／6)的值.
3.cos 215 °–sin215 °= -----------.
4.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则△ABC是 ( ).
(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)锐角三角形(D)不确定
–(√6+√2)／4,– (√6+√2)／4(12–5√3) ／26√3 ／2A答案:
1. ( ) ;
2.( ) ;
3. ( ) ;
4. ( ).
课堂练习1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式。使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.小 结课本习题十五:第1、2题.
预习课本P.206-209内容，并思考 ：
1、如何推导（π／2 + α ）的诱导公式？
2、如何推导两角和与差的正弦公式？作 业