5.1.2复数乘法几何意义初探 教案

复数乘法几何意义初探
【教学目标】
1．初步了解复数乘法的几何意义.
2．为后续学习复数的三角表示打下基础.
【教学重难点】
复数乘法与旋转的关系.
【教学过程】
一、新知初探
在复平面内，设复数z1=a+bi（a，b∈R），z2=z1·2，利用复数的乘法运算法则，则z2=（a+bi）·2=2a+2bi.根据复数的几何意义，可知z2是将z1在原方向伸长为原来的2倍得到的.
在复平面内，设复数z1=1+i，z2=z1·i，如何直观地理解z1与z2之间的位置关系呢？
【释疑】
根据复数的乘法运算法则，有：
z2=z1·i=（1+i）·i=1·i+i·i=-1+i.
在复平面内作出复数z1，z2分别对应的点Z1，Z2；然后分别过点Z1，Z2作垂直于x轴的线段，交点分别为点Z1’，Z2’，再分别过点Z1，Z2作垂直于y轴的线段，交点分别为点Z1’’，Z2’’（Z1’’），如图易知，z2是由z1逆时针旋转90°（π/2）得到的.
二、合作探究
【例】在复平面内，复数z1=3-2i，z2=z1·i，如何理解z1与z2的位置关系？
【解】
解根据复数的乘法运算法则，有：
z2=z1·i=（3-2i）·i=3·i+（-2i）·i=2+3i.
在复平面内标出复数z1，z2分别对应的点Z1，Z2；然后分别过点Z1，Z2作垂直于x轴的线段，交点分别为点Z1’，Z2’，再分别过点Z1，Z2作垂直于y轴的线段，交点分别为点Z1"，Z2’’.如图易知，z2是由z1逆时针旋转90°（π/2）得到的.
【教师总结】
设复数z1=a+bi（a，b∈R）.
若z2=（a+bi）·c（c>0），即z2是将z1沿原方向伸长（c>1）或压缩（0z3=（a+bi）·i，则z3是将z1逆时针旋转90°（π/2）得到的.
三、课堂练习
在复平面内，菱形ABCD对角线交点为原点O，且两条对角线长度之比为2：1，顶点A对应的复数是6+8i，设B，C，D三点对应的复数分别为z·z1，z·z1·z2，z·z1·z2·z3，求z1，z2，z3，并计算出B，C，D三点所对应的复数.
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