2.5.1 向量的数量积 教案

向量的数量积
【教学目标】 【核心素养】
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（难点） 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系。（重点） 3．掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题。（重点） 1．通过向量的夹角、向量数量积概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养。 2．通过向量数量积的应用，培养学生的数学运算核心素养。
【教学过程】
一、问题导入
我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功。如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s|·m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W=|F||s|cos θ。
（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？
（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由。
二、新知探究
1．与向量数量积有关的概念
【例1】（1）以下四种说法中正确的是________。（填序号）
①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；
③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形；
④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2
（2）已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影的数量为________，b在a方向上的投影的数量为________。
（3）已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________。
思路探究：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答。
（1）③④；（2）－；－4；（3）8；[（1）由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cos θ（θ为向量a，b的夹角）。
①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；
②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；
③由·＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；
④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确。
（2）设a与b的夹角为θ，则有
a·b＝|a|·|b|·cos θ＝－12，
所以向量a在向量b方向上的投影的数量为|a|·cos θ＝＝＝－；向量b在向量a方向上的投影的数量为|b|·cos θ＝＝＝－4．
（3）如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
因为AB＝AC，
所以BD＝BC＝2，
于是||cos ∠ABC＝||
＝||＝×4＝2，
所以·＝||||cos ∠ABC＝4×2＝8．
[教师小结]
（一）在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写。
（二）求平面向量数量积的方法：
（1）若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ。
（2）若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b。
2．数量积的基本运算
【例2】已知|a|＝4，|b|＝5，当（1）a ∥ b；（2）a ⊥ b；（3）a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积。
思路探究：（1）当a ∥ b时，a与b夹角可能为0°或180°。（2）当a ⊥ b时，a与b夹角为90°。（3）若a与b夹角及模已知时可利用a·b＝|a|·|b|·cos θ（θ为a，b夹角）求值。
解：设向量a与b的夹角为θ，
（1）a ∥ b时，有两种情况：
①若a和b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|，cos 0°＝20；
②若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝|a||b|·cos 180°＝－20.
（2）当a ⊥ b时，θ＝90°，
∴a·b＝0。
（3）当a与b夹角为135°时，
a·b＝|a||b|·cos 135°＝－10。
[教师小结]
（1）求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|·cos θ。
（2）非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a||b|。
3．与向量模有关的问题
【例3】已知x＝1是方程x2＋|a|·x＋a·b＝0的根，且a2＝4，a与b的夹角为120°。求向量b的模。
解：因为a2＝4，所以|a|2＝4，即|a|＝2，
将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b＝0，所以a·b＝－3，所以a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉
＝2|b|cos 120°＝－3，所以|b|＝3。
1．（变结论）本例题设条件不变，求b在a方向上的投影的数量。
解：由例题解析可知|b|＝3．
因为|b|·cos〈a，b〉＝3×cos120°＝－。
所以b在a方向上的投影的数量为－。
2．（变条件）将本例中“a与b的夹角θ为120°”改为“|a·b|＝3”。如何求a与b的夹角θ？
解：易求|a|＝2，|b|＝3。
因为a·b＝|a||b|·cos θ，
所以|a·b|＝|a||b||cos θ|＝3，
所以|cos θ|＝，故cos θ＝±。
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝或。
[教师小结]
（1）此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系。
（2）利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化。
4．平面向量数量积的性质
[探究问题]
（1）设a与b都是非零向量，若a ⊥ b，则a·b等于多少？反之成立吗？
提示：a ⊥ b a·b＝0.
（2）当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
提示：当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a＝a2＝|a|2或|a|＝。
（3）|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
提示：|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cos θ。
两边取绝对值得：
|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|。
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”，
所以|a·b|≤|a||b|，cos θ＝。
【例4】 已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
思路探究：由条件计算a·b，当c ⊥ d时，c·d＝0列方程求解m。
解：由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3．
由c ⊥ d，知c·d＝0，
即c·d＝（3a＋5b）·（ma－3b）＝3ma2＋（5m－9）a·b－15b2＝27m＋3（5m－9）－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即m＝时，c与d垂直。
[教师小结]
（1）已知非零向量a，b，若a ⊥ b，则a·b＝0，反之也成立。
（2）设a与b夹角为θ，利用公式cos θ＝可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0，π]。
三、课堂总结
1．对投影的三点诠释
（1）a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积。其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的。
（2）b在a方向上的投影为|b|·cos θ（θ是a与b的夹角），也可以写成。
（3）投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零。
2．向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
实数a，b，c 向量a，b，c
a≠0，a·b＝0 b＝0 a≠0，a·b＝0 / b＝0
a·b＝b·c（b≠0） a＝c a·b＝b·c（b≠0） / a＝c
|a·b|＝|a|·|b| |a·b|≤|a|·|b|
满足乘法结合律 不满足乘法结合律
四、课堂检测
1．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是（ ）。
A．－25 B．25
C．－24 D．24
【答案】A
【解析】因为||2＋||2＝9＋16＝25＝||2，
所以∠ABC＝90°，所以原式＝·＋·（＋）＝0＋·＝－2＝－25．]
2．（2019·全国卷Ⅰ）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a－b）⊥b，则a与b的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设a与b的夹角为α，∵（a－b）⊥b，∴（a－b）·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|·cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B。
3．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影的数量为－2，则a与e的夹角为________。
【答案】120°
【解析】因为a在e方向上的投影为－2，
即|a|·cos〈a，e〉＝－2，所以cos〈a，e〉＝＝－，
又〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝120°。]
4．已知a·b＝20，|a|＝5，求b在a方向上的投影的数量。
【答案】设a，b的夹角为θ，
则b在a方向上的投影的数量就是|b|·cos θ，
因为|a||b|·cos θ＝a·b＝20，
所以|b|·cos θ＝＝＝4，
即b在a方向上的投影的数量是4。
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