1.2 任意角 教案

任意角
【教学目标】 【核心素养】
1．了解现实生活中的周期现象． 2．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点) 3．掌握终边相同角的含义及其表示．(难点) 4．会用集合表示象限角．(易错点) 1．通过学习周期现象、任意角的概念，象限角的概念，体会数学抽象素养． 2．通过终边相同的角的表示及象限角的表示，培养数学运算素养.
【教学过程】
一、基础铺垫
1．角的概念
（1）角的有关概念
（2）角的概念的推广
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，我们称这样的角为零度角，又称零角
思考1：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？
[提示] 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．
2．象限角的概念
（1）前提条件
①角的顶点与原点重合．
②角的始边与x轴的非负半轴重合．
（2）结论
角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
（3）终边相同的角及其表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}．
如图所示：
注意以下几点：
①k是整数，这个条件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．
④终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
思考2：假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
[提示] 它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．
二、新知探究
1.角的概念
【例1】下列结论：
①锐角都是第一象限角；
②第二象限角是钝角；
③小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中，正确结论的序号为______．
①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；
②480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以②不正确；
③0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③不正确．]
【规律方法】判断角的概念问题的关键与技巧：
（1）关键：正确理解象限角与锐角，直角，钝角，平角，周角等概念.?
（2）技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.
2.象限角的表示
[探究问题]
（1）任意角都是象限角吗？为什么？
[提示] 不是．一些特殊角终边可能落在坐标轴上．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不是象限角．
（2）象限角的表示．
象限角 角的集合表示
第一象限角 ________
第二象限角 ________
第三象限角 ________
第四象限角 ________
[提示]
象限角 角的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α【例2】已知α为第二象限角，问2α，分别为第几象限的角？
[思路探究] 由角α为第二象限角，可以写出α的范围：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，在此基础上可以判断2α，的范围，进而可以判断出它们所在的象限．
[解] ∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)．
∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的负半轴上的角．
同理，45°＋·360°<<90°＋·360°(k∈Z)．
①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)．
则45°＋n·360°<<90°＋n·360°(k∈Z)，
此时为第一象限角；
②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)．
则225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)．
此时为第三象限角．
综上可知，为第一或第三象限角．
【母题探究】
1．(变结论)在本例条件下，求角2α的终边的位置．
[解] ∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
2．(变条件)若角α变为第三象限角，则角是第几象限角？
[解] 如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有“三”的区域即为角的终边所在的区域，故角为第二或第四象限角．
【规律方法】倍角、分角所在象限的判定思路?：
（1）已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况.?
（2）已知角α终边所在的象限，确定终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余 n－1．然后方可下结论.几何法依据数形结合思想，简单直观.
3.终边相同的角
[探究问题]
（3）在同一坐标系中作出390°，－330°，30°的角并观察这三个角终边之间的位置关系，角的大小关系．
[提示] 如图所示，三个角终边相同，相差360°的整数倍．
（3）对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
[提示] 所有与角α终边相同的角连同α在内，可以构成一个集合，S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角整数倍的和．
【例3】已知α＝－1 910°.
（1）把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
[思路探究] 利用终边相同的角的关系α＝β＋k·360°，k∈Z.求解．
[解] （1）－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．
（2）令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ<0°的角，
即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
所以θ为－110°，－470°.
【母题探究】
3．(变条件)若将例题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解] 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤ α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
4．(变条件)若将例题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
[解] 由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β ≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β ≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤ β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤ β≤n·180°＋105°，n∈Z}．
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．
【规律方法】
1．终边落在直线上的角的集合的步骤
（1）写出在0°～360°范围内相应的角；
（2）由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
（3）根据条件能合并一定合并， 使结果简捷．
2．终边相同角常用的三个结论
（1）终边相同的角之间相差360°的整数倍．
（2）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
（3）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
三、课堂总结
1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．
2．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．
3．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}．
四、课堂练习
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）某同学每天上学的时间是周期现象．( )
（2）第三象限角一定比钝角大．( )
（3）始边相同，终边不同的角一定不相等．( )
（4）始边相同，终边也相同的角一定相等．( )
[答案] （1）× （2）× （3）√ （4）×
2．下列现象不是周期现象的是( )
A．钟摆摆心偏离铅垂线角度的变化
B．游乐场中摩天轮的运行
C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数
D．太阳的东升西落
C [A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象．]
3．下面各组角中，终边相同的是 ( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
B [因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同．]
4．从13：00到14：00，时针转过的角度为________，分针转过的角度为________．
－30° －360° [经过1小时，时针顺时针转过了30°，分针顺时针转过了360°.]
5．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
（1）－150°；（2）650°.
[解] （1）因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
（2）因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
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