华东师大版数学九年级下册 26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
第26章 二次函数
1. 二次函数y=ax2的图象与性质
26.2 二次函数的图象与性质
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）
2.会用描点法画出二次函数y=ax 的图象，概括出图象的特点.（难点）
3.掌握形如y=ax 的二次函数图象的性质，并会应用.（难点）
导入新课
情境引入
讲授新课
二次函数y=ax2的图象
一
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
例1 画出二次函数y=x2的图象.
9
4
1
0
1
9
4
典例精析
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
-3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
x
y
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
练一练：画出函数y=-x2的图象.
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
x
o
y=x2
议一议
1.y＝x2是一条抛物线;
2.图象开口向上;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最低点．
y
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.
o
x
y
y=-x2
1.y＝-x2是一条抛物线;
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最高点．
1. 顶点都在原点;
3.当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
二次函数y=ax2 的图象性质：
知识要点
2. 图像关于y轴对称;
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
x
y
O
y=ax2
y=-ax2
交流讨论
二
二次函数y=ax2的性质
问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
知识要点
(-2,-4)
(-1,-1)
(2,-4)
(1,-1)
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
知识要点
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
···
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
-2
2
2
4
6
4
-4
8
思考1：从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？
当a>0时，a越大，开口越小.
练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
···
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
-8
-4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
思考2 从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
知识要点
y
O
x
y
O
x
例1 已知二次函数y=x2．
（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？
典例精析
（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？
解：（1）当x=2时，y=x2=4，
所以A（2，4）在二次函数图象上；
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？
当x=－2时，y=x2=4，
所以C点在二次函数y=x2的图象上；
当x=2时，y=－x2=－4，
所以B点在二次函数y=－x2的图象上；
当x=－2时，y=－x2=－4，
所以D点在二次函数y=－x2的图象上．
已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= .
分析： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，
解得 k=2
2
练一练
例3. 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；
(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；
(2)由于函数图象经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图象关于y轴对称求出OA＝OB，即图象左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积．
<
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，
∴当x＝2时，y＝2×22＝8.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它
们的对称轴，
∴OA＝OB，
∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
方法总结
当堂练习
1.函数y=2x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
2.函数y=-3x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大
x
x
y
y
O
O
3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .
x
y
k>1
4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
开口方向
对称轴
顶点
向上
向下
向下
向上
y轴
y轴
y轴
y轴
（0,0）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
O
5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
(4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1则y1 y2.
2
y轴
向上
（0,0）
小
上
>
6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：∵二次函数y=x2，
∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，
∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
课堂小结
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性