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北师版八年级下册数学3.3 中心对称教学设计
课题 3.3 中心对称 单元 第三单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.认识中心对称的相关概念.2.能综合运用变换解决有关问题.3.通过观察、探索等过程,使学生更深刻地理解平移、旋转及中心对称等几何变换的规律和特征,并体会图形之间的变换关系.4.运用讨论交流等方式,让学生自己探索出图形变化的过程,发展学生的图形分析能力、化归意识和综合运用变换解决有关问题的能力.
重点 1.识别中心对称图形和成中心对称的两个图形的基本特征.2.熟练地画出已知图形关于某一点成中心对称的图形.
难点 探索图形之间的变换关系,并应用它们解决相关的问题.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：在前一节中我们学习了图形的旋转,那么旋转有什么性质 旋转具有什么性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.旋转的性质很重要，因为不论是作一个图形绕某个点旋转一定的角度后的图形，还是判断一个图形是不是另一个图形的旋转图形都是把旋转的性质作为依据的.“双鱼”剪纸作品是由两个形状、大小完全相同的图案组成的，这两个图案的位置有怎样的特殊关系 怎样改变其中一个图案的位置，可以使它与另一个图案重合 学生思考回答问题。学生观察图片，学生思考。 在复习旋转的基础上,引入特殊的旋转角度,定义新的概念(中心对称),学生易于接受和理解.通过观察发现图形的内在联系,这个活动为课堂提供了极好的素材,也将极大地激发学生学习的积极性与主动性.
讲授新课 观察下图，图（1）经过怎样的运动变化就可以与图（2）重合？观察下图，再试一试．你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流．中心对称的定义：如果一个图形绕着某一点旋转180°，它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.如图所示，△ABC与△A'B'C'成中心对称，点O是它们的对称中心.【拓展提高】中心对称的含义是：①两个图形能够完全重合；②重合方式有限制，不是把一个图形平移到另一个图形上面，也不是沿一条直线对折，而是把一个图形绕着某一点旋转180°之后与另一个图形重合.由此可见成中心对称的图形一定全等，而全等的图形不一定成中心对称.【合作探究】如图所示，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'关于点O对称，分别连接AA'，BB'，CC'，DD'，你发现了什么 (1)AA'，BB'，CC'，DD'都经过点O.(2)OA=OA'，OB=OB'， OC=OC'， OD=OD'.【画一画】自己再画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转 180 ° ．连接旋转前后一组对应点，你发现了什么？成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。【拓展提高】①对称中心在任意两个对应点的连线上.②对称中心到一对对应点的距离相等.根据这个性质，可以找到成中心对称的两个图形的对称中心，通常只需连接两个图形上的一对对应点，所得线段的中点就是对称中心.同时在证明线段相等时也有应用.③中心对称的识别.反过来说，如果两个图形的对应点所连的线段都经过某一点，且被平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.【例】如图所示，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形.解：如图，连接 BO 并延长至 B′，使得OB′= OB；连接 CO 并延长至 C′，使得 OC′ = OC；连接 DO 并延长至 D′，使得 OD′ = OD；顺次连接 A，D′，C′，B′，E．图形 AD′C′B′E 就是以点 O 为对称中心、与五边形 ABCDE 成中心对称的图形．议一议观察下图，这些图形有什么共同特征？你还能举出一些类似的图形吗？把一个图形绕某个点旋转 180 ° ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．小组讨论：（1）三角形是中心对称图形吗？（2）正五边形是中心对称图形吗？（3）正六边形是中心对称图形吗？（4）除了平行四边形，你还能找到哪些多边形是中心对称图形？【拓展提高】 中心对称与中心对称图形的联系与区别：联系： 如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它是中心对称图形.如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形，那么它们成中心对称区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系，中心对称图形指一个图形本身成中心对称. 学生通过教师演示，思考问题。学生总结中心对称的定义。学生在教师的引导下理解中心对称的含义。学生小组合作，探究成中心对称的两个图形中，对应点所连线段的关系。学生根据所学知识做例题。 学生观察图片，总结这些图形的特征，得出中心对称图形的定义。 通过多媒体直观的演示，学生能够直观具体的体会图形的变化，两个图形之间的联系与区别。充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。
课堂练习 1.下面哪些图形是中心对称图形？解：(1)(2)(3)是中心对称图形.2．下面扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形？2和J是中心对称图形.3.下列说法正确的是( D )A．全等的两个图形成中心对称B．能够完全重合的两个图形成中心对称C．绕某点旋转后能够重合的两个图形成中心对称D．绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称4.下列各组图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是( A )5.如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不正确的是( B )A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．∠BOC＝∠B′A′C′C．AB＝A′B′ D．OA＝OA′6.如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点成中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求对称中心的坐标；解：根据中心对称的定义，可得对称中心是D1D的中点．∵点D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，∴对称中心的坐标是(0，2.5)．(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．解：∵点A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4－2＝2.∴点B，C的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)．∵A1D1＝2，点D1的坐标是(0，3)，∴点A1的坐标是(0，1)．∴点B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3)．综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．7.【中考·舟山】如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是( A )A．(2，－1)B．(1，－2)C．(－2，1)D．(－2，－1)8.【中考·黄石】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( D ) 学生做练习，小组讨论答案。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
板书 课题：3.3 中心对称一、相关的定义二、中心对称的性质三、例题讲解
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3.3 中心对称
北师版 八年级下册
新知导入
旋转具有什么性质
一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；
对应线段相等，对应角相等.
旋转的性质很重要，因为不论是作一个图形绕某个点旋转一定的角度后的图形，还是判断一个图形是不是另一个图形的旋转图形都是把旋转的性质作为依据的.
新知导入
“双鱼”剪纸作品是由两个形状、大小完全相同的图案组成的，这两个图案的位置有怎样的特殊关系
怎样改变其中一个图案的位置，可以使它与另一个图案重合
新知讲解
观察下图，图（1）经过怎样的运动变化就可以与图（2）重合？
新知讲解
观察下图，再试一试．
你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流．
新知讲解
中心对称的定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.
如图所示，△ABC与△A'B'C'成中心对称，点O是它们的对称中心.
新知讲解
中心对称的含义是：
①两个图形能够完全重合；②重合方式有限制，不是把一个图形平移到另一个图形上面，也不是沿一条直线对折，而是把一个图形绕着某一点旋转180°之后与另一个图形重合.
由此可见成中心对称的图形一定全等，而全等的图形不一定成中心对称.
【拓展提高】
新知讲解
如图所示，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'关于点O对称，分别连接AA'，BB'，CC'，DD'，你发现了什么
(1)AA'，BB'，CC'，DD'都经过点O.
【合作探究】
B
A
C
D
A'
B'
C'
D'
O
(2)OA=OA'，OB=OB'，
OC=OC'，OD=OD'.
新知讲解
【画一画】自己再画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转 180 ° ．
连接旋转前后一组对应点，你发现了什么？
成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对
称中心平分。
新知讲解
①对称中心在任意两个对应点的连线上.
②对称中心到一对对应点的距离相等.
根据这个性质，可以找到成中心对称的两个图形的对称中心，通常只需连接两个图形上的一对对应点，所得线段的中点就是对称中心.
同时在证明线段相等时也有应用.
③中心对称的识别.
反过来说，如果两个图形的对应点所连的线段都经过某一点，且被平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.
【拓展提高】
新知讲解
【例】如图所示，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形.
解：如图，连接 BO 并延长至 B′，使得
OB′= OB；
连接 CO 并延长至 C′，使得 OC′ = OC；
连接 DO 并延长至 D′，使得 OD′ = OD；
顺次连接 A，D′，C′，B′，E．
图形 AD′C′B′E 就是以点 O 为对称中心、与
五边形 ABCDE 成中心对称的图形．
新知讲解
议一议
观察下图，这些图形有什么共同特征？你还能举出一些类似的图形吗？
把一个图形绕某个点旋转 180 ° ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
新知讲解
小组讨论：
（1）三角形是中心对称图形吗？
（2）正五边形是中心对称图形吗？
（3）正六边形是中心对称图形吗？
（4）除了平行四边形，你还能找到哪些多边形是中心对称图形？
不是
不是
是
边数为偶数的正多边形都是中心对称图形.
新知讲解
中心对称与中心对称图形的联系与区别：
联系：
如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它是中心对称图形.
如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形，那么它们成中心对称.
区别：
中心对称指两个全等图形的相互位置关系，中心对称图形指一个图形本身成中心对称.
【拓展提高】
课堂练习
1.下面哪些图形是中心对称图形？
解：(1)(2)(3)是中心对称图形.
课堂练习
2．下面扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形？
解：2和J是中心对称图形.
课堂练习
3.下列说法正确的是( )
A．全等的两个图形成中心对称
B．能够完全重合的两个图形成中心对称
C．绕某点旋转后能够重合的两个图形成中心对称
D．绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称
D
课堂练习
4.下列各组图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是( )
A
课堂练习
B
5.如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不正确的是( )
A．∠ABC＝∠A′B′C′
B．∠BOC＝∠B′A′C′
C．AB＝A′B′
D．OA＝OA′
拓展提高
6.如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点成中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．
(1)求对称中心的坐标；
解：根据中心对称的定义，可得
对称中心是D1D的中点．
∵点D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，
∴对称中心的坐标是(0，2.5)．
拓展提高
(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
解：∵点A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4－2＝2.
∴点B，C的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)．
∵A1D1＝2，点D1的坐标是(0，3)，∴点A1的坐标是(0，1)．
∴点B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3)．
综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．
中考链接
7.【中考·舟山】如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点
A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是( )
A．(2，－1)
B．(1，－2)
C．(－2，1)
D．(－2，－1)
A
中考链接
8.【中考·黄石】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
D
课堂总结
本节课你学到了什么？
如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.
成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
板书设计
课题：3.3 中心对称
教师板演区
学生展示区
一、相关的定义
二、中心对称的性质
三、例题讲解
作业布置
课本 P84 练习题
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