高考试题中平面向量问题的类型与解法 学案
文档属性
| 名称 | 高考试题中平面向量问题的类型与解法 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-24 20:15:26 | ||
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文档简介
高考试题中平面向量问题的类型与解法
大家知道，平面向量问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考试卷中必有一个五分小题，有时在大题中也会涉及到平面向量的问题。从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档（或中档），但有时也会是高档。纵观近几年高考试题，归结起来平面向量问题主要包括：①平面向量几何运算问题；②平面向量坐标运算问题；③平面向量数量积的问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答平面向量问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析，来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知=ac，点D在边AC上，BDsin
ABC=asinC。
（1）证明：BD=b；
（2）若AD=2DC，求cosABC（2021全国高考新高考I卷）。
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③平面向量的定义与性质；④平面向量几何运算的法则和基本方法。
【解题思路】（1）根据正弦定理，结合问题条件得到关于BD，b的方程组，求解方程组就可证明BD=b；（2）根据平面向量的性质和平面向量几何运算法则与基本方法，结合问题条件求出，从而得到|| 关于a，c的式子，得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，c关于b的表示式，运用余弦定理就可求出cosABC的值。
【详细解答】（1）证明：=，sinABC=， BDsinABC
=asinC，sinABC=，bBD=ac①， A
=ac②，联立①②得：BD=b， BD=b； D
（2）如图，+=，AD=2DC， B C
=-，==-，=-=-+
=+，|| =+.+=+accosABC+③，=ac，cosABC=，BD=b④，联立③④解得：=，=，或=，=3 cosABC===，或cosABC=
==>1与余弦三角函数不符， cosABC=。
2、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则.的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）
A （-2，6） B （-6，2） C （-2，4） D （-4，6）
【解析】
【考点】①向量定义与性质；②正六边形定义与性质；③向量数量积定义与性质。
【解答思路】根据向量，正六边形和向量数量积的性质，运用向量几何运算法则与基本方法，结合问题条件求出.的取值范围就可得出选项。 E D
【详细解答】如图， P是边长为2的正六边形ABCDEF F C
内的一点，当且仅当点P与点F重合时，.= A B
. =22（-）=-2，当且仅当点P与点C重合时，.=.=22=6，当点P在正六边形ABCDEF内时，.的取值范围是（-2，6），A正确，选A。
『思考问题1』
（1）【典例1】是向量几何运算的问题，解答这类问题需要掌握向量几何运算的法则和运算的基本方法，能够灵活运用平行四边形法则和三角形法则，一般来说，两个向量具有公共的始点时，选用平行四边形法则；两个向量如果一个向量的始点与另一个向量的终点重合时，选用三角形法则；
（2）用两个不共线的已知向量来表示其他向量是用向量解题的基本要领，在实际解答问题时，应该尽可能地把相关向量转化到同一平行四边形 或 同一三角形中去；
（3）注意待定系数法和方程思想的运用，在实际解答问题时，经常运用向量共线的充分必要条件和平面向量基本定理建立方程（或方程组），再通过解方程（或方程组）达到解答问题的目的。
【典例2】解答下列问题：
1、已知O为坐标原点，点（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），则（ ）（2021全国高考新高考I）
A ||=|| B ||=|| C.=. D .=.
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算的法则和基本方法；③向量数量积的定义与性质；④向量模定义与性质。
【解答思路】根据向量坐标，向量模和向量数量积的性质，运用向量坐标运算法则与基本方法，结合问题条件分别对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】点（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），=（cos，sin），=（cos，-sin），=（cos(+)，sin(+)），=（1，0），=（cos-1，sin），=（cos-1，-sin），||=
=1，||==1，==，||
==，.= cos(+)+0= cos(+)，.
= cos. cos- sin. sin= cos(+)，.= cos+0= cos，.= cos
. cos(+)-sin. sin(+)=cos(++)=cos(+2)， ||=||=1，,A正确，选A。
2、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（a，-cosA），=（cosC，b-c），且.=0，则角A的大小为（ ）（2020成都市高三零诊）
A B C D
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②向量数量积的定义与性质；③求向量数量积的基本方法；④三角形内角和定理及运用；⑤余弦定理及运用；⑥三角函数诱导公式及运用。
【解答思路】运用正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理和求向量数量积的基本方法，结合问题条件求出cosA的值，从而求出角A的大小就可得出选项。
【详细解答】.=a cosC -b cosA +c cosA =0，sinA cosC -sinB cosA +sinC cosA= sinB -sinB cosA= sinB （1 -cosA）=0， sinB＞0，1 -cosA=0，cosA=
=，3、设向量=（x，x-1），=（2，-1），若+2与共线，则实数x的值为（ ）（2020成都市高三三诊）
A B - C 10 D -11
【解析】
【考点】①向量坐标的定义与性质；②向量坐标运算的法则和基本方法；③向量共线的定义与性质。
【解题思路】根据几何体三视图的性质和已知几何体三视图确定几何体直观图的基本方法，结合问题条件确定出几何体的直观图，运用圆柱，圆锥的性质和求圆柱，圆锥表面积的基本方法求出几何体的表面积就可得出选项。
【详细解答】=（x，x-1），=（2，-1），+2=（x+4，x-3），向量+2与共线，=，-x-4=2x-6，x=，A正确，选A。
『思考问题2』
（1）【典例2】是向量坐标运算的问题，解答这类问题需要理解平面向量坐标的定义，掌握向量坐标运算的法则和基本方法；
（2）向量的坐标运算主要包括：①向量坐标的加法运算；②向量坐标的减法运算，③向量坐标的数乘运算；这三种运算都可以直接运用运算法则进行，同时注意坐标运算性质和运算律的灵活运用，对于综合性问题解答时注重方程思想与数形结合思想的运用。
【典例3】解答下列问题：
1、已知向量=（3，1），=（1，0），=+k，，则k= （2021全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算法则和基本方法；③向量数量积的定义与性质。
【解答思路】根据向量坐标的性质和向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件求出向量，运用向量数量积的性质得到关于k的方程，求解方程就可k的值。
【详细解答】=（3，1），=（1，0），=+k==（3，1）+=（k，0）=（3+k，1），，.=3(3+k)+1=3k+10=0，k=-。
2、已知向量=（1，3），=（3，4），若（-），则= （2021全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算法则和基本方法；③向量数量积定义与性质。
【解答思路】根据向量坐标的性质和向量坐标运算法则与基本方法，结合问题条件求出向量-，运用向量数量积的性质得到关于的方程，求解方程就可的值。
【详细解答】=（1，3），=（3，4），-=（1，3）-（3，4）=（1-3，3-4），（-），（-）.=3（1-3）+4（3-4）=15-25=0，=。
3、已知向量++=0，||=1，||=||=2，.+.+.= （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①向量定义与性质；②向量几何运算法则和基本方法；③向量数量积定义与性质。
【解答思路】根据向量的性质和向量几何运算法则与基本方法，结合问题条件求出就可求出.+.+.的值。
【详细解答】++=0，||=1，||=||=2，（++）=||+||+||+2（.+.+.）=1+4+4+2（.+.+.），.+.+.=-。
4、已知向量，满足=（1，1）， +2=（3，-1），则向量与的夹角为 （2021成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算法则和基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法求出cos<，>的值，就可得出向量与的夹角。
【详细解答】=（1，1）， +2 =（3，-1），2= +2-=（2，-2），=（1，-1），cos<，>===0，即向量与的夹角为。
5、已知RtABC中，C=，BC=2，D为AC边上的动点，则. = （2021成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①直角三角形定义与性质；②向量几何运算法则与基本方法；③求向量数量积的基本方法。
【解题思路】根据直角三角形的性质，运用向量几何运算法则与基本方法和求向量数量积的基本方法，就可求出. 的值。 B
【详细解答】如图，在 RtABC中，C=，BC=2，
D为AC边上的动点，=+，. C D A
=（+）. =.+.=.=221=4。
6、已知向量，满足||=5，||=6，.=-6，则cos<，+>=（ ）（2020全国高考新课标III）
A - B - C D
【解析】
【考点】①向量模的定义与性质；②向量数量积的定义与性质；③求向量夹角余弦值的基本方法。
【解题思路】根据向量模和数量积的性质，结合问题条件求出.(+)，|+|的值，运用求向量夹角余弦值的基本方法求出cos<，+>的值就可得出选项。
【详细解答】||=5，||=6，.=-6，.(+)=||+. =25-6=19，|+|
=(+)=||+2.+||=25-12+36=49，|+|=7， cos<，+>
===，D正确，选D。
7、（理）设，为单位向量，且|+|=1，则|-|= 。
（文）设=（1，-1），=（m+1，2m-4），若，则m= （2020全国高考新课标I）
【解析】
【考点】①向量模定义与性质；②单位向量定义与性质；③求向量模的基本方法；④向量坐标运算法则和基本方法；⑤向量数量积定义与性质。
【解题思路】（理）根据向量模和单位向量的性质，运用求向量模的基本方法，结合问题条件求出就可求出|-|的值。（文）根据向量数量积的性质，运用向量坐标运算法则和基本方法，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程就可求出m的值。
【详细解答】（理），为单位向量，|+|=1，|+|=||+2.+||=1，2.
=-1，|-|=||-2.+||=1-（-1）+1=3，即|-|=。（文）=（1，-1），=（m+1，2m-4），，.=m+1-（2m-4）=-m+5=0，m=5。
8、（理）已知单位向量，的夹角为，若k-与垂直，则k= 。
（文）已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（ ）（2020全国高考新课标II）
A +2 B 2+ C -2 D 2-
【解析】
【考点】①单位向量定义与性质；②向量数量积定义与性质。
【解题思路】（理）根据单位向量和数量积的性质，结合问题条件得到关于k的方程，求解方程就可求出k的值。（文）根据单位向量和数量积的性质，结合问题条件分别判断各选项的向量与向量是否垂直就可得出选项。
【详细解答】（理）单位向量，的夹角为，.=11=，（k-）与垂直，（k-）. =k||-.=k-=0，k=。（文）单位向量，的夹角为，.=11=，（+2）=.+2||=+2=，向量+2与向量不垂直；（2+）=2.+||=1+1=2，向量2+与向量不垂直；（-2）=.-2||=-2=-，向量-2与向量不垂直；（2-）=2.-||=1-1=0，向量2-与向量垂直，D正确，选D。
9、（理）若向量，满足| |=2，（ +2）. =6，则在方向上的投影为（ ）
A 1 B C - D -1
（文）若向量，满足| |=2，||=1，（ +2）. =6，则cos<，>=（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C - D -
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量数量积几何运算的基本方法。
【解题思路】（理）根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积几何运算的基本方法得到关于向量的模长，向量，所成角的余弦值的等式，利用平面向量数量积的几何意义求出在方向上的投影就可得出选项。（文）根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积几何运算的基本方法得到关于cos<，>的方程，求解方程求出cos<，>的值就可得出选项。
【详细解答】（理）| |=2，（ +2）. =| |+2| |||cos<，>=4+4||cos<，
>=6，||cos<，>=,即在方向上的投影为，B正确，选B。（文）| |=2，||=1，（ +2）. =| |+2| |||cos<，>=4+4cos<，>=6，cos<，>=, B正确，选B。
10、在ABC中，已知AB=AC，D为BC边中点，点O在直线AD上，且. =3，则BC边的长度为（ ）（2020成都市高三二诊）
A B 2 C 2 D 6
【解析】
【考点】①平面向量的定义与性质；②等腰三角形的定义与性质；③向量数量积的定义与性
质。
【解题思路】根据平面向量和等腰三角形的性质，结合问题条件，得到ADBC，运用平面向量数量积的性质得出关于||的方程，求解方程求出||的值就可得出选
项。
【详细解答】在ABC中， AB=AC，D为BC边中点， ADBC，.=||
.||cos<,>=||.||=||=3, ||=,A正确，选A。
『思考问题3』
（1）【典例3】是向量数量积的问题，解答这类问题需要理解平面向量数量积的定义，掌握平面向量数量积的性质，运算的法则和基本方法；平面向量数量积包括：①平面向量数量积的几何运算；②平面向量数量积的坐标运；
（2）平面向量数量积几何运算的基本方法是：①若已知向量的模和夹角，则直接运用公式.=||||cos〈，〉计算；②运用向量数量积的几何意义求解；
（3）已知向量=，=，求向量数量积直接运用公式.=求解；
已知向量=，求向量的模一般运用公式.=||=+，||=求解，尤其是求几个向量的和或差的模时需要灵活运用公式；
（4）求与的夹角常用公式cos= 求解，基本方法是：①求出.及||||或得出它们之间的关系，②根据三角函数的相关知识得出结果(注意两向量夹角的取值范围)。
大家知道，平面向量问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考试卷中必有一个五分小题，有时在大题中也会涉及到平面向量的问题。从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档（或中档），但有时也会是高档。纵观近几年高考试题，归结起来平面向量问题主要包括：①平面向量几何运算问题；②平面向量坐标运算问题；③平面向量数量积的问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答平面向量问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析，来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知=ac，点D在边AC上，BDsin
ABC=asinC。
（1）证明：BD=b；
（2）若AD=2DC，求cosABC（2021全国高考新高考I卷）。
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③平面向量的定义与性质；④平面向量几何运算的法则和基本方法。
【解题思路】（1）根据正弦定理，结合问题条件得到关于BD，b的方程组，求解方程组就可证明BD=b；（2）根据平面向量的性质和平面向量几何运算法则与基本方法，结合问题条件求出，从而得到|| 关于a，c的式子，得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，c关于b的表示式，运用余弦定理就可求出cosABC的值。
【详细解答】（1）证明：=，sinABC=， BDsinABC
=asinC，sinABC=，bBD=ac①， A
=ac②，联立①②得：BD=b， BD=b； D
（2）如图，+=，AD=2DC， B C
=-，==-，=-=-+
=+，|| =+.+=+accosABC+③，=ac，cosABC=，BD=b④，联立③④解得：=，=，或=，=3 cosABC===，或cosABC=
==>1与余弦三角函数不符， cosABC=。
2、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则.的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）
A （-2，6） B （-6，2） C （-2，4） D （-4，6）
【解析】
【考点】①向量定义与性质；②正六边形定义与性质；③向量数量积定义与性质。
【解答思路】根据向量，正六边形和向量数量积的性质，运用向量几何运算法则与基本方法，结合问题条件求出.的取值范围就可得出选项。 E D
【详细解答】如图， P是边长为2的正六边形ABCDEF F C
内的一点，当且仅当点P与点F重合时，.= A B
. =22（-）=-2，当且仅当点P与点C重合时，.=.=22=6，当点P在正六边形ABCDEF内时，.的取值范围是（-2，6），A正确，选A。
『思考问题1』
（1）【典例1】是向量几何运算的问题，解答这类问题需要掌握向量几何运算的法则和运算的基本方法，能够灵活运用平行四边形法则和三角形法则，一般来说，两个向量具有公共的始点时，选用平行四边形法则；两个向量如果一个向量的始点与另一个向量的终点重合时，选用三角形法则；
（2）用两个不共线的已知向量来表示其他向量是用向量解题的基本要领，在实际解答问题时，应该尽可能地把相关向量转化到同一平行四边形 或 同一三角形中去；
（3）注意待定系数法和方程思想的运用，在实际解答问题时，经常运用向量共线的充分必要条件和平面向量基本定理建立方程（或方程组），再通过解方程（或方程组）达到解答问题的目的。
【典例2】解答下列问题：
1、已知O为坐标原点，点（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），则（ ）（2021全国高考新高考I）
A ||=|| B ||=|| C.=. D .=.
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算的法则和基本方法；③向量数量积的定义与性质；④向量模定义与性质。
【解答思路】根据向量坐标，向量模和向量数量积的性质，运用向量坐标运算法则与基本方法，结合问题条件分别对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】点（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），=（cos，sin），=（cos，-sin），=（cos(+)，sin(+)），=（1，0），=（cos-1，sin），=（cos-1，-sin），||=
=1，||==1，==，||
==，.= cos(+)+0= cos(+)，.
= cos. cos- sin. sin= cos(+)，.= cos+0= cos，.= cos
. cos(+)-sin. sin(+)=cos(++)=cos(+2)， ||=||=1，,A正确，选A。
2、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（a，-cosA），=（cosC，b-c），且.=0，则角A的大小为（ ）（2020成都市高三零诊）
A B C D
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②向量数量积的定义与性质；③求向量数量积的基本方法；④三角形内角和定理及运用；⑤余弦定理及运用；⑥三角函数诱导公式及运用。
【解答思路】运用正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理和求向量数量积的基本方法，结合问题条件求出cosA的值，从而求出角A的大小就可得出选项。
【详细解答】.=a cosC -b cosA +c cosA =0，sinA cosC -sinB cosA +sinC cosA= sinB -sinB cosA= sinB （1 -cosA）=0， sinB＞0，1 -cosA=0，cosA=
=，
A B - C 10 D -11
【解析】
【考点】①向量坐标的定义与性质；②向量坐标运算的法则和基本方法；③向量共线的定义与性质。
【解题思路】根据几何体三视图的性质和已知几何体三视图确定几何体直观图的基本方法，结合问题条件确定出几何体的直观图，运用圆柱，圆锥的性质和求圆柱，圆锥表面积的基本方法求出几何体的表面积就可得出选项。
【详细解答】=（x，x-1），=（2，-1），+2=（x+4，x-3），向量+2与共线，=，-x-4=2x-6，x=，A正确，选A。
『思考问题2』
（1）【典例2】是向量坐标运算的问题，解答这类问题需要理解平面向量坐标的定义，掌握向量坐标运算的法则和基本方法；
（2）向量的坐标运算主要包括：①向量坐标的加法运算；②向量坐标的减法运算，③向量坐标的数乘运算；这三种运算都可以直接运用运算法则进行，同时注意坐标运算性质和运算律的灵活运用，对于综合性问题解答时注重方程思想与数形结合思想的运用。
【典例3】解答下列问题：
1、已知向量=（3，1），=（1，0），=+k，，则k= （2021全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算法则和基本方法；③向量数量积的定义与性质。
【解答思路】根据向量坐标的性质和向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件求出向量，运用向量数量积的性质得到关于k的方程，求解方程就可k的值。
【详细解答】=（3，1），=（1，0），=+k==（3，1）+=（k，0）=（3+k，1），，.=3(3+k)+1=3k+10=0，k=-。
2、已知向量=（1，3），=（3，4），若（-），则= （2021全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算法则和基本方法；③向量数量积定义与性质。
【解答思路】根据向量坐标的性质和向量坐标运算法则与基本方法，结合问题条件求出向量-，运用向量数量积的性质得到关于的方程，求解方程就可的值。
【详细解答】=（1，3），=（3，4），-=（1，3）-（3，4）=（1-3，3-4），（-），（-）.=3（1-3）+4（3-4）=15-25=0，=。
3、已知向量++=0，||=1，||=||=2，.+.+.= （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①向量定义与性质；②向量几何运算法则和基本方法；③向量数量积定义与性质。
【解答思路】根据向量的性质和向量几何运算法则与基本方法，结合问题条件求出就可求出.+.+.的值。
【详细解答】++=0，||=1，||=||=2，（++）=||+||+||+2（.+.+.）=1+4+4+2（.+.+.），.+.+.=-。
4、已知向量，满足=（1，1）， +2=（3，-1），则向量与的夹角为 （2021成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算法则和基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法求出cos<，>的值，就可得出向量与的夹角。
【详细解答】=（1，1）， +2 =（3，-1），2= +2-=（2，-2），=（1，-1），cos<，>===0，即向量与的夹角为。
5、已知RtABC中，C=，BC=2，D为AC边上的动点，则. = （2021成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①直角三角形定义与性质；②向量几何运算法则与基本方法；③求向量数量积的基本方法。
【解题思路】根据直角三角形的性质，运用向量几何运算法则与基本方法和求向量数量积的基本方法，就可求出. 的值。 B
【详细解答】如图，在 RtABC中，C=，BC=2，
D为AC边上的动点，=+，. C D A
=（+）. =.+.=.=221=4。
6、已知向量，满足||=5，||=6，.=-6，则cos<，+>=（ ）（2020全国高考新课标III）
A - B - C D
【解析】
【考点】①向量模的定义与性质；②向量数量积的定义与性质；③求向量夹角余弦值的基本方法。
【解题思路】根据向量模和数量积的性质，结合问题条件求出.(+)，|+|的值，运用求向量夹角余弦值的基本方法求出cos<，+>的值就可得出选项。
【详细解答】||=5，||=6，.=-6，.(+)=||+. =25-6=19，|+|
=(+)=||+2.+||=25-12+36=49，|+|=7， cos<，+>
===，D正确，选D。
7、（理）设，为单位向量，且|+|=1，则|-|= 。
（文）设=（1，-1），=（m+1，2m-4），若，则m= （2020全国高考新课标I）
【解析】
【考点】①向量模定义与性质；②单位向量定义与性质；③求向量模的基本方法；④向量坐标运算法则和基本方法；⑤向量数量积定义与性质。
【解题思路】（理）根据向量模和单位向量的性质，运用求向量模的基本方法，结合问题条件求出就可求出|-|的值。（文）根据向量数量积的性质，运用向量坐标运算法则和基本方法，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程就可求出m的值。
【详细解答】（理），为单位向量，|+|=1，|+|=||+2.+||=1，2.
=-1，|-|=||-2.+||=1-（-1）+1=3，即|-|=。（文）=（1，-1），=（m+1，2m-4），，.=m+1-（2m-4）=-m+5=0，m=5。
8、（理）已知单位向量，的夹角为，若k-与垂直，则k= 。
（文）已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（ ）（2020全国高考新课标II）
A +2 B 2+ C -2 D 2-
【解析】
【考点】①单位向量定义与性质；②向量数量积定义与性质。
【解题思路】（理）根据单位向量和数量积的性质，结合问题条件得到关于k的方程，求解方程就可求出k的值。（文）根据单位向量和数量积的性质，结合问题条件分别判断各选项的向量与向量是否垂直就可得出选项。
【详细解答】（理）单位向量，的夹角为，.=11=，（k-）与垂直，（k-）. =k||-.=k-=0，k=。（文）单位向量，的夹角为，.=11=，（+2）=.+2||=+2=，向量+2与向量不垂直；（2+）=2.+||=1+1=2，向量2+与向量不垂直；（-2）=.-2||=-2=-，向量-2与向量不垂直；（2-）=2.-||=1-1=0，向量2-与向量垂直，D正确，选D。
9、（理）若向量，满足| |=2，（ +2）. =6，则在方向上的投影为（ ）
A 1 B C - D -1
（文）若向量，满足| |=2，||=1，（ +2）. =6，则cos<，>=（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C - D -
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量数量积几何运算的基本方法。
【解题思路】（理）根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积几何运算的基本方法得到关于向量的模长，向量，所成角的余弦值的等式，利用平面向量数量积的几何意义求出在方向上的投影就可得出选项。（文）根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积几何运算的基本方法得到关于cos<，>的方程，求解方程求出cos<，>的值就可得出选项。
【详细解答】（理）| |=2，（ +2）. =| |+2| |||cos<，>=4+4||cos<，
>=6，||cos<，>=,即在方向上的投影为，B正确，选B。（文）| |=2，||=1，（ +2）. =| |+2| |||cos<，>=4+4cos<，>=6，cos<，>=, B正确，选B。
10、在ABC中，已知AB=AC，D为BC边中点，点O在直线AD上，且. =3，则BC边的长度为（ ）（2020成都市高三二诊）
A B 2 C 2 D 6
【解析】
【考点】①平面向量的定义与性质；②等腰三角形的定义与性质；③向量数量积的定义与性
质。
【解题思路】根据平面向量和等腰三角形的性质，结合问题条件，得到ADBC，运用平面向量数量积的性质得出关于||的方程，求解方程求出||的值就可得出选
项。
【详细解答】在ABC中， AB=AC，D为BC边中点， ADBC，.=||
.||cos<,>=||.||=||=3, ||=,A正确，选A。
『思考问题3』
（1）【典例3】是向量数量积的问题，解答这类问题需要理解平面向量数量积的定义，掌握平面向量数量积的性质，运算的法则和基本方法；平面向量数量积包括：①平面向量数量积的几何运算；②平面向量数量积的坐标运；
（2）平面向量数量积几何运算的基本方法是：①若已知向量的模和夹角，则直接运用公式.=||||cos〈，〉计算；②运用向量数量积的几何意义求解；
（3）已知向量=，=，求向量数量积直接运用公式.=求解；
已知向量=，求向量的模一般运用公式.=||=+，||=求解，尤其是求几个向量的和或差的模时需要灵活运用公式；
（4）求与的夹角常用公式cos= 求解，基本方法是：①求出.及||||或得出它们之间的关系，②根据三角函数的相关知识得出结果(注意两向量夹角的取值范围)。
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