1.2 数列的函数特性
学习目标 1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.2.了解数列的几种表示方法.3.能从函数的观点研究数列．
导语
2021年1月14日，海关总署发布最新数据显示：2020年我国货物贸易进出口总额为32.16亿元，同比增长1.9%，其中出口增长4%，中国外贸持续增长．当天，阿里巴巴国际站发布2020年全年年报，平台实收交易额按美元计价同比增长101%，数字化新外贸成为中国出口新趋势．阿里巴巴2020年1～12月平台实收交易额数据构成一个数列，它能用图象表示吗？
一、数列与函数的关系
问题1 已知函数f(x)＝x2－1，当x＝1,2,3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？请作出数列的图象．
提示 对应的函数值分别为0,3,8，能构成一个数列．图象如图．
知识梳理
数列与函数的关系
可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每一个点的坐标为(k，ak)，k＝1,2,3，…，这个图象也称为数列的图象．
注意点：
(1)数列可以看作是一个定义域为N＋(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点．
(2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势．
(3)数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法．
例1 在数列{an}中，an＝n2－8n，n∈N＋，画出{an}的图象．
解 列表：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 …
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…，图象如图所示．
反思感悟 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象，因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．
跟踪训练1 根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝.
解 (1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.
图象如图1.
(2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.
图象如图2.
二、数列的增减性
问题2 观察下面两个数列，你能说出每个数列中项的变化规律吗？
(1)1,2,3,4,5,6；
(2)－1，－2，－3，－4，－5，－6.
提示 (1)逐渐变大．(2)逐渐变小．
知识梳理
数列的增减性
名称 定义 判断方法
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项 an＋1>an
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项 an＋1
常数列 各项都相等 an＋1＝an
注意点：
(1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性．
(2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列．
角度1 数列增减性的判断
例2 已知数列{an}的通项公式是an＝，则该数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
答案 B
解析 对任意n∈N＋，
∵an＋1－an＝－＝<0，
∴数列{an}是递减数列．
延伸探究 本例若把数列{an}的通项公式改为an＝(k>0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性．
解 ＝·＝<1.
∵k>0，n∈N＋，∴an>0，
∴an＋1角度2 利用数列的增减性求参数
例3 已知数列{an}是递减数列，且an＝(m2－2m)(n3－2n)，则实数m的取值范围为________．
答案 (0,2)
解析 ∵数列为递减数列，∴an＋1∴an＋1－an＝(m2－2m)[(n＋1)3－2(n＋1)－n3＋2n]＝(m2－2m)(3n2＋3n－1)<0.
∵n∈N＋，
∴3n2＋3n－1＝32－≥5>0，
∴m2－2m<0，解得0故实数m的取值范围为(0,2)．
反思感悟 数列增减性的两个关注点
(1)判断数列的增减性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N＋)的大小，另外还可以用函数单调性法．
(2)利用数列的增减性可以求参数范围：数列的增减性揭示了项之间的大小关系，可以据此列出不等式(组)，求某些参数的范围．
跟踪训练2 已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范围是________．
答案 (0，＋∞)
解析 ∵{an}是递增数列，
∴an＋1－an＝[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k>0，
∴k>0.
三、数列的最大(小)项
例4 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解 (1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N＋，∴n＝2,3，
∴数列中有两项是负数．
(2)方法一 ∵an＝n2－5n＋4＝2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又∵n∈N＋，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
方法二 设第n项最小，由
得
解得2≤n≤3，∴n＝2,3，∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
反思感悟 求数列{an}的最大项和最小项的方法
(1)数列或函数的单调性法．
(2)不等式法：求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n.
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝2n×0.9n，求数列{an}中的最大项．
解 设an是数列{an}中的最大项，
则即
所以
所以即9≤n≤10，
所以当n＝9或n＝10时，an最大，
最大项为a9＝a10＝2×10×0.910＝20×0.910.
1.知识清单：
(1)数列的表示方法．
(2)数列的增减性的判断及应用．
(3)求数列的最大(小)项．
2．方法归纳：图象法、转化与化归思想．
3．常见误区：求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N＋(或其子集)的特殊函数而出错．
1．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是( )
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
答案 D
解析 ∵an＝3n－2，n∈N＋，
∴数列{an}的图象是一群孤立的点．
2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
答案 C
解析 ∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
3．已知数列{an}的通项公式是an＝，则这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 B
解析 数列{an}的通项公式是
an＝＝＝1＋，
所以an＋1－an＝－<0，
故这个数列为递减数列．
4．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小值是________．
答案 －9
解析 an＝n2－6n＝(n－3)2－9，所以当n＝3时，an取得最小值－9.
课时对点练
1．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 A
解析 ∵an＋1－an＝3>0，∴数列{an}是递增数列．
2．(多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为( )
A．an＝－2n＋1
B．an＝－n2＋3n＋1
C．an＝
D．an＝(－1)n
答案 AC
解析 可以通过画数列的图象一一判断．B中数列有增有减，D中数列是摆动数列．
3．函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 021等于( )
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 1 3 4 2
A.1 B．2 C．4 D．5
答案 A
解析 根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，所以周期为3，故x2 021＝x2＝1.
4．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是( )
A．a1 B．a9 C．a10 D．不存在
答案 A
解析 ∵a1>0且an＋1＝an，
∴an>0，＝<1，
∴an＋1∴此数列为递减数列，故最大项为a1.
5．(多选)若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，以下说法正确的是( )
A．该数列有无限多个正数项
B．该数列有无限多个负数项
C．该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值
D．－70是该数列中的一项
答案 BD
解析 令－2n2＋13n>0，得06．已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是( )
A．k>0 B．k>－1
C．k>－2 D．k>－3
答案 D
解析 ∵an＋1>an，∴an＋1－an>0.
又an＝n2＋kn＋2，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0.
∴k>－2n－1.
又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3，
∴k>－3.
7．数列{－2n2＋9n＋3}的最大项是第________项，最大项为________．
答案 2 13
解析 因为an＝－2n2＋9n＋3＝－22＋，
又n∈N＋，故当n＝2时，an取到最大值13.
8．已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋，则数列{an}是________数列(填“递增”“递减”或“常”)．
答案 递增
解析 ∵an＝＋＋＋…＋，
∴an＋1＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－，
又n∈N＋，∴2n＋1＜2(n＋1)，
∴an＋1－an＞0，∴数列{an}是递增数列．
9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．
(1)an＝；(2)an＝n2－9n.
解 (1)a1＝－，a2＝－，a3＝－，a4＝－2，a5＝2.
图象如图所示．
(2)a1＝－8，a2＝－14，a3＝－18，a4＝－20，a5＝－20.
图象如图所示．
10．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，试判断该数列的增减性，并说明理由．
解 数列{an}为递减数列，理由如下：
an＋1－an＝－
＝
＝
＝.
∵f(x)＝－2＋在[1，＋∞)上单调递减，
∴当n≥1时，f(n)≤f(1)＝－1<0.
又(n＋1)2＋1>0，n2＋1>0，
∴an＋1－an<0，
∴数列{an}是递减数列．
11．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图象是( )
答案 A
解析 根据题意知，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.
12．已知p>0，n∈N＋，则数列{log0.5pn}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．增减性与p的取值有关
D．常数列
答案 C
解析 令an＝log0.5pn.当p>1时，pn＋1>pn，
∴log0.5pn＋1即an＋1当0∴log0.5pn＋1≥log0.5pn，
即an＋1≥an，故选C.
13．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C．(1,3) D．(2,3)
答案 D
解析 结合函数的单调性，要使数列{an}是递增数列，
则应有
解得214．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________.
答案 61
解析 f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
15．已知an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项的值为________．
答案
解析 ∵an＋1－an＝n＋1(n＋2)－n(n＋1)＝n＋1·，
∴当n≤7时，an＋1－an>0；
当n＝8时，an＋1－an＝0；
当n≥9时，an＋1－an<0.
∴a1a9>a10>a11>a12>….
故数列{an}存在最大项，
且最大项为a8＝a9＝.
16．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
(1)解 ∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴＝－2n，
即an－＝－2n(看成关于an的方程)．
∴a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.
∵an>0，∴an＝－n，n∈N＋.
(2)证明 作商比较，
∵＝＝<1，
又an>0，
∴an＋11.2 数列的函数特性
第一章 §1 数列的概念及其函数特性
1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.
2.了解数列的几种表示方法.
3.能从函数的观点研究数列.
学习目标
2021年1月14日，海关总署发布最新数据显示：2020年我国货物贸
导语
易进出口总额为32.16亿元，同比增长1.9%，其中出口增长4%，中国外贸持续增长.当天，阿里巴巴国际站发布2020年全年年报，平台实收交易额按美元计价同比增长101%，数字化新外贸成为中国出口新趋势.阿里巴巴2020年1～12月平台实收交易额数据构成一个数列，它能用图象表示吗？
随堂演练
课时对点练
一、数列与函数的关系
二、数列的增减性
三、数列的最大(小)项
内容索引
一、数列与函数的关系
问题1 已知函数f(x)＝x2－1，当x＝1,2,3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？请作出数列的图象.
提示 对应的函数值分别为0,3,8，能构成一个数列.图象如图.
知识梳理
数列与函数的关系
可以把一个数列视作定义在 (或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每一个点的坐标为 ，这个图象也称为数列的图象.
正整数集
(k，ak)，k＝1,2,3，…
注意点：
(1)数列可以看作是一个定义域为N＋(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点.
(2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势.
(3)数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法.
例1 在数列{an}中，an＝n2－8n，n∈N＋，画出{an}的图象.
解 列表：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 …
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…，
图象如图所示.
反思感悟 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象，因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的.
跟踪训练1 根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来.
(1)an＝(－1)n＋2；
解 a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.
图象如图1.
图象如图2.
二、数列的增减性
问题2 观察下面两个数列，你能说出每个数列中项的变化规律吗？
(1)1,2,3,4,5,6；
提示 逐渐变大.
(2)－1，－2，－3，－4，－5，－6.
提示 逐渐变小.
知识梳理
数列的增减性
名称 定义 判断方法
递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项 an＋1>an
递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项 an＋1常数列 各项都_____ an＋1＝an
大于
小于
相等
注意点：
(1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性.
(2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列.
角度1 数列增减性的判断
例2 已知数列{an}的通项公式是an＝ ，则该数列是
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.常数列
解析 对任意n∈N＋，
√
∴数列{an}是递减数列.
延伸探究 本例若把数列{an}的通项公式改为an＝ (k>0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性.
∵k>0，n∈N＋，∴an>0，
∴an＋1角度2 利用数列的增减性求参数
例3 已知数列{an}是递减数列，且an＝(m2－2m)(n3－2n)，则实数m的取值范围为______.
解析 ∵数列为递减数列，∴an＋1∴an＋1－an＝(m2－2m)[(n＋1)3－2(n＋1)－n3＋2n]＝(m2－2m)(3n2＋3n－1)<0.
∵n∈N＋，
(0,2)
∴m2－2m<0，解得0故实数m的取值范围为(0,2).
反思感悟 数列增减性的两个关注点
(1)判断数列的增减性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N＋)的大小，另外还可以用函数单调性法.
(2)利用数列的增减性可以求参数范围：数列的增减性揭示了项之间的大小关系，可以据此列出不等式(组)，求某些参数的范围.
跟踪训练2 已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范围是__________.
解析 ∵{an}是递增数列，
∴an＋1－an＝[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k>0，
∴k>0.
(0，＋∞)
三、数列的最大(小)项
例4 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
解 由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N＋，∴n＝2,3，
∴数列中有两项是负数.
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
又∵n∈N＋，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，且a2＝a3，
其最小值为22－5×2＋4＝－2.
解得2≤n≤3，∴n＝2,3，∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
反思感悟 求数列{an}的最大项和最小项的方法
(1)数列或函数的单调性法.
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝2n×0.9n，求数列{an}中的最大项.
解 设an是数列{an}中的最大项，
所以当n＝9或n＝10时，an最大，
最大项为a9＝a10＝2×10×0.910＝20×0.910.
1.知识清单：
(1)数列的表示方法.
(2)数列的增减性的判断及应用.
(3)求数列的最大(小)项.
2.方法归纳：图象法、转化与化归思想.
3.常见误区：求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N＋(或其子集)的特殊函数而出错.
课堂小结
随堂演练
解析 ∵an＝3n－2，n∈N＋，
∴数列{an}的图象是一群孤立的点.
1.已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是
A.一条直线 B.一条抛物线
C.一个圆 D.一群孤立的点
√
1
2
3
4
2.在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是
A.R B.(0，＋∞)
C.(－∞，0) D.(－∞，0]
1
2
3
4
√
解析 ∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
1
2
3
4
3.已知数列{an}的通项公式是an＝ ，则这个数列是
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
√
解析 数列{an}的通项公式是
故这个数列为递减数列.
1
2
3
4
4.数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小值是_____.
－9
解析 an＝n2－6n＝(n－3)2－9，
所以当n＝3时，an取得最小值－9.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1.已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
16
√
解析 ∵an＋1－an＝3>0，∴数列{an}是递增数列.
2.(多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为
A.an＝－2n＋1 B.an＝－n2＋3n＋1
C.an＝ D.an＝(－1)n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
解析 可以通过画数列的图象一一判断.
B中数列有增有减，
D中数列是摆动数列.
A.1 B.2 C.4 D.5
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 1 3 4 2
1
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3
4
5
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16
√
3.函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 021等于
解析 根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，
x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，
所以周期为3，故x2 021＝x2＝1.
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4.已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝ ，则数列{an}的最大项是
A.a1 B.a9 C.a10 D.不存在
√
∴an＋1∴此数列为递减数列，故最大项为a1.
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5.(多选)若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，以下说法正确的是
A.该数列有无限多个正数项
B.该数列有无限多个负数项
C.该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值
D.－70是该数列中的一项
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√
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故数列{an}有6项是正数项，有无限个负数项.
当n＝3时，数列{an}取到最大值，
而当x＝3.25时，函数f(x)取到最大值.
即－70是该数列的第10项.
解析 ∵an＋1>an，∴an＋1－an>0.
又an＝n2＋kn＋2，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0.
∴k>－2n－1.
又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3，
∴k>－3.
6.已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是
A.k>0 B.k>－1 C.k>－2 D.k>－3
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7.数列{－2n2＋9n＋3}的最大项是第____项，最大项为_____.
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又n∈N＋，故当n＝2时，an取到最大值13.
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递增
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又n∈N＋，∴2n＋1＜2(n＋1)，
∴an＋1－an＞0，∴数列{an}是递增数列.
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9.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来.
图象如图所示.
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(2)an＝n2－9n.
解 a1＝－8，a2＝－14，a3＝－18，a4＝－20，a5＝－20.
图象如图所示.
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10.已知数列{an}的通项公式an＝ (n∈N＋)，试判断该数列的增减性，并说明理由.
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解 数列{an}为递减数列，理由如下：
∴当n≥1时，f(n)≤f(1)＝－1<0.
又(n＋1)2＋1>0，n2＋1>0，
∴an＋1－an<0，
∴数列{an}是递减数列.
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综合运用
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11.对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>
an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图象是
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解析 根据题意知，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，
即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，
结合图象，只有A满足，故选A.
12.已知p>0，n∈N＋，则数列{log0.5pn}是
A.递增数列 B.递减数列
C.增减性与p的取值有关 D.常数列
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解析 令an＝log0.5pn.当p>1时，pn＋1>pn，
∴log0.5pn＋1即an＋1当0∴log0.5pn＋1≥log0.5pn，
即an＋1≥an，故选C.
13.设函数f(x)＝ 数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且
数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是
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解析 结合函数的单调性，要使数列{an}是递增数列，
√
解得21
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14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝_____.
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解析 f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
拓广探究
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15.已知an＝ (n∈N＋)，则数列{an}的最大项的值为______.
∴当n≤7时，an＋1－an>0；
当n＝8时，an＋1－an＝0；
当n≥9时，an＋1－an<0.
∴a1a9>a10>a11>a12>….
故数列{an}存在最大项，
16.已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
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解 ∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴ ＝－2n，
(2)证明：数列{an}是递减数列.
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证明 作商比较，
又an>0，
∴an＋1本课结束