§3 等比数列
3．1 等比数列的概念及其通项公式
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法.2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.3.能解决与等比数列的通项公式有关的运算．
导语
山东省临沂市费县人程运付，从2005年底开始赶集摆摊卖拉面，3元拉面15年不涨价.2021年2月，因为顾客偶然拍摄的一段短视频，走红网络，成为远近闻名的“拉面哥”.2021年3月，全国各地的自媒体、商家和游客纷纷朝着“拉面哥”家乡“集结”，“拉面哥”每天忙碌地为大家“表演”拉面技艺．只见他娴熟地将一根很粗的面条拉伸、捏合、再拉伸、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条．你知道他这样拉伸、捏合10次后可拉出多少根细面条吗？
一、等比数列的概念
问题1 观察下面几个数列：
(1)1，，，，，….
(2)1，－1,1，－1,1，….
(3)，－1,2，－4,8，….
上面几组数列是等差数列吗？如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？
提示 都不是等差数列，不符合等差数列的定义；从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数．
知识梳理
等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
注意点：
(1)等比数列定义的符号语言：＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋)．
(2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”，如数列：2,2,3,3,4,4就不是等比数列．
(3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0.
例1 (1)(多选)下列各组数成等比数列的是( )
A．1，－2,4，－8 B．－，2，－2，4
C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4
答案 ABD
解析 由等比数列的定义知，ABD是等比数列，C中当x＝0时，不是等比数列．
(2)已知数列{an}的各项都不为0，a1＝1，且2an＋1＝3an，则a3的值为________，数列{an}________等比数列(填“是”或“不是”)．
答案 是
解析 因为a1＝1，且2an＋1＝3an，
所以2a2＝3a1，所以a2＝，
以此类推a3＝.
由2an＋1＝3an，得＝，
故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．
反思感悟 等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．
(2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒．
跟踪训练1 判断下列数列是否为等比数列：
(1)1,3,32,33，…，3n－1，…；
(2)－1,1,2,4,8，…；
(3)a，－a，a，－a，….
解 (1)记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，….
∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)，
∴数列为等比数列，且公比为3.
(2)记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，
∵＝－1≠＝2，
∴此数列不是等比数列．
(3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1.
二、等比数列的通项公式
问题2 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2)．
方法一 an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，
当n＝1时，上式也成立．
方法二 a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
…
由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．
知识梳理
等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
注意点：
(1)用函数的观点看等比数列的通项：等比数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上的一群孤立的点．
(2)等比数列通项公式的变形公式：an＝amqn－m(m，n∈N＋)．
例2 在等比数列{an}中．
(1)已知a2＝4，a5＝－，求an；
(2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，an＝64，求n.
解 (1)方法一 设等比数列的公比为q，
则解得
∴an＝a1qn－1＝(－8)×n－1＝n－4.
方法二 设等比数列的公比为q，则＝q3，
即q3＝－，q＝－.
∴an＝a5qn－5＝·n－5＝n－4.
(2)根据题意，有
方程两边分别相除，得＝.
整理得2q2－5q＋2＝0，
解得q＝2或q＝.
当q＝2时，a1＝1；当q＝时，a1＝－16(舍去)．
由a1qn－1＝64，即2n－1＝64，n＝7.
延伸探究 本例(1)若改为等比数列{an}中，已知a2＝18，a4＝8，求q与a5.
解 由已知得
解得或
所以q＝±，a5＝a4q＝±.
反思感悟 (1)等比数列通项公式的求法
①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，
(1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12；
(2)若a3·a5＝18，a4·a8＝72，求q.
解 (1)因为a9＝a1·q8，
所以256·q8＝1，即q＝±.
当q＝时，a12＝a1·q11＝256×＝；
当q＝－时，a12＝a1·q11＝256×11＝－.
(2)a1·q2·a1·q4＝18，即a·q6＝18.
又a1q3·a1q7＝72，即a·q10＝72.
两式相除得q4＝＝4，所以q＝±.
三、等比数列通项公式的应用
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解 方法一 设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二 设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)，
由条件得
解得或
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
反思感悟 灵活设项求解等比数列的技巧
(1)三个数成等比数列设为，a，aq.
(2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3.
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练3 已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－，则这三个数依次为________．
答案 －，1，－
解析 设这三个数分别为，a，aq，
则解得
所以这三个数依次为－，1，－.
1.知识清单：
(1)等比数列的概念及判断．
(2)等比数列的通项公式．
(3)等比数列中项的设法．
2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．
3．常见误区：
(1)四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况．
(2)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．
1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．± B．±2 C. D．－2
答案 D
解析 因为＝q3＝－8，故q＝－2.
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4 B．8 C．6 D．32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，
2n－1＝32，所以n＝6.
3．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a1＝________.
答案
解析 由a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，得a1(1＋q)＝1，a1q(1＋q)＝2，解得a1＝.
4．若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________．
答案 －1或3
解析 设公比为q，则3a1q3＝a1q5－2a1q4.
因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0，
解得q＝－1或q＝3.
课时对点练
1．有下列四个说法：
①等比数列中的某一项可以为0；
②等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)；
③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；
④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列．
其中正确说法的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 等比数列中公比不能取0，且各项均不可为0，所以只有③正确．
2．(多选)在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 AC
解析 根据题意，
解得或
3．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等．
，
，，
…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 第一列构成首项为，公差为的等差数列，
所以a51＝＋(5－1)×＝.
又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
4．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 C
解析 因为a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，又am＝a1qm－1＝－qm－1，所以－q10＝－qm－1，所以10＝m－1，所以m＝11.
5．(多选)设{an}为等比数列，下列数列一定为等比数列的是( )
A．{2an} B．{a} C．{} D．{log2|an|}
答案 AB
解析 设an＝a1qn－1，对于A,2an＝2a1qn－1，所以数列{2an}是等比数列；对于B，a＝aq2n－2＝a(q2)n－1，所以数列{a}是等比数列；对于C,，不是一个常数，所以数列{}不是等比数列；对于D，＝不是一个常数，所以数列{log2|an|}不是等比数列．
6．已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是( )
A．8 B. C．8或2 D．8或
答案 D
解析 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1
若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，则第4项为.
7．等比数列{an}的前三项分别是5，－15,45，则a5＝________.
答案 405
解析 因为a1＝5，q＝＝－3，所以a5＝a1q4＝405.
8．三个数成等比数列，公比q>1，三个数的积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，则这三个数分别为________．
答案 4,8,16
解析 设这三个数依次为，a，aq，
∵·a·aq＝512，∴a＝8，
∵＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝.
∵q>1，∴这三个数分别为4,8,16.
9．在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解 (1)因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝＝＝5，故a1＝5.
(3) 因为
由，得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×n－1＝1，即26－n＝20，故n＝6.
10．有三个数成等比数列，其积为27，其平方和为91，求这三个数．
解 设这三个数为，a，aq(公比为q)，
由已知得
由①得a＝3.
将a＝3代入②得q2＋＝，
所以9q4－82q2＋9＝0，令q2＝t(t>0)，
所以9t2－82t＋9＝0，得t1＝9，t2＝.
所以q＝±3或q＝±.
当q＝3时，此数列为1,3,9；
当q＝－3时，此数列为－1,3，－9；
当q＝时，此数列为9,3,1；
当q＝－时，此数列为－9,3，－1.
11．等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18,36,81}中，则q等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 ∵{an}中的项必然有正有负，
∴q<0.又|q|>1，∴q<－1.
由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
∴q＝－.
12．已知在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
答案 C
解析 由题意知2×a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0.∴q＝1＋或q＝1－(舍去)．
＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
13．在表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为________．
1 2
0.5 1
a
b
c
答案 1
解析 因为每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，所以根据第三列，得2×a＝12，可得a＝.在第一列中，公比q＝，第3个数为2＝，第4个数为3＝，第三列中，公比q＝，第4个数为2×3＝，所以第四行中的公差d＝＝，所以第四行中第4个数b＝＋＝，同理c＝，所以a＋b＋c＝＋＋＝1.
14．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为__________．
答案 64
解析 设该等比数列{an}的公比为q，
∴即解得
∴a1a2·…·an＝
当n＝3或4时，取得最小值－6，
此时取得最大值26，
∴a1a2·…·an的最大值为64.
15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则an＝________.
答案 2n－1
解析 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2.
∴{an＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.
∴an＝2n－1.
16．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________，求数列{an}，{bn}的通项公式．
解 选条件①：
因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，
因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋5d＝6a1d，
联立
解得或(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件②：
因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，
因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，
联立
解得或(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件③：
因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9，
因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋7d＝8a1d，
联立
解得或(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.(共67张PPT)
第1课时 等比数列的概念及通项公式
第一章 3.1 等比数列的概念及其通项公式
1.通过实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法.
2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
3.能解决与等比数列的通项公式有关的运算.
学习目标
山东省临沂市费县人程运付，从2005年底开始赶集摆摊卖拉面，3元拉面15年不涨价.2021年2月，因为顾客偶然拍摄的一段短视频，走红网络，成为远近闻名的“拉面哥”.2021年3月，全国各地的自媒体、商家和游客纷纷朝着“拉面哥”家乡“集结”，“拉面哥”每天忙碌地为大家“表演”拉面技艺.只见他娴熟地将一根很粗的面条拉伸、捏合、再拉伸、再捏合，如此反复几次，就
拉成了许多根细面条.你知道他这样拉伸、
捏合10次后可拉出多少根细面条吗？
导语
随堂演练
课时对点练
一、等比数列的概念
二、等比数列的通项公式
三、等比数列通项公式的应用
内容索引
一、等比数列的概念
上面几组数列是等差数列吗？如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？
问题1 观察下面几个数列：
提示 都不是等差数列，不符合等差数列的定义；从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数.
知识梳理
等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是 ，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的 ，通常用字母 表示(q≠0).
同一个常数
公比
q
注意点：
(2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”，如数列：2,2,3,3,4,4就不是等比数列.
(3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0.
例1 (1)(多选)下列各组数成等比数列的是
√
C.x，x2，x3，x4 D.a－1，a－2，a－3，a－4
√
√
解析 由等比数列的定义知，ABD是等比数列，C中当x＝0时，不是等比数列.
(2)已知数列{an}的各项都不为0，a1＝1，且2an＋1＝3an，则a3的值为___，数列{an}_____等比数列(填“是”或“不是”).
解析 因为a1＝1，且2an＋1＝3an，
是
反思感悟 等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零.
(2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看 的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒.
跟踪训练1 判断下列数列是否为等比数列：
(1)1,3,32,33，…，3n－1，…；
解 记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，….
∴数列为等比数列，且公比为3.
(2)－1,1,2,4,8，…；
解 记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，
∴此数列不是等比数列.
(3)a，－a，a，－a，….
解 当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1.
二、等比数列的通项公式
问题2 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，
当n＝1时，上式也成立.
方法二 a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…
由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立.
知识梳理
等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝ .
a1qn－1
注意点：
(1)用函数的观点看等比数列的通项：等比数列{an}的图象是函数y＝ ·qx的图象上的一群孤立的点.
(2)等比数列通项公式的变形公式：an＝amqn－m(m，n∈N＋).
例2 在等比数列{an}中.
解 方法一 设等比数列的公比为q，
(2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，an＝64，求n.
整理得2q2－5q＋2＝0，
由a1qn－1＝64，即2n－1＝64，n＝7.
当q＝2时，a1＝1；
延伸探究 本例(1)若改为等比数列{an}中，已知a2＝18，a4＝8，求q与a5.
反思感悟 (1)等比数列通项公式的求法
①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法.
②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.
(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个.
跟踪训练2 在等比数列{an}中，
(1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12；
解 因为a9＝a1·q8，
(2)若a3·a5＝18，a4·a8＝72，求q.
三、等比数列通项公式的应用
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
反思感悟 灵活设项求解等比数列的技巧
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练3 已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为
，则这三个数依次为_____________.
1.知识清单：
(1)等比数列的概念及判断.
(2)等比数列的通项公式.
(3)等比数列中项的设法.
2.方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法.
3.常见误区：
(1)四个数成等比数列时设成 ，aq，aq3，未考虑公比为负的情况.
(2)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错.
课堂小结
随堂演练
1.在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为
√
1
2
3
4
2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4 B.8 C.6 D.32
1
2
3
4
√
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，
2n－1＝32，所以n＝6.
1
2
3
4
3.在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a1＝____.
解析 由a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，
得a1(1＋q)＝1，a1q(1＋q)＝2，
4.若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________.
1
2
3
4
－1或3
解析 设公比为q，则3a1q3＝a1q5－2a1q4.
因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0，
解得q＝－1或q＝3.
课时对点练
基础巩固
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1.有下列四个说法：
①等比数列中的某一项可以为0；
②等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)；
③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；
④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列.
其中正确说法的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
16
√
解析 等比数列中公比不能取0，且各项均不可为0，所以只有③正确.
2.(多选)在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
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√
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√
√
3.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等.
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为
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又因为从第三行起每一行数成等比数列，
而且每一行的公比都相等，
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4.等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于
A.9 B.10 C.11 D.12
√
解析 因为a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝ ·q10＝－q10，
又am＝a1qm－1＝－qm－1，
所以－q10＝－qm－1，所以10＝m－1，所以m＝11.
5.(多选)设{an}为等比数列，下列数列一定为等比数列的是
A.{2an} B.{ } C.{ } D.{log2|an|}
√
解析 设an＝a1qn－1，对于A,2an＝2a1qn－1，所以数列{2an}是等比数列；
√
对于C, ， 不是一个常数，所以数列{ }不是等比数列；
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6.已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是
√
解析 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1其中成等比数列的三个整数为1,2,4，
若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，
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7.等比数列{an}的前三项分别是5，－15,45，则a5＝_____.
405
所以a5＝a1q4＝405.
8.三个数成等比数列，公比q>1，三个数的积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，则这三个数分别为________.
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4,8,16
∵q>1，∴这三个数分别为4,8,16.
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9.在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
解 因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
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(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
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10.有三个数成等比数列，其积为27，其平方和为91，求这三个数.
由①得a＝3.
所以9q4－82q2＋9＝0，令q2＝t(t>0)，
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当q＝3时，此数列为1,3,9；
当q＝－3时，此数列为－1,3，－9；
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综合运用
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11.等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18,36,81}中，则q等于
√
解析 ∵{an}中的项必然有正有负，
∴q<0.又|q|>1，∴q<－1.
由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
√
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13.在表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为____.
1 2
0.5 1
a
b
c
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解析 因为每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，
所以根据第三列，得2×a＝12，
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14.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为_____.
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解析 设该等比数列{an}的公比为q，
∴a1a2·…·an＝
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此时 取得最大值26，
∴a1a2·…·an的最大值为64.
拓广探究
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15.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则an＝______.
解析 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
2n－1
∴{an＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.
∴an＝2n－1.
16.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________，求数列{an}，{bn}的通项公式.
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解 选条件①：
因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，
因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋5d＝6a1d，
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则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件②：
因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，
因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，
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则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件③：
因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9，
因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋7d＝8a1d，
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则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
本课结束第2课时 等比数列的性质
学习目标 1.掌握等比中项的概念并会应用.2.熟悉等比数列的有关性质.3.掌握等比数列的实际应用问题．
导语
《孙子算经》是我国古代数学专著，其中一个问题为“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色”．问：巢有几何？这个问题能构造一个等比数列模型解决吗？
一、等比中项
问题1 我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A＝，如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？
提示 因为a，G，b成等比数列，所以＝＝q，即G＝±.
知识梳理
等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项．
注意点：
(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列．
(2)只有同号的两个实数才有等比中项．
(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数．
例1 已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
答案 B
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号，
∴ac＝b2＝9.
反思感悟 等比中项应用的关注点
(1)只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个．
(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．
(3)要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零．
跟踪训练1 已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
答案 4×n－1
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝＝＝，
所以an＝4×n－1.
二、等比数列的性质
问题2 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示 由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
知识梳理
等比数列的函数性质
对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下；
a1 a1>0 a1<0
q的范围 01 01
{an}的单调性 递减 常数列 递增 递增 常数列 递减
注意点：
等比数列{an}中，
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
例2 (1)已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 D
解析 当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；
当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,01”是“数列{an}是递增数列”的既不充分又不必要条件．
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于( )
A．12 B．10 C．8 D．2＋log35
答案 B
解析 由等比数列的性质，可得a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，所以a5a6＝9.
a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝…＝9，
则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a10)5＝5log39＝10.
延伸探究 在本例(1)中，若{an}为等比数列，则“a1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 若等比数列{an}是递增数列，可得a1反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1所以“a1反思感悟 利用等比数列的性质解题的关注点
(1)判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质．
(2)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7＝________.
答案 256
解析 因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
所以a3a8＝213，
又因为a3＝16＝24，所以a8＝29.
因为a8＝a3·q5，所以q＝2.所以a7＝＝256.
三、等比数列的实际应用
例3 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，
a3＝10(1－10%)2，….
由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，
所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1，
所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1(万元)．
(2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元)．
所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元．
反思感悟 等比数列应用题的关注点
(1)常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等．
(2)关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题．
(3)步骤
→→→→→.
跟踪训练3 某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？
解 根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d(d＞0)，
则实际上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25，
由题意得
解得
故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)，
即该厂第一季度实际生产电脑305台．
1.知识清单：
(1)等比中项．
(2)等比数列的函数性质与常用性质．
(3)等比数列的实际应用．
2．方法归纳：方程和函数思想．
3．常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错．
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 D
解析 由于公比q＝－＜0，所以数列{an}是摆动数列．
2．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
答案 C
解析 设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.
3．已知等比数列{an}，若a5＝2，a9＝32，则a4·a10等于( )
A．±16 B．16 C．±64 D．64
答案 D
解析 因为{an}为等比数列，且a5＝2，a9＝32，由等比数列的性质得，a4·a10＝a5·a9＝2×32＝64.
4．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
答案 2 048
解析 依题意知，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，则第10个正方形的面积S＝a＝[2×()9]2＝4×29＝2 048(平方厘米)．
课时对点练
1．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2 B．1 C. D.
答案 C
解析 由题意可得a3a5＝a＝4(a4－1) a4＝2，所以q3＝＝8 q＝2，故a2＝a1q＝.
2．设{an}是等比数列，则“a1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，则a10，解得或
此时数列{an}不一定是递增数列；
若数列{an}为递增数列，可得或
所以“a13．(多选)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值可能是( )
A．1 B．－ C. D．－
答案 AD
解析 由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2，
所以或
因此＝＝1或－.
4．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程持续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )
A．65只 B．66只 C．216只 D．36只
答案 B
解析 设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，
∴{an}是首项为1，公比为6的等比数列．
∴a7＝a1·q7－1＝66.
5．已知a，b，c成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(a，c)，则b2等于( )
A．3 B．2 C．1 D．4
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴a＝1，c＝2.
又∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac＝2.
6．(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是( )
A．01
C．a8>1 D．Tn的最大项为T7
答案 ABD
解析 ∵a1>1，a7·a8>1，<0，
∴a7>1,0∴A正确；B正确；C错误；D，T7是数列{Tn}中的最大项，故正确．
7．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
答案 45
解析 由题意可得，每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45(分钟)．
8．在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7＝________.
答案 1
解析 ∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根．
∴∴∴a7＞0.
又a7是a5与a9的等比中项，
∴a＝a5·a9＝1，∴a7＝1.
9．已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
解 (1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
∴a＋2a3a5＋a＝36，
即(a3＋a5)2＝36，
又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
(2)设等比数列{an}的公比为q，
∵a2－a5＝42，∴q≠1.
由已知，得
∴
解得
若G是a5，a7的等比中项，
则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9，
∴a5，a7的等比中项为±3.
10．(1)设{an}为公比q>1的等比数列，若a2 020和a2 021是方程4x2－8x＋3＝0的两根，求a2 030＋a2 031的值；
(2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，求通项公式an.
解 (1)解方程4x2－8x＋3＝0，得x1＝，x2＝，
由q>1，得a2 020＝，a2 021＝，q＝3，
所以a2 030＋a2 031＝(a2 020＋a2 021)q10＝2·310.
(2)在等比数列{an}中，由a4a7＝－512，得a3a8＝－512，
又a3＋a8＝124，
解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，
因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2，
故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.
11．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．5 B．7 C．6 D．4
答案 A
解析 ∵a1a2a3＝a＝5，∴a2＝.
∵a7a8a9＝a＝10，∴a8＝.
∴a＝a2a8＝＝，
又∵数列{an}各项均为正数，∴a5＝.
∴a4a5a6＝a＝＝5.
12．在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足( )
A．q>1 B．q<1 C．0答案 C
解析 先证必要性：
∵a1<0，且{an}是递增数列，
∴an<0，即q＞0，且＝＝q<1，
则此时公比q满足0＜q＜1；
再证充分性：
∵a1<0,0∴an<0，
∴＝＝q<1，即an＋1>an，
则{an}是递增数列，
综上，{an}是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1.
13．已知等比数列{an}满足an>0，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥3时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于( )
A．2n B．2n2 C．2n2－n D．n2
答案 D
解析 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1·a3·…·a2n－1)＝
14．已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为________．
答案 1 024
解析 因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，所以
解得a1＝16，q＝，
所以an＝16×n－1＝25－n，
所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝，
所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024.
15．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．
答案 275或8
解析 设公差为d，
由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，②
当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16．某城市2017年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米．该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米，到2025年年底时，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x，其中0＜x＜1)
解 设这个城市的人口年平均增长率为x(0＜x＜1)，则该城市2017年年底到2025年年底人口数量组成等比数列，记为{an}，
则a1＝100，公比q＝1＋x，
则2025年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8.
2025年年底住房总面积为100×5＋8×245＝2 460(万平方米)．
由题意得＝24，即(1＋x)8＝，
因为(1＋x)8≈1＋8x(0＜x＜1)，
所以1＋8x≈，所以x≈0.003.
故该城市的人口年平均增长率约是0.003.(共58张PPT)
第2课时 等比数列的性质
第一章 3.1 等比数列的概念及其通项公式
1.掌握等比中项的概念并会应用.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.掌握等比数列的实际应用问题.
学习目标
《孙子算经》是我国古代数学专著，其中一个问题为“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色”.问：巢有几何？这个问题能构造一个等比数列模型解决吗？
导语
随堂演练
课时对点练
一、等比中项
二、等比数列的性质
三、等比数列的实际应用
内容索引
一、等比中项
问题1 我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A＝ ，如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？
知识梳理
等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，
那么根据等比数列的定义， G2＝ab，G＝ ，我们称G为a，
b的等比中项.
注意点：
(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列.
(2)只有同号的两个实数才有等比中项.
(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数.
例1 已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么
A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9
C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9
√
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号，
∴ac＝b2＝9.
反思感悟 等比中项应用的关注点
(1)只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个.
(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即 ＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程.
(3)要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零.
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
跟踪训练1 已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则
an＝________.
二、等比数列的性质
问题2 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
当q>0且q≠1时，
等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝ ·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n).
知识梳理
等比数列的函数性质
对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下；
a1 a1>0 a1<0 q的范围 01 01
{an}的单调性 _____ 常数列 _____ _____ 常数列 _____
递减
递增
递增
递减
注意点：
等比数列{an}中，
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列.
例2 (1)已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；
当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,0即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分又不必要条件.
√
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于
A.12 B.10 C.8 D.2＋log35
解析 由等比数列的性质，可得a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，所以a5a6＝9.
a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝…＝9，
则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a10)5＝5log39＝10.
√
延伸探究 在本例(1)中，若{an}为等比数列，则“a1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 若等比数列{an}是递增数列，可得a1反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1所以“a1√
反思感悟 利用等比数列的性质解题的关注点
(1)判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质.
(2)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7＝____.
解析 因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
所以a3a8＝213，
又因为a3＝16＝24，所以a8＝29.
256
三、等比数列的实际应用
例3 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
解 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，
a3＝10(1－10%)2，….
由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，
所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1，
所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1(万元).
(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元).
所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元.
反思感悟 等比数列应用题的关注点
(1)常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等.
(2)关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题.
(3)步骤
跟踪训练3 某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？
解 根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d(d＞0)，
则实际上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25，
故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)，
即该厂第一季度实际生产电脑305台.
1.知识清单：
(1)等比中项.
(2)等比数列的函数性质与常用性质.
(3)等比数列的实际应用.
2.方法归纳：方程和函数思想.
3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错.
课堂小结
随堂演练
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
√
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2
3
4
A.1 B.－1 C.±1 D.2
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√
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3.已知等比数列{an}，若a5＝2，a9＝32，则a4·a10等于
A.±16 B.16 C.±64 D.64
√
解析 因为{an}为等比数列，
且a5＝2，a9＝32，
由等比数列的性质得，a4·a10＝a5·a9＝2×32＝64.
4.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米.
1
2
3
4
2 048
解析 依题意知，这10个正方形的边长构成以2为首项，
课时对点练
基础巩固
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√
2.设{an}是等比数列，则“a1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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解析 设等比数列{an}的公比为q，
则a10，
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此时数列{an}不一定是递增数列；
所以“a11
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4.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程持续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂
A.65只 B.66只 C.216只 D.36只
√
解析 设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，
则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，
∴{an}是首项为1，公比为6的等比数列.
∴a7＝a1·q7－1＝66.
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5.已知a，b，c成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(a，c)，则b2等于
A.3 B.2 C.1 D.4
√
16
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴a＝1，c＝2.
又∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac＝2.
6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，
a7a8>1， <0.则下列结论正确的是
A.01
C.a8>1 D.Tn的最大项为T7
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√
√
∴a7>1,0∴A正确；B正确；C错误；
D，T7是数列{Tn}中的最大项，故正确.
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7.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后______分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB).
45
解析 由题意可得，每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，
设病毒占据64 MB时自身复制了n次，
即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，
从而复制的时间为15×3＝45(分钟).
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8.在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7＝____.
1
解析 ∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根.
又a7是a5与a9的等比中项，
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9.已知数列{an}为等比数列.
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
解 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
即(a3＋a5)2＝36，
又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
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(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.
解 设等比数列{an}的公比为q，
∵a2－a5＝42，∴q≠1.
若G是a5，a7的等比中项，
∴a5，a7的等比中项为±3.
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10.(1)设{an}为公比q>1的等比数列，若a2 020和a2 021是方程4x2－8x＋3＝0的两根，求a2 030＋a2 031的值；
所以a2 030＋a2 031＝(a2 020＋a2 021)q10＝2·310.
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(2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，求通项公式an.
解 在等比数列{an}中，由a4a7＝－512，得a3a8＝－512，
又a3＋a8＝124，
解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，
故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.
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综合运用
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11.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于
√
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又∵数列{an}各项均为正数，∴a5＝ .
12.在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足
A.q>1 B.q<1 C.0√
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则{an}是递增数列，
综上，{an}是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1.
解析 先证必要性：
∵a1<0，且{an}是递增数列，
则此时公比q满足0＜q＜1；
再证充分性：
∵a1<0,0∴an<0，
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13.已知等比数列{an}满足an>0，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥3时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于
A.2n B.2n2 C.2n2－n D.n2
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解析 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1·a3·…·a2n－1)
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14.已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4， ，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为________.
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所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝ ，
所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024.
拓广探究
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15.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________.
275或8
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解析 设公差为d，
由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8， ①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0， ②
当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.
由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16.某城市2017年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米.该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米，到2025年年底时，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x，其中0＜x＜1)
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故该城市的人口年平均增长率约是0.003.
解 设这个城市的人口年平均增长率为x(0＜x＜1)，
则该城市2017年年底到2025年年底人口数量组成等比数列，记为{an}，
则a1＝100，公比q＝1＋x，
则2025年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8.
2025年年底住房总面积为100×5＋8×245＝2 460(万平方米).
因为(1＋x)8≈1＋8x(0＜x＜1)，
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本课结束