第2课时 数学归纳法的应用
学习目标 1.进一步熟练数学归纳法的原理与步骤.2.能用数学归纳法证明数学问题．
一、用数学归纳法证明不等式
例1 用数学归纳法证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2＋＝
<＝＝2.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．
延伸探究 本例中把不等式改为“1＋＋＋…＋>(n>1且n∈N＋)”，试给予证明．
证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝，
∴左边>右边，∴不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，
即1＋＋＋…＋>.
那么当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋>＋＝>＝.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋且n>1都成立．
反思感悟 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点
关键点一 验证第1个n的取值时，要注意n0不一定为1，若条件为n＞k，则n0＝k＋1
关键点二 证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”
关键点三 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
关键点四 证明n＝k＋1成立时，应加强目标意识，即要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放得过大”或“缩得过小”
跟踪训练1 求证：当n∈N＋，n≥2时，＋＋…＋>.
证明 (1)当n＝2时，＋＝＝>，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，
即＋＋…＋>，
那么当n＝k＋1时，
＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋＋－
＝＋－>＋>，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
根据(1)(2)可知，n∈N＋，n≥2时不等式成立．
二、用数学归纳法证明整除问题
例2 证明：当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
证明 (1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.
故f(k＋1)也能被64整除．
综合(1)(2)，知当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明．
跟踪训练2 用数学归纳法证明：3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．
证明 (1)当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数．
(2)假设3×52k＋1＋23k＋1＝17m(m是整数)，
则当n＝k＋1时，3×52(k＋1)＋1＋23(k＋1)＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8
＝(3×52k＋1＋23k＋1)×8＋17×3×52k＋1
＝8×17m＋3×17×52k＋1
＝17(8m＋3×52k＋1)，
∵m，k都是整数，∴17(8m＋3×52k＋1)能被17整除，
即当n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．
综合(1)(2)知，对任意正整数3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．
三、用数学归纳法证明几何问题
例3 求证平面上凸n边形(n∈N＋，n≥4)的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)．
证明 (1)当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，平面上四边形有2条对角线，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥4，k∈N＋)时命题成立，即平面上凸k边形A1A2…Ak共有f(k)＝k(k－3)条对角线，则当n＝k＋1时，即平面上凸k＋1边形在k边形的基础上增加了1个顶点Ak＋1，如图所示，这时新增加的对角线是Ak＋1A2，Ak＋1A3，…，Ak＋1Ak－1以及A1Ak，共增加了(k＋1－3)＋1＝(k－1)条．
因为k(k－3)＋(k－1)＝(k2－k－2)＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]＝f(k＋1)，
所以n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n≥4，n∈N＋，命题成立．
反思感悟 (1)利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法．即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．
(2)对于本题，当n＝k＋1时，对角线条数的增量k－1可用画图的方法去找，也可由f(n)＝n(n－3)，得f(k＋1)－f(k)＝k－1分析出，再结合图形说明为什么从“n＝k”到“n＝k＋1”时，对角线条数的增量为k－1.
跟踪训练3 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点．求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分．
证明 (1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，k个圆把平面分成k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋命题都成立．
1.知识清单：
(1)利用数学归纳法证明不等式．
(2)利用数学归纳法证明整除问题．
(3)利用数学归纳法证明几何问题．
2．方法归纳：数学归纳法．
3．常见误区：从n＝k到n＝k＋1时，注意两边项数的变化．
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2 B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
答案 B
解析 由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋<2.
2．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.
3．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，将式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________________．
答案 (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
解析 采取凑配法，凑出归纳假设k3＋5k，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
4．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为__________________(n∈N＋)．
答案 1＋＋＋…＋>
课时对点练
1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步验证中的起始值n0应取( )
A．2 B．3 C．5 D．6
答案 C
解析 当n取1,2,3,4时，2n>n2＋1均不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，故第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.
2．已知8>7,16>9,32>11，…，则有( )
A．2n>2n＋1 B．2n＋1>2n＋1
C．2n＋2>2n＋5 D．2n＋3>2n＋7
答案 C
解析 由8>7,16>9,32>11可知
第一项为8>7 21＋2>2×1＋5，
第二项为16>9 22＋2>2×2＋5，
第三项为32>11 23＋2>2×3＋5，
以此类推第n项为2n＋2>2n＋5.
3．用数学归纳法证明“5n－2n(n∈N＋)能被3整除”的过程中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( )
A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2k
C．3(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k
答案 A
解析 假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即5k－2k能被3整除，
则当n＝k＋1时，
5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k
＝5×5k－5×2k＋5×2k－2×2k
＝5(5k－2k)＋3×2k.
4．(多选)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的是( )
A．假设当n＝k(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立
B．假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立
C．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立
D．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立
答案 BD
解析 因为n为正奇数，所以步骤(2)应为假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，此时n＝k＋2也为正奇数；也可为假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，此时n＝2k＋1也为正奇数．故B，D正确．
5．(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题总成立的是( )
A．若f(6)<7成立，则f(5)<6成立
B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立
C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
答案 AD
解析 若f(5)<6不成立，则f(5)≥6，由题意知f(6)≥7，与f(6)<7成立矛盾，所以f(5)<6成立，故A正确；若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故D正确．所以选AD.
6．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≤n时，从n＝k到n＝k＋1不等式左边增添的项数是( )
A．k B．2k－1 C．2k D．2k＋1
答案 C
解析 当n＝k时，不等式左边为＋＋＋…＋，共有2k－1项；当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋＋…＋，共有2k＋1－1项，所以增添的项数为2k＋1－2k＝2k.
7．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
答案 π
解析 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
8．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为____________________．
答案 81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1(或25×(34k＋1＋52k＋1)＋56×34k＋1)
解析 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.
9．平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝.
证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个．
又f(2)＝×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝k(k－1)，
l与其他k条直线交点个数为k.
从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，对n∈N＋(n≥2)命题都成立．
10．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，
且≤1＋≤，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋…＋
<＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N＋都成立．
11．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
答案 A
解析 假设当n＝k时，原式＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
12．在用数学归纳法证明f(n)＝＋＋…＋<1(n∈N＋，n≥3)的过程中：假设当n＝k (k∈N＋，k≥3)，不等式f(k)<1成立，则需证当n＝k＋1时，f(k＋1)<1也成立．若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，则g(k)等于( )
A.＋ B.＋－
C.－ D.－
答案 B
解析 当n＝k＋1时，f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋，又f(k)＝＋＋…＋，所以g(k)＝＋－，故选B.
13．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，n∈N＋，则下列结论成立的是( )
A．a2 019C．a2 019答案 A
解析 因为a1＝，an＋1＝，
所以a2＝＝a1，所以1>a2>a1，
所以，即a1所以，即a3所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n－1以下为证明：
当n＝2时，a3设当n＝k时，a2k－1当n＝k＋1时，因为a2k－1所以有，
即a2k－1所以，
即a2k＋1所以当n＝k＋1时，猜想也成立．
故当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n－114．对任意n∈N＋，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
答案 5
解析 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或a＝5；
当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
15．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A．n＋1 B．2n
C. D．n2＋n＋1
答案 C
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．
16．已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈时，f(x)≥.
(1)求a的值；
(2)设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N＋.证明an＜.
(1)解 由于f(x)＝ax－x2的最大值不大于，
所以f ＝≤，即a2≤1.①
又当x∈时f(x)≥，
所以即解得a≥1.②
由①②得a＝1.
(2)证明 ①当n＝1时，0＜a1＜，不等式0＜an＜成立．
因为f(x)＞0，x∈，
所以0＜a2＝f(a1)≤＜，
故当n＝2时不等式也成立．
②假设当n＝k(k≥2)时，不等式0＜ak＜成立，
因为f(x)＝x－x2的对称轴为x＝，
所以f(x)在上为增函数，
所以由0＜ak＜≤得0＜f(ak)＜f ，
于是有0＜ak＋1＜－·＋－＝－＜，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据①②可知，对任何n∈N＋，不等式an＜成立．(共63张PPT)
第1课时 数学归纳法
第一章 *§5 数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明简单的数学命题.
学习目标
从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马.第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山
谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马.三
张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，
构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！
第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？
导语
随堂演练
课时对点练
一、数学归纳法的理解
二、利用数学归纳法证明等式
三、归纳—猜想—证明
内容索引
一、数学归纳法的理解
问题 在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下.试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？
提示 需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；
(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题.
知识梳理
数学归纳法是用来证明某些与 有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：
(1)证明：当n取 值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当 时，命题也成立.
根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
正整数n
第一个
n＝k＋1
注意点：
(1)数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明.
(2)应用数学归纳法时应注意：
①验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可.
②在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法.
例1 (1)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是
A.1 B.1＋3
C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4
√
解析 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.
(2)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则n＝k＋1时，在n
＝k时的左端应加上___________________________.
解析 n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，
左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
所以在n＝k时的左端应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
反思感悟 数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律.
(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设.
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法
A.过程全部正确
B.n＝1验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
√
解析 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法.
二、利用数学归纳法证明等式
左边＝右边，所以等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有
所以当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立.
证明 (1)当n＝1时，
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，
那么当n＝k＋1时，
即当n＝k＋1时等式也成立.
由(1)(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立.
反思感悟 用数学归纳法证明等式的方法
则当n＝k＋1时，
即当n＝k＋1时等式也成立.
由(1)(2)知等式对任意正整数n都成立.
三、归纳—猜想—证明
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立，
那么当n＝k＋1时，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
所以当n＝k＋1时，命题成立.
由①②可知，命题对任何n∈N＋都成立.
反思感悟 “归纳—猜想—证明”的解题步骤
下面用数学归纳法证明.
∵左边＝右边，∴原等式成立.
∴当n＝k＋1时，原等式也成立.
1.知识清单：
(1)数学归纳法的概念.
(2)用数学归纳法证明等式.
(3)“归纳—猜想—证明”问题.
2.方法归纳：数学归纳法.
3.常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错.
课堂小结
随堂演练
√
1
2
3
4
2.用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于
A.3k－1 B.3k＋1
C.8k D.9k
1
2
3
4
√
解析 因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，
则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.
1
2
3
4
3.证明：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，则当n＝k＋1时，2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，等式也成立.因此对于任何n∈N＋等式都成立.
以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)”的过程中的错误为_________________.
缺少步骤归纳奠基
4.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________________
______________________________________.
1
2
3
4
1×4＋2×7＋…
＋k(3k＋1) ＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
解析 当n＝k＋1时，
表达式左侧为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)，
表达式右侧为(k＋1)(k＋2)2，
则当n＝k＋1时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为
A.1 B.1＋2
C.1＋2＋22 D.1＋2＋22＋23
16
√
解析 当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.
A.n＝k＋1时等式成立 B.n＝k＋2时等式成立
C.n＝2k＋2时等式成立 D.n＝2(k＋2)时等式成立
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
解析 因为n为正偶数，
所以当n＝k时，下一个偶数为k＋2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝ n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于
A.a＝1，b＝3 B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝2 D.a＝2，b＝3
√
解析 当n＝1时，原式可化为ab＋a＋b＝11， ①
当n＝2时，原式可化为ab＋2(a＋b)＝16. ②
由①②可得a＋b＝5，ab＝6，验证可知只有选项D适合.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5.若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立.现知命题对n＝n0(n0∈N＋)成立，则有
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数
都成立
D.以上说法都不正确
√
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析 由已知得n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，
则有n＝n0＋1时命题成立.
在n＝n0＋1时命题成立的前提下，
又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，
依此类推，可知选C.
16
解析 观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，
∴项数为n2－n＋1.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.
②假设当n＝k时，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，
所以当n＝k＋1时等式成立.
由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立.上述证明的错误是___________
_______________.
没有用上归
纳假设进行递推
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 当n＝k＋1时正确的解法是，
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，
即一定用上第二步中的假设.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_______________________________.
f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
解析 因为f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
所以f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.用数学归纳法证明：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴当n＝2时等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，
那么当n＝k＋1时，利用归纳假设有
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即当n＝k＋1时等式也成立.
综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式恒成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.设a>0，f(x)＝ ，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；
解 因为a1＝1，an＋1＝f(an)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)用数学归纳法证明你的结论.
解 ①易知当n＝1时，结论成立；
即当n＝k＋1时，猜想也成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
综合运用
16
11.(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N＋)，若当n＝1,2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是
A.p(k)对k＝528成立 B.p(k)对每一个自然数k都成立
C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立
√
√
解析 由题意知p(k)对k＝2,4,6，…，2 002成立，
当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
12.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…·(2n－1)(n∈N＋)时，将“n＝k→n＝k＋1”两边同乘一个代数式，它是
A.2k＋2 B.(2k＋1)(2k＋2)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 当n＝k时，(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)；
当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝2k＋1·1·3·…·[2(k＋1)－1].
通过对比可知，增加了两项(2k＋1)，(2k＋2)，减少了一项(k＋1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切
n∈N＋成立，那么a＝____，b＝____，c＝____.
解析 把n＝1,2,3代入1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c，
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.用数学归纳法证明：当n∈N＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时，原式为________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是_____________________.
解析 当n＝1时，1＋2＋22＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24；
1＋2＋22＋…＋25(k＋1)－1－(1＋2＋22＋…＋25k－1)＝25k＋25k＋1＋…＋25k＋4.
1＋2＋22＋23＋24
25k＋25k＋1＋…＋25k＋4
16.设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 令x＝y＝0，
得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，
得f(0)＝0.
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 由f(1)＝1，
得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4；
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9；
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式并用数学归纳法证明.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 由(2)可猜想f(n)＝n2.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，f(1)＝12＝1，显然成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即f(k)＝k2，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，
即当n＝k＋1时命题也成立，
由①②可知，对一切n∈N＋都有f(n)＝n2成立.
本课结束*§5 数学归纳法
第1课时 数学归纳法
学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明简单的数学命题．
导语
从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马．第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马．三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！
第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？
一、数学归纳法的理解
问题 在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？
提示 需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题．
知识梳理
数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：
(1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立．
根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立．
注意点：
(1)数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明．
(2)应用数学归纳法时应注意：
①验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可．
②在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．
例1 (1)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( )
A．1 B．1＋3
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
答案 C
解析 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.
(2)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则n＝k＋1时，在n＝k时的左端应加上_______________________________________________________________________________．
答案 (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
解析 n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，
左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，所以在n＝k时的左端应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
反思感悟 数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律．
(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设．
跟踪训练1 对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜
＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案 D
解析 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法．
二、利用数学归纳法证明等式
例2 证明：＋＋…＋＝(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝，
左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有
＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立．
延伸探究 本例等式若改为＋＋…＋＝.试用数学归纳法证明．
证明 (1)当n＝1时，
＝成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有＋＋…＋＝，
那么当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋
＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立．
反思感悟 用数学归纳法证明等式的方法
跟踪训练2 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
1－＋－＋…＋－＋－
＝＋－
＝＋－
＝＋＋…＋＋＋，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知等式对任意正整数n都成立．
三、归纳—猜想—证明
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝，且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．
解 (1)a2＝＝，
a1＝，则a2＝，同理求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，
猜想an＝.
证明：①当n＝1时，a1＝，等式成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立，
即ak＝，
那么当n＝k＋1时，由题设an＝，
得ak＝，ak＋1＝，
所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)＝.
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－，
因此，k(2k＋3)ak＋1＝，
所以ak＋1＝＝.
所以当n＝k＋1时，命题成立．
由①②可知，命题对任何n∈N＋都成立．
反思感悟 “归纳—猜想—证明”的解题步骤
跟踪训练3 已知数列{an}前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的解析式，并用数学归纳法证明．
解 S1＝a1＝－，
S2＋＋2＝S2－ S2＝－，
S3＋＋2＝S3－S2 S3＝－，
S4＋＋2＝S4－S3 S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－，
右边＝－＝－.
∵左边＝右边，∴原等式成立．
(2)当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，假设Sk＝－成立，
由Sk＋1＋＋2＝Sk＋1－Sk得
＝－Sk－2＝－2＝＝＝－，
∴Sk＋1＝－＝－，
∴当n＝k＋1时，原等式也成立．
综合(1)(2)得，对一切n∈N＋，Sn＝－成立．
1.知识清单：
(1)数学归纳法的概念．
(2)用数学归纳法证明等式．
(3)“归纳—猜想—证明”问题．
2．方法归纳：数学归纳法．
3．常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错．
1．若f(n)＝1＋＋＋…＋，则当n＝1时，f(n)等于( )
A．1 B.
C．1＋＋ D．以上都不对
答案 C
解析 f(1)＝1＋＋.
2．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( )
A．3k－1 B．3k＋1
C．8k D．9k
答案 C
解析 因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.
3．证明：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，则当n＝k＋1时，2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．
以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)”的过程中的错误为________________．
答案 缺少步骤归纳奠基
4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________________________________．
答案 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
解析 当n＝k＋1时，
表达式左侧为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)，
表达式右侧为(k＋1)(k＋2)2，
则当n＝k＋1时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.
课时对点练
1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23
答案 D
解析 当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.
2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2，k∈N＋)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
答案 B
解析 因为n为正偶数，
所以当n＝k时，下一个偶数为k＋2.
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，
可推测an＝.
4．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于( )
A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3
答案 D
解析 当n＝1时，原式可化为ab＋a＋b＝11，①
当n＝2时，原式可化为ab＋2(a＋b)＝16.②
由①②可得a＋b＝5，ab＝6，验证可知只有选项D适合．
5．若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
答案 C
解析 由已知得n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立．在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.
6．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
答案 D
解析 观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，
∴项数为n2－n＋1.
7．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设当n＝k时，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以当n＝k＋1时等式成立．
由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________________________．
答案 没有用上归纳假设进行递推
解析 当n＝k＋1时正确的解法是，
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，
即一定用上第二步中的假设．
8．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_____________________．
答案 f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
解析 因为f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
所以f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
9．用数学归纳法证明：
…＝(n≥2，n∈N＋)．
证明 (1)当n＝2时，左边＝1－＝，
右边＝＝，∴左边＝右边．
∴当n＝2时等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，
即…＝.
那么当n＝k＋1时，利用归纳假设有
…
＝＝·
＝＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式恒成立．
10．设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
解 (1)因为a1＝1，an＋1＝f(an)，
所以a2＝f(a1)＝f(1)＝，
a3＝f(a2)＝f ＝＝，
a4＝f(a3)＝f ＝＝，
猜想an＝(n∈N＋)．
(2)①易知当n＝1时，结论成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想成立，即ak＝.
则当n＝k＋1时，ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②知，对一切n∈N＋，都有an＝.
11．(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N＋)，若当n＝1,2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是( )
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
答案 AD
解析 由题意知p(k)对k＝2,4,6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
12．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…·(2n－1)(n∈N＋)时，将“n＝k→n＝k＋1”两边同乘一个代数式，它是( )
A．2k＋2 B．(2k＋1)(2k＋2)
C. D.
答案 D
解析 当n＝k时，(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)；当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝2k＋1·1·3·…·[2(k＋1)－1]．通过对比可知，增加了两项(2k＋1)，(2k＋2)，减少了一项(k＋1)．
13．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝__________.
答案 ＋＋…＋
解析 f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＝f(2k)＋＋＋…＋，
∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.
14．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋成立，那么a＝________，b＝________，c＝________.
答案
解析 把n＝1,2,3代入1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c，
可得
整理并解得
15．用数学归纳法证明：当n∈N＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时，原式为________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________________．
答案 1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋…＋25k＋4
解析 当n＝1时，1＋2＋22＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24；
1＋2＋22＋…＋25(k＋1)－1－(1＋2＋22＋…＋25k－1)＝25k＋25k＋1＋…＋25k＋4.
16．设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式并用数学归纳法证明．
解 (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0.
(2)由f(1)＝1，
得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4；
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9；
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.
(3)由(2)可猜想f(n)＝n2.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，f(1)＝12＝1，显然成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即f(k)＝k2，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，
即当n＝k＋1时命题也成立，
由①②可知，对一切n∈N＋都有f(n)＝n2成立．(共61张PPT)
第2课时 数学归纳法的应用
第一章 *§5 数学归纳法
1.进一步熟练数学归纳法的原理与步骤.
2.能用数学归纳法证明数学问题.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、用数学归纳法证明不等式
二、用数学归纳法证明整除问题
三、用数学归纳法证明几何问题
内容索引
一、用数学归纳法证明不等式
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立.
∴左边>右边，∴不等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，
∴当n＝k＋1时，不等式也成立.
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋且n>1都成立.
反思感悟 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点
关键点一 验证第1个n的取值时，要注意n0不一定为1，若条件为n＞k，则n0＝k＋1
关键点二 证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”
关键点三 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.
关键点四 证明n＝k＋1成立时，应加强目标意识，即要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放得过大”或“缩得过小”
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，
那么当n＝k＋1时，
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
根据(1)(2)可知，n∈N＋，n≥2时不等式成立.
二、用数学归纳法证明整除问题
例2 证明：当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
证明 (1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.
故f(k＋1)也能被64整除.
综合(1)(2)，知当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明.
证明 (1)当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数.
(2)假设3×52k＋1＋23k＋1＝17m(m是整数)，
则当n＝k＋1时，3×52(k＋1)＋1＋23(k＋1)＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3
＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8
＝(3×52k＋1＋23k＋1)×8＋17×3×52k＋1
＝8×17m＋3×17×52k＋1
＝17(8m＋3×52k＋1)，
∵m，k都是整数，∴17(8m＋3×52k＋1)能被17整除，
即当n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数.
综合(1)(2)知，对任意正整数3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数.
跟踪训练2 用数学归纳法证明：3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数.
三、用数学归纳法证明几何问题
例3 求证平面上凸n边形(n∈N＋，n≥4)的对角线的条数为f(n)＝ (n－3).
证明 (1)当n＝4时，f(4)＝ ×4×(4－3)＝2，平面上四边形有2条对角线，命题成立.
(2)假设n＝k(k≥4，k∈N＋)时命题成立，
即平面上凸k边形A1A2…Ak共有f(k)＝ k(k－3)条对
角线，
则当n＝k＋1时，即平面上凸k＋1边形在k边形的基础上增加了1个顶点Ak＋1，
如图所示，这时新增加的对角线是Ak＋1A2，Ak＋1A3，…，Ak＋1Ak－1以及A1Ak，共增加了(k＋1－3)＋1＝(k－1)条.
所以n＝k＋1时，命题也成立.
由(1)(2)可知，对于任意n≥4，n∈N＋，命题成立.
反思感悟 (1)利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少.一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法.即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设.
(2)对于本题，当n＝k＋1时，对角线条数的增量k－1可用画图的方法去
找，也可由f(n)＝ n(n－3)，得f(k＋1)－f(k)＝k－1分析出，再结合图形
说明为什么从“n＝k”到“n＝k＋1”时，对角线条数的增量为k－1.
跟踪训练3 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点.求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分.
证明 (1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，k个圆把平面分成k2－k＋2个部分.
当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，
第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，
这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即命题也成立.
由(1)(2)可知，对任意n∈N＋命题都成立.
1.知识清单：
(1)利用数学归纳法证明不等式.
(2)利用数学归纳法证明整除问题.
(3)利用数学归纳法证明几何问题.
2.方法归纳：数学归纳法.
3.常见误区：从n＝k到n＝k＋1时，注意两边项数的变化.
课堂小结
随堂演练
√
1
2
3
4
2.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为
A.1 B.2 C.3 D.4
1
2
3
4
√
解析 根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.
1
2
3
4
3.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，将式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为____________________.
解析 采取凑配法，凑出归纳假设k3＋5k，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1.用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步验证中的起始值n0应取
A.2 B.3 C.5 D.6
16
√
解析 当n取1,2,3,4时，2n>n2＋1均不成立，
当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，
故第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.
2.已知8>7,16>9,32>11，…，则有
A.2n>2n＋1 B.2n＋1>2n＋1
C.2n＋2>2n＋5 D.2n＋3>2n＋7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
解析 由8>7,16>9,32>11可知
第一项为8>7 21＋2>2×1＋5，
第二项为16>9 22＋2>2×2＋5，
第三项为32>11 23＋2>2×3＋5，
以此类推第n项为2n＋2>2n＋5.
3.用数学归纳法证明“5n－2n(n∈N＋)能被3整除”的过程中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为
A.5(5k－2k)＋3×2k B.(5k－2k)＋4×5k－2k
C.3(5k－2k) D.2(5k－2k)－3×5k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析 假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即5k－2k能被3整除，
则当n＝k＋1时，
5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k ＝5×5k－5×2k＋5×2k－2×2k
＝5(5k－2k)＋3×2k.
4.(多选)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的是
A.假设当n＝k(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立
B.假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立
C.假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立
D.假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
解析 因为n为正奇数，所以步骤(2)应为假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，
此时n＝k＋2也为正奇数；
也可为假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，
此时n＝2k＋1也为正奇数.
故B，D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立.则下列命题总成立的是
A.若f(6)<7成立，则f(5)<6成立
B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立
C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
√
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析 若f(5)<6不成立，则f(5)≥6，
由题意知f(6)≥7，与f(6)<7成立矛盾，
所以f(5)<6成立，故A正确；
若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)，
即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，
所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故D正确.
所以选AD.
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.k B.2k－1 C.2k D.2k＋1
√
所以增添的项数为2k＋1－2k＝2k.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋____.
解析 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，
故f(k＋1)＝f(k)＋π.
π
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1
＋52(k＋1)＋1应变形为______________________________________________
____________.
81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1(或25×(34k＋1＋52k＋1)
＋56×34k＋1)
解析 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×
34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝
(2)假设当n＝k(k≥2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线
交点个数f(k)＝ k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝ k(k－1)，
l与其他k条直线交点个数为k.
从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个.
∴当n＝k＋1时，命题成立.
由(1)(2)可知，对n∈N＋(n≥2)命题都成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即当n＝k＋1时，命题成立.
由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N＋都成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
综合运用
16
11.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开
A.(k＋3)3 B.(k＋2)3
C.(k＋1)3 D.(k＋1)3＋(k＋2)3
√
解析 假设当n＝k时，原式＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，
只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.已知数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝ ，n∈N＋，则下列结论成立的是
A.a2 019C.a2 0191
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 因为a1＝ ，an＋1＝ ，
所以a2＝ ＝a1，所以1>a2>a1，
所以 ，即a1所以 ，即a3所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n－11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
以下为证明：
当n＝2时，a3设当n＝k时，a2k－1当n＝k＋1时，因为a2k－1所以有 ，
即a2k－1所以 ，
即a2k＋11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以当n＝k＋1时，猜想也成立.
故当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n－1所以a2 0191
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.对任意n∈N＋，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝___.
5
解析 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或a＝5；
当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为
A.n＋1 B.2n
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；
2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；
3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)求a的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由①②得a＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
故当n＝2时不等式也成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.
本课结束