2.2 导数的几何意义
学习目标 1.通过图象直观地理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
导语
下雨天,当我们将雨伞转动时,伞面边沿的水滴沿着伞边某点的切线方向飞出.实际上物体(看作质点)做曲线运动时,运动方向在不停地变化,其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向,如何研究曲线的切线问题呢?
一、导数的几何意义
问题 (1)函数y=f(x)在[x0,x0+Δx]的平均变化率为,你能说出它的几何意义吗?
提示 表示过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的斜率,这条直线称为曲线y=f(x)在点A处的一条割线.
(2)当Δx变化时,直线如何变化?
提示 直线AB绕点A转动.
(3)当Δx→0时,直线变化到哪里?
提示 直线过点A与曲线y=f(x)相切位置.
知识梳理
函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
注意点:
(1)对切线的三点说明
①与该点的位置有关.
②曲线的切线是由割线绕一点转动,当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线.
③曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
(2)曲线上某点处的导数与切线的关系
①函数f(x)在x0处有导数,则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线,且导数值是该切线的斜率.
②函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,但函数f(x)在该点处不一定可导,如f(x)=在x=0处有切线,但不可导.
例1 (1)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f′(4)等于( )
A. B.3 C.4 D.5
答案 A
解析 根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y=f(x)在x=4处的切线的斜率,则k==,所以f′(4)=.
(2)已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设k=,则下列不等式正确的是( )
A.kC.f′(x2)答案 B
解析 函数的增长越来越快,所以函数在该点的斜率越来越大,
∴f′(x1)反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率,所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.
跟踪训练1 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)=f′(xB)
D.不能确定
答案 B
解析 由导数的几何意义,知f′(xA),f′(xB)分别是曲线在点A,B处切线的斜率,由图象可知f′(xA)二、求切线方程
例2 已知曲线y=x3+,求曲线在点P(2,4)处的切线方程.
解 ∵P(2,4)在曲线y=x3+上,
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k=
==4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
延伸探究 本例曲线方程不变,求曲线过点P(2,4)的切线方程.
解 设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为
k==x,
∴切线方程为y-=x(x-x0),
即y=x·x-x+.
∵点P(2,4)在切线上,
∴4=2x-x+,即x-3x+4=0.
∴x+x-4x+4=0,
∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
解得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为x-y+2=0,或4x-y-4=0.
反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2 求曲线f(x)=在点(-2,-1)处的切线方程.
解 ∵点(-2,-1)在曲线y=上,
∴曲线f(x)=在点(-2,-1)处的切线斜率就等于f(x)=在x=-2处的导数.
∴k=f′(-2)=
=
==-,
∴曲线f(x)=在点(-2,-1)处的切线方程为y+1=-(x+2),
整理得x+2y+4=0.
三、求切点的坐标
例3 已知曲线y=x2-1在x=x0处的切线与曲线y=1-x3在x=x0处的切线互相平行,求x0的值.
解 对于曲线y=x2-1,k1==2x0.
对于曲线y=1-x3,
k2===-3x.
由题意得2x0=-3x,
解得x0=0或-.
延伸探究
1.若本例3条件中的“平行”改为“垂直”,求x0的值.
解 ∵k1=2x0,k2=-3x.
由曲线y=x2-1与y=1-x3在x=x0处的切线互相垂直,知2x0·(-3x)=-1,
解得x0=.
2.若本例3条件不变,试求出两条平行的切线方程.
解 由例3知x0=0或-.
当x0=0时,两平行切线方程为y=-1或y=1.
当x0=-时,曲线y=x2-1的切线方程为12x+9y+13=0.
曲线y=1-x3的切线方程为36x+27y-11=0.
∴所求两平行切线方程为y=-1与y=1或12x+9y+13=0与36x+27y-11=0.
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0,y0).
(2)求切线的斜率f′(x0).
(3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0.
(4)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入求y0,得切点坐标.
跟踪训练3 已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则P点坐标为________.
答案 (3,30)
解析 设点P(x0,2x+4x0),
则f′(x0)=
==4x0+4,
令4x0+4=16得x0=3,∴P(3,30).
1.知识清单:
(1)导数的几何意义.
(2)求曲线上一定点处的切线方程.
(3)求切点坐标.
2.方法归纳:数形结合,待定系数法.
3.常见误区:混淆在一点处的切线和过一点的切线.
1.曲线y=-2x2+1在点(0,1)处的切线的斜率是( )
A.-4 B.4 C.0 D.不存在
答案 C
解析 k==(-2Δx)=0.故选C.
2.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则f′(1)等于( )
A.4 B.-4 C.-2 D.2
答案 D
解析 由导数的几何意义知f′(1)=2.
3.曲线y=x2在点Q(2,1)处的切线方程为( )
A.x-y-1=0 B.x+y-3=0
C.x-y+1=0 D.x+y-1=0
答案 A
解析 f′(2)=
==1,
∴在点(2,1)处的切线方程为y-1=1·(x-2),
即x-y-1=0.故选A.
4.已知函数f(x)=在x=x0处的切线的倾斜角为135°,则x0=________.
答案 ±1
解析 ∵f′(x0)==-=-.
令-=tan 135°=-1,可得x0=±1.
课时对点练
1.已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线斜率等于( )
A.0 B.2 C.4 D.6
答案 D
解析 Δy=2(1+Δx)3-2×13=6Δx+6(Δx)2+2(Δx)3,=[2(Δx)2+6Δx+6]=6.
2.下列说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在
答案 C
解析 k=f′(x0),所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在,而当斜率不存在时,切线方程也可能存在,其切线方程为x=x0.
3.已知函数f(x)满足f′(x1)>0,f′(x2)<0,则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是( )
答案 D
解析 由f′(x1)>0,f′(x2)<0可知,f(x)的图象在x1处切线的斜率为正,在x2处切线的斜率为负.
4.如图,函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是l,则f(2)+f′(2)等于( )
A.-4 B.3 C.-2 D.1
答案 D
解析 由图象可得函数y=f(x)的图象在点P处的切线是l,与x轴交于点(4,0),与y轴交于点(0,4),
则l:x+y=4,∴f=2,f′(2)=-1,f(2)+f′(2)=1.
5.(多选)如果曲线y=x3+x-10的一条切线与直线y=4x+3平行,则该切点的坐标为( )
A.(1,-8) B.(-1,-12)
C.(-1,8) D.(1,12)
答案 AB
解析 设切点坐标为P(x0,y0),则y0=x+x0-10.
则切线斜率为
k=
=[(3x+1)+3x0·Δx+(Δx)2]=3x+1=4,
∴x0=±1.
当x0=1时,y0=-8;当x0=-1时,y0=-12,
即切点为(1,-8)或(-1,-12).
6.(多选)下列各点中,在曲线y=f(x)=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A.(0,0) B.(1,-1)
C.(-1,1) D.(1,1)
答案 BC
解析 设切点坐标为(x0,y0),
则f′(x0)=
=3x-2=tan =1,
所以x0=±1,
当x0=1时,y0=-1.
当x0=-1时,y0=1.
7.抛物线y=x2在点P处的切线垂直于直线y=2x+3,则点P的坐标为________.
答案
解析 设点P(x0,y0),则
==2x0,
∴2x0=-,∴x0=-,
故点P的坐标为.
8.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则=________.
答案 -2
解析 由导数的概念和几何意义知,
=f′(1)=kAB==-2.
9.在抛物线y=f(x)=x2上哪一点处的切线平行于直线4x-y+1=0?哪一点处的切线垂直于这条直线?
解 设抛物线上点P(x0,y0)处的切线平行于直线4x-y+1=0,
则f′(x0)==(2x0+Δx)=2x0,
所以2x0=4,解得x0=2,
所以y0=x=4,即P(2,4),经检验,符合题意.
设抛物线上点Q(x1,y1)处的切线垂直于直线4x-y+1=0,
则2x1=-,解得x1=-,
所以y1=x=,即Q,经检验,符合题意.
故抛物线y=x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x-y+1=0,在点处的切线垂直于直线4x-y+1=0.
10.已知直线l1为曲线y=f(x)=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2,求直线l2的方程.
解 因为f′(1)=
=
=(3+Δx)=3,
所以切线l1的斜率k=3,
所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3,
设直线l2与曲线y=x2+x-2相切于点P(x0,x+x0-2),
则直线l2的方程为y-(x+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).
因为l1⊥l2,所以3(2x0+1)=-1,x0=-,
所以直线l2的方程为3x+9y+22=0.
11.曲线y=x2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C.1 D.2
答案 A
解析 f′(1)===(2+Δx)=2.
则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1.
因为y=2x-1与坐标轴的交点为(0,-1),,
所以所求三角形的面积为S=×1×=.
12.若曲线y=f(x)=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
答案 C
解析 y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率为
k=f′(x0)=
==1-<1.
即k<1.
13.若抛物线f(x)=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点,则c的值为________.
答案 4
解析 设在P点处切线的斜率为k,
则k=f′(-2)
==-5,
∴切线方程为y=-5x.
∴点P的纵坐标为y=-5×(-2)=10,
将点P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4.
14.若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为________.
答案
解析 由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,设y=f(x)=x2,P(x0,y0),由导数的几何意义知f′(x0)= =2x0=1,解得x0=,所以P,故点P到直线y=x-2的最小距离为d==.
15.函数y=在x=1处的导数为________.
答案 -
解析 作出函数y=的图象如图.
由导数的几何意义可知,函数y=在x=1处的导数即为半圆在点P(1,)处的切线的斜率.
所以kl=-=-=-.
16.求过点(-1,0)与曲线y=x2+x+1相切的直线方程.
解 设切点为(x0,x+x0+1),
则切线的斜率为
k=
=2x0+1.
又k==,
∴2x0+1=,
解得x0=0或x0=-2.
当x0=0时,切线斜率k=1,
过(-1,0)的切线方程为y-0=x+1,即x-y+1=0.
当x0=-2时,切线斜率k=-3,过(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0.
故所求切线方程为x-y+1=0或3x+y+3=0.(共61张PPT)
2.2 导数的几何意义
第二章 §2 导数的概念及其几何意义
1.通过图象直观地理解导数的几何意义.
2.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
学习目标
下雨天,当我们将雨伞转动时,伞面边沿的水滴沿着伞边某点的切线方向飞出.实际上物体(看作质点)做曲线运动时,运动方向在不停地变化,其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向,如何研究曲线的切线问题呢?
导语
随堂演练
课时对点练
一、导数的几何意义
二、求切线方程
三、求切点的坐标
内容索引
一、导数的几何意义
问题 (1)函数y=f(x)在[x0,x0+Δx]的平均变化率为 ,你能说出它的几何意义吗?
提示 表示过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的斜率,这条直线称为曲线y=f(x)在点A处的一条割线.
(2)当Δx变化时,直线如何变化?
提示 直线AB绕点A转动.
(3)当Δx→0时,直线变化到哪里?
提示 直线过点A与曲线y=f(x)相切位置.
知识梳理
函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的____
,函数y=f(x)在x0处 反映了导数的几何意义.
切线
的斜率
切线的斜率
注意点:
(1)对切线的三点说明
①与该点的位置有关.
②曲线的切线是由割线绕一点转动,当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线.
③曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
(2)曲线上某点处的导数与切线的关系
①函数f(x)在x0处有导数,则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线,且导数值是该切线的斜率.
②函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,但函数f(x)在该点处不一定可导,如f(x)= 在x=0处有切线,但不可导.
例1 (1)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的
切线,则f′(4)等于
B.3
C.4 D.5
√
解析 根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y=f(x)在x=4处的切线的斜率,
(2)已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设k= ,则下列不等式正确的是
A.kB.f′(x1)C.f′(x2)D.f′(x1)√
解析 函数的增长越来越快,所以函数在该点的斜率越来越大,
∴f′(x1)反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率,所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.
跟踪训练1 已知函数y=f(x)的图象如图所示,
则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)C.f′(xA)=f′(xB) D.不能确定
√
解析 由导数的几何意义,知f′(xA),f′(xB)分别是曲线在点A,B处切线的斜率,由图象可知f′(xA)二、求切线方程
例2 已知曲线y= ,求曲线在点P(2,4)处的切线方程.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
延伸探究 本例曲线方程不变,求曲线过点P(2,4)的切线方程.
∵点P(2,4)在切线上,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
解得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为x-y+2=0,或4x-y-4=0.
反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2 求曲线f(x)= 在点(-2,-1)处的切线方程.
整理得x+2y+4=0.
三、求切点的坐标
例3 已知曲线y=x2-1在x=x0处的切线与曲线y=1-x3在x=x0处的切线互相平行,求x0的值.
对于曲线y=1-x3,
延伸探究
1.若本例3条件中的“平行”改为“垂直”,求x0的值.
2.若本例3条件不变,试求出两条平行的切线方程.
当x0=0时,两平行切线方程为y=-1或y=1.
曲线y=1-x3的切线方程为36x+27y-11=0.
∴所求两平行切线方程为y=-1与y=1或12x+9y+13=0与36x+27y-11=0.
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0,y0).
(2)求切线的斜率f′(x0).
(3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0.
(4)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入求y0,得切点坐标.
跟踪训练3 已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则P点坐标为________.
(3,30)
令4x0+4=16得x0=3,∴P(3,30).
1.知识清单:
(1)导数的几何意义.
(2)求曲线上一定点处的切线方程.
(3)求切点坐标.
2.方法归纳:数形结合,待定系数法.
3.常见误区:混淆在一点处的切线和过一点的切线.
课堂小结
随堂演练
1.曲线y=-2x2+1在点(0,1)处的切线的斜率是
A.-4 B.4 C.0 D.不存在
√
1
2
3
4
2.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则f′(1)等于
A.4 B.-4 C.-2 D.2
1
2
3
4
√
解析 由导数的几何意义知f′(1)=2.
1
2
3
4
3.曲线y= 在点Q(2,1)处的切线方程为
A.x-y-1=0 B.x+y-3=0
C.x-y+1=0 D.x+y-1=0
√
∴在点(2,1)处的切线方程为y-1=1·(x-2),
即x-y-1=0.故选A.
1
2
3
4
4.已知函数f(x)= 在x=x0处的切线的倾斜角为135°,则x0=_____.
±1
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1.已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线斜率等于
A.0 B.2 C.4 D.6
16
√
解析 Δy=2(1+Δx)3-2×13=6Δx+6(Δx)2+2(Δx)3,
2.下列说法正确的是
A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在
1
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3
4
5
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14
15
√
16
解析 k=f′(x0),所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在,而当斜率不存在时,切线方程也可能存在,其切线方程为x=x0.
1
2
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13
14
15
16
√
3.已知函数f(x)满足f′(x1)>0,f′(x2)<0,则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是
解析 由f′(x1)>0,f′(x2)<0可知,f(x)的图象在x1处切线的斜率为正,在x2处切线的斜率为负.
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4.如图,函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是l,则f(2)+f′(2)等于
A.-4 B.3 C.-2 D.1
√
解析 由图象可得函数y=f(x)的图象在点P处的切线是l,
与x轴交于点(4,0),与y轴交于点(0,4),
则l:x+y=4,∴f(2)=2,f′(2)=-1,f(2)+f′(2)=1.
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5
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15
5.(多选)如果曲线y=x3+x-10的一条切线与直线y=4x+3平行,则该切点的坐标为
A.(1,-8) B.(-1,-12)
C.(-1,8) D.(1,12)
√
16
√
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13
14
15
16
∴x0=±1.
当x0=1时,y0=-8;
当x0=-1时,y0=-12,
即切点为(1,-8)或(-1,-12).
6.(多选)下列各点中,在曲线y=f(x)=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角为 的是
A.(0,0) B.(1,-1)
C.(-1,1) D.(1,1)
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所以x0=±1,
当x0=1时,y0=-1.
当x0=-1时,y0=1.
解析 设切点坐标为(x0,y0),
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7.抛物线y=x2在点P处的切线垂直于直线y=2x+3,则点P的坐标
为___________.
8.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为
(0,4),(2,0),(6,4),则 =_____.
-2
解析 由导数的概念和几何意义知,
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9.在抛物线y=f(x)=x2上哪一点处的切线平行于直线4x-y+1=0?哪一点处的切线垂直于这条直线?
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解 设抛物线上点P(x0,y0)处的切线平行于直线4x-y+1=0,
所以2x0=4,解得x0=2,
设抛物线上点Q(x1,y1)处的切线垂直于直线4x-y+1=0,
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故抛物线y=x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x-y+1=0,
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10.已知直线l1为曲线y=f(x)=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2,求直线l2的方程.
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所以切线l1的斜率k=3,
所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3,
所以直线l2的方程为3x+9y+22=0.
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综合运用
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11.曲线y=x2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
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则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1.
12.若曲线y=f(x)=x+ 上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是
A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
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即k<1.
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∴切线方程为y=-5x.
∴点P的纵坐标为y=-5×(-2)=10,
将点P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4.
13.若抛物线f(x)=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点,则c的值为_____.
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解析 设在P点处切线的斜率为k,
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14.若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离
为_____.
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解析 由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,
点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,
且该切线平行于直线y=x-2,
拓广探究
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16.求过点(-1,0)与曲线y=x2+x+1相切的直线方程.
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解得x0=0或x0=-2.
当x0=0时,切线斜率k=1,
过(-1,0)的切线方程为y-0=x+1,即x-y+1=0.
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当x0=-2时,切线斜率k=-3,过(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),
即3x+y+3=0.
故所求切线方程为x-y+1=0或3x+y+3=0.
本课结束