第2课时 含参函数的极值问题
学习目标 1.进一步理解函数的导数与极值的关系.2.掌握函数在某一点取得极值的条件.3.能求简单的含参的函数的极值，能根据极值求参数的取值范围．
一、求含参函数的极值
例1 已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．
解 ∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝.
(1)当a>0时，<，
则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ?↘ 极小值 ↗
∴当x＝时，函数取得极大值f ＝；当x＝时，函数取得极小值f ＝0.
(2)当a<0时，<，
则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝时，函数取得极大值f ＝0；
当x＝时，函数取得极小值f ＝.
综上所述，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f ＝，在x＝处取得极小值f ＝0；
当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f ＝0，在x＝处取得极小值f ＝.
反思感悟 求含参函数极值的步骤与求不含参函数极值的步骤相同，但要注意有时需要对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 求函数f(x)＝x－aln x(a∈R)的极值．
解 由f′(x)＝1－＝，x>0知，
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (0，a) a (a，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ a－aln a ↗
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
二、已知函数的极值求参数的值(或范围)
例2 若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.
答案 4 －11
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得
即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，
所以不符合题意，应舍去．
而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，
故a，b的值分别为4，－11.
反思感悟 已知函数极值求参数值的两点注意
(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
解 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以
解得m>3.
故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
三、函数极值的综合问题
例3 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
解 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1
当x>1时，f′(x)>0.
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－2故实数a的取值范围是(－2,2)．
延伸探究
1．本例中，若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”，结果如何？
解 由已知应有2＋a<0或－2＋a>0.
即a>2或a<－2.
2．本例中，若把“三个不同实根”改为“恰有两个实根”，结果如何？
解 由条件可知，只要2＋a＝0或－2＋a＝0即可，
即a＝±2.
反思感悟 函数极值可应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点，求方程根的个数等问题时，往往先构造函数，利用极值，并结合图象来解决．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝ f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9， f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m.
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x 4 (4，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) ↗ －m ↘ －16－m ↗
则函数g(x)的极大值为g＝－m，
极小值为g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的图象与y＝ f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得解得－16故实数m的取值范围为.
1.知识清单：
(1)求含参函数的极值．
(2)已知函数的极值求参数的值或取值范围．
(3)极值的综合应用．
2．方法归纳：列表法、待定系数法，分类讨论思想．
3．常见误区：函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′(－3)＝0，解得a＝5.
2．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
答案 3
解析 f′(x)＝，f′(1)＝＝0 a＝3.
3．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为________．
答案 8
解析 y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝1，经判断知x＝1是极大值点，故f(1)＝2＋m＝10，m＝8.
4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)
解析 因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，所以x＝ln(－a)．
又因为函数有大于零的极值点，所以－a>1，即a<－1.
课时对点练
1．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极值，则( )
A．0C．b>0 D．b<
答案 A
解析 f′(x)＝3x2－3b，∵f(x)在(0,1)内有极值，∴f′(x)＝0在(0,1)内有解，∴x＝±，∴0<<1，∴02．(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
答案 AB
解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，
∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，
由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.
3．函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是( )
A．a>1或a≤0 B．a>1
C．01或a<0
答案 D
解析 f(x)有极值的充要条件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，
即4a2－4a>0，解得a<0或a>1.
4．若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
答案 B
解析 由题意知f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意；
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，
∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
可知x＝ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0,1)．
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．小于或等于0
答案 B
解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根．
∴x0＋2＝－<0，即>0.
由题图知，f′(x)<0的解集为(x0,2)，
∴3a>0，则b>0，
∵f(1)＋f(－1)＝2b，
∴f(1)＋f(－1)>0.
6．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
答案 D
解析 若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，
∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符．故选D.
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋ax＋b，当x＝－1时，函数f(x)的极值为－，则f(2)＝________.
答案
解析 f′(x)＝x2＋2ax＋a.
由题意知f′(－1)＝0，f(－1)＝－，
即解得
所以f(x)＝x3＋x2＋x－.
所以f(2)＝.
8．已知函数f(x)＝x3－3ax＋b的递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f(x)的极大值是________．
答案 6
解析 依题意知，f(x)的递减区间为(－1,1)．
由f′(x)＝3x2－3a＝3(x－)(x＋)，
可得a＝1.由f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1处取得极小值2，可得1－3＋b＝2，故b＝4.
∴f(x)＝x3－3x＋4的极大值为f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6.
9．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的单调区间，并求极值．
解 (1)f′(x)＝2ax＋，
由题意，得即
∴a＝，b＝－1.
(2)由(1)得，
f′(x)＝x－＝＝.
又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
当x＝1时，f(x)有极小值，并且极小值为f(1)＝.无极大值．
10．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的极值．
解 由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1.
(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2≥0，
故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]．
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
从上表可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a－1，＋∞)，单调递减区间为(0，a－1)．
(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值．
当a>1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
11．设函数f(x)＝x3－4x＋a,0＜a＜2.若f(x)的三个零点分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则( )
A．x1＞－1 B．x2＞0 C．x2＜0 D．x3＞2
答案 B
解析 由f′(x)＝3x2－4＝0得x＝±，
f′(x)＝3x2－4＜0 －＜x＜；
f′(x)＝3x2－4＞0 x＜－或x＞，
所以f(x)在上单调递减，在，上单调递增．
所以f(x)的极大值点为x＝－，极小值点为x＝，函数y＝f(x)的图象如图所示，
故x1＜－＜－1，x2＞0，
由于f ＜0，f(2)＝a＞0，故x3＜2.
12．若函数f(x)＝x3－x2＋3a2x－3a2－在x＝3处取得极大值，则常数a的值为( )
A．3 B．2 C．3或2 D．－3或－2
答案 A
解析 ∵f(x)＝x3－x2＋3a2x－3a2－，
∴f′(x)＝2x2－5ax＋3a2，
由题意可得f′(3)＝2×9－15a＋3a2＝0，整理得a2－5a＋6＝0，解得a＝2或a＝3.
当a＝2时，f′(x)＝2x2－10x＋12＝2(x－2)(x－3)，
令f′(x)>0，得x<2或x>3；令f′(x)<0，得2此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极小值，不符合题意；
当a＝3时，f′(x)＝2x2－15x＋27＝(x－3)(2x－9).
令f′(x)>0，得x>或x<3；令f′(x)<0，得3此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，符合题意．
综上所述，a＝3.
13.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增；
②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．
其中正确的说法是________．(填序号)
答案 ①④
解析 从图象上可以发现，
当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，于是f′(x)>0，
故函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，①正确；
当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，于是f′(x)<0，
当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，于是f′(x)<0，
故函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减，②③错误；
由于f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．
14．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
答案 [1,5)
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根．
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.
∴应满足∴
∴1≤a<5.
15．已知函数y＝x3－3x＋c恰有两个零点，则c＝________.
答案 ±2
解析 y＝x3－3x＋c有两个零点，即方程x3－3x＋c＝0有两个根，
可转化为y＝x3－3x与y＝－c的图象有两个交点．
对于y＝x3－3x，令y′＝3x2－3＝0，得x＝±1.
由图象(图略)可知－c＝y极大值＝(－1)3－3×(－1)＝2或－c＝y极小值＝13－3×1＝－2.
∴c＝±2.
16．已知函数f(x)＝(k∈R)．
(1)k为何值时，函数f(x)无极值；
(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0.
解 (1)因为f(x)＝，
所以f′(x)＝.
要使f(x)无极值，只要f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立即可．
因为ex>0，所以f′(x)与g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k同号．
因为g(x)的二次项系数为－2，
所以只能满足g(x)≤0恒成立，令Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，解得k＝4，
所以当k＝4时，f(x)无极值．
(2)由(1)知k≠4，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.
①当<2，即k<4时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
令f ＝0，得2·2－k·＋k＝0，
解得k＝0，满足k<4.
②当>2，即k>4时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，2) 2
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
令f(2)＝0，可得2×22－2k＋k＝0，
解得k＝8，满足k>4.
综上，当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值0.(共62张PPT)
第1课时 函数的极值
第一章 6.2 函数的极值
1.理解函数的极大值和极小值的概念.
2.掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值.
学习目标
苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、函数极值的概念
二、求函数的极值点
三、求函数的极值
内容索引
一、函数极值的概念
问题 已知y＝f(x)，y＝g(x)的图象.
提示 f(x0)在(a，b)内最大.
(1)观察y＝f(x)的图象，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？
提示 不一定.
(2)函数值f(x0)在定义域内还是最大吗？
(3)对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？
提示 f(x)在(a，x0)上是增加的，导数大于零，在(x0，b)上是减少的，导数小于零.
提示 与y＝f(x)在(a，b)上的结论相反.
(4)函数y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？
知识梳理
1.函数极值的概念
(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在____________
处的函数值都 点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值.
(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在____________
处的函数值都 点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值.
任何不为x0的
一点
任何不为x0的
小于
一点
大于
(3)极值：极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为
.
2.函数的单调性与极值
(1)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内 ，在区间(x0，b)内 ，则x0是极大值点，f(x0)是极大值.
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内 ，在区间(x0，b)内 ，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.
极值
极值点
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
注意点：
(1)极值点不是点.
(2)极值是函数的局部性质.
(3)函数的极值不唯一.
(4)极大值与极小值两者的大小不确定.
(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.
(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
例1 函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增；
③函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增；
⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值.
则上述判断中正确的序号是______.
③⑤
解析 对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误；
对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确；
对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，
所以⑤正确.
反思感悟 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解析 由图象，设f′(x)与x轴负半轴的三个交点的横坐标分别为e，c，d，其中e所以此时函数f(x)在(－∞，c)，(d，b)上单调递增，
在(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在(c，d)上单调递减，
所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值.
则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.
二、求函数的极值点
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，f′(－1)＝f′(1)＝0，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
解 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由f′(－1)＝f′(1)＝0，
得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点？
当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减.
∴x＝1是函数的极小值点，x＝－1是函数的极大值点.
反思感悟 一般地，求函数y＝f(x)的极值点的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么x＝x0是极大值点.
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么x＝x0是极小值点.
跟踪训练2 求函数f(x)＝3x3－x＋1的极值点.
解 f′(x)＝9x2－1，
三、求函数的极值
例3 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；
解 f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴当x＝0时，f(x)有极小值且f(x)极小值＝0.
x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 － 0 ＋ 0 ＋
f(x) ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 极大值 ↘
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝ ，没有极小值.
反思感悟 求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
跟踪训练3 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝sin x－cos x＋x＋1(0解 由f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
当x＝π时，f(x)有极大值π＋2.
解 f′(x)＝2xe－x－x2e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
(2)f(x)＝x2e－x.
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 0 ↗ ↘
所以f(x)的极小值是f(0)＝0，极大值是f(2)＝ .
1.知识清单：
(1)函数极值的定义.
(2)函数极值的判定及求法.
2.方法归纳：数形结合思想、方程思想.
3.常见误区：
(1)忽视求定义域.
(2)导数值为零不是此点为极值点的充要条件.
课堂小结
随堂演练
解析 函数的定义域为(0，＋∞)，∵y′＝1＋ >0，
∴函数y＝x＋ln x无极值.
1.函数y＝x＋ln x的极值情况是
A.有极小值
B.有极大值
C.既有极大值又有极小值
D.无极值
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2.已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于
A.－4 B.－2 C.4 D.2
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解析 ∵f(x)＝x3－12x，
∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，
∴f(x)的极小值点为a＝2.
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3.设函数f(x)＝xex，则
A.x＝1为f(x)的极大值点 B.x＝1为f(x)的极小值点
C.x＝－1为f(x)的极大值点 D.x＝－1为f(x)的极小值点
√
解析 求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，
令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，
解得x＝－1，
易知x＝－1是函数f(x)的极小值点.
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4.若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则
A.x＝1是极小值点
B.x＝0是极小值点
C.x＝2是极小值点
D.函数f(x)在(1,2)上单调递增
√
解析 由图象得f(x)在(－∞，0)上是增加的，
在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，
∴x＝2是极小值点，故选C.
课时对点练
基础巩固
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1.(多选)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是
A.y＝x3 B.y＝x2＋1
C.y＝|x| D.y＝2x
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解析 y′＝3x2≥0恒成立，所以函数y＝x3在R上单调递增，无极值点，A不符合；
y′＝2x，当x>0时，函数y＝x2＋1单调递增，
当x<0时，函数y＝x2＋1单调递减，B符合；
结合该函数图象可知，函数y＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，
在(－∞，0]上单调递减，C符合；
函数y＝2x在R上单调递增，无极值点，D不符合.
16
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ －1.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，
当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
2.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为
A.－e B.－1 C.1－e D.0
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3.关于函数的极值，下列说法正确的是
A.导数为零的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值一定小于它的极大值
C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值
D.若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
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解析 对于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A不正确.
极小值也可能大于极大值，故B错误，C显然错误.
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4.已知函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)
A.无极大值点，有四个极小值点
B.有三个极大值点，两个极小值点
C.有两个极大值点，两个极小值点
D.有四个极大值点，无极小值点
√
解析 若f′(x)的符号在x0处由正变负，则f(x0)是极大值，
若f′(x)的符号在x0处由负变正，则f(x0)是极小值，
由题图易知f(x)有两个极大值点，两个极小值点.
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5.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是
A.在(1,2)上函数f(x)单调递增
B.在(3,4)上函数f(x)单调递减
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
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解析 根据导函数图象知，当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2,4)时，f′(x)<0，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0.
∴f(x)在(1,2)，(4,5)上单调递增，
在(2,4)上单调递减，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点.
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6.(多选)对于函数f(x)＝x3－3x2，下列命题正确的是
A.f(x)是增函数，无极值
B.f(x)是减函数，无极值
C.f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)
D.f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值
√
√
解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2或x＜0，
令f′(x)＜0，得0＜x＜2，
∴f(0)＝0为极大值，f(2)＝8－3×4＝－4为极小值.
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7.函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________.
解析 f′(x)＝3x2－6，
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8.已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是____.
1
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.
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解 y′＝x3－x2＝x2(x－1)，
由y′＝0得x1＝0，x2＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
y′ － 0 － 0 ＋
y ↘ 无极值 ↘ 极小值 ↗
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10.设函数f(x)＝aln x＋ ＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值；
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
解得a＝－1.
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(2)求函数f(x)的极值.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值.
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综合运用
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11.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为
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解析 f′(x)＝3x2－2px－q，
∴f′(x)＝3x2－4x＋1.
当x＝1时，f(x)有极小值0.
12.已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2a，若不等式f(x)>0的解集为{x|1A.1 B.2
C.0 D.不能判断
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解得a＝－1，即f(x)＝－x2＋3x－2.
于是y＝xf(x)＝－x3＋3x2－2x，
y′＝－3x2＋6x－2，
由Δ>0，得y′＝0有两个相异实根，
故函数y＝xf(x)有两个极值点.
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13.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是
√
解析 由f′(x)＝x2＋8x＋9＝0，可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8，
因为在等比数列中， ＝a3·a7且a5<0，所以a5＝－3.
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14.在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝ ＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝_____.
－3
拓广探究
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15.若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为
A.[－2,2]
B.(－2,2)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
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解析 ∵y＝3x－x3，
∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.
∵当x∈(－∞，－1)时，y′<0；
当x∈(－1,1)时，y′>0；
当x∈(1，＋∞)时，y′<0.
∴当x＝1时，y取极大值2，当x＝－1时，y取极小值－2.
∵直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同交点，
∴m的取值范围为－216.已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠ 时，求函数f(x)的单调区间与极值.
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解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠ ，得－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a> ，则－2a1
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x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)，单调递减区间为(－2a，a－2)，
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)·ea－2.
②若a< ，则－2a>a－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)，单调递减区间为(a－2，－2a)，
函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
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本课结束6．2 函数的极值
第1课时 函数的极值
学习目标 1.理解函数的极大值和极小值的概念.2.掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值．
导语
苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？
一、函数极值的概念
问题 已知y＝f(x)，y＝g(x)的图象．
(1)观察y＝f(x)的图象，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？
提示 f(x0)在(a，b)内最大．
(2)函数值f(x0)在定义域内还是最大吗？
提示 不一定．
(3)对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？
提示 f(x)在(a，x0)上是增加的，导数大于零，在(x0，b)上是减少的，导数小于零．
(4)函数y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？
提示 与y＝f(x)在(a，b)上的结论相反．
知识梳理
1．函数极值的概念
(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
2．函数的单调性与极值
(1)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递增，在区间(x0，b)内单调递减，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递减，在区间(x0，b)内单调递增，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．
注意点：
(1)极值点不是点．
(2)极值是函数的局部性质．
(3)函数的极值不唯一．
(4)极大值与极小值两者的大小不确定．
(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点．
(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点．
例1 函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增；
④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值；
⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的序号是________．
答案 ③⑤
解析 对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
对于②，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误；
对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确；
对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝－时，f 不是极大值，所以④错误；
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确．
反思感悟 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由图象，设f′(x)与x轴负半轴的三个交点的横坐标分别为e，c，d，其中e所以此时函数f(x)在(－∞，c)，(d，b)上单调递增，
在(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在(c，d)上单调递减，
所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值．
则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.
二、求函数的极值点
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，f′(－1)＝f′(1)＝0，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点？
解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由f′(－1)＝f′(1)＝0，
得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，
∴a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．
∴x＝1是函数的极小值点，x＝－1是函数的极大值点．
反思感悟 一般地，求函数y＝f(x)的极值点的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么x＝x0是极大值点．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么x＝x0是极小值点．
跟踪训练2 求函数f(x)＝3x3－x＋1的极值点．
解 f′(x)＝9x2－1，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝.
当x＜－时，f′(x)＞0，函数在上单调递增；当－＜x＜时，f′(x)＜0，函数在上单调递减，
所以x1＝－是函数的极大值点．
当－＜x＜时，f′(x)＜0，函数在上单调递减；当x＞时，f′(x)＞0，函数在上单调递增，
所以x2＝是函数的极小值点．
三、求函数的极值
例3 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；
(2)f(x)＝.
解 (1)f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 － 0 ＋ 0 ＋
f(x) ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗
∴当x＝0时，f(x)有极小值且f(x)极小值＝0.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ?↗ 极大值 ?↘
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
反思感悟 求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
跟踪训练3 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝sin x－cos x＋x＋1(0(2)f(x)＝x2e－x.
解 (1)由f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0知f′(x)＝cos x＋sin x＋1＝1＋sin，0令f′(x)＝0，从而sin＝－，
又0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，π) π
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ π＋2 ↘ ↗
因此，当x＝时，f(x)有极小值；当x＝π时，f(x)有极大值π＋2.
(2)f′(x)＝2xe－x－x2e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 0 ↗ ↘
所以f(x)的极小值是f(0)＝0，极大值是f(2)＝.
1.知识清单：
(1)函数极值的定义．
(2)函数极值的判定及求法．
2．方法归纳：数形结合思想、方程思想．
3．常见误区：
(1)忽视求定义域．
(2)导数值为零不是此点为极值点的充要条件．
1．函数y＝x＋ln x的极值情况是( )
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
答案 D
解析 函数的定义域为(0，＋∞)，∵y′＝1＋>0，∴函数y＝x＋ln x无极值．
2．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A．－4 B．－2 C．4 D．2
答案 D
解析 ∵f(x)＝x3－12x，
∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，
∴f(x)的极小值点为a＝2.
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
答案 D
解析 求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．
4．若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则( )
A．x＝1是极小值点
B．x＝0是极小值点
C．x＝2是极小值点
D．函数f(x)在(1,2)上单调递增
答案 C
解析 由图象得f(x)在(－∞，0)上是增加的，在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，∴x＝2是极小值点，故选C.
课时对点练
1．(多选)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
答案 BC
解析 y′＝3x2≥0恒成立，所以函数y＝x3在R上单调递增，无极值点，A不符合；y′＝2x，当x>0时，函数y＝x2＋1单调递增，当x<0时，函数y＝x2＋1单调递减，B符合；结合该函数图象可知，函数y＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，C符合；函数y＝2x在R上单调递增，无极值点，D不符合．
2．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( )
A．－e B．－1
C．1－e D．0
答案 B
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，
当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
3．关于函数的极值，下列说法正确的是( )
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
答案 D
解析 对于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A不正确．极小值也可能大于极大值，故B错误，C显然错误．
4.已知函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
答案 C
解析 若f′(x)的符号在x0处由正变负，则f(x0)是极大值，若f′(x)的符号在x0处由负变正，则f(x0)是极小值，由题图易知f(x)有两个极大值点，两个极小值点．
5.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A．在(1,2)上函数f(x)单调递增
B．在(3,4)上函数f(x)单调递减
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
答案 D
解析 根据导函数图象知，当x∈(1,2)时，f′(x)>0；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，当x∈(4,5)时，f′(x)>0.
∴f(x)在(1,2)，(4,5)上单调递增，在(2,4)上单调递减，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点．
6．(多选)对于函数f(x)＝x3－3x2，下列命题正确的是( )
A．f(x)是增函数，无极值
B．f(x)是减函数，无极值
C．f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)
D．f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值
答案 CD
解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2或x＜0，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，∴f(0)＝0为极大值，f(2)＝8－3×4＝－4为极小值．
7．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．
答案 a＋4 a－4
解析 f′(x)＝3x2－6，
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
所以f(x)极大值＝f(－)＝a＋4，
f(x)极小值＝f()＝a－4.
8．已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________．
答案 1
解析 ∵f′(x)＝2x－，且函数定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.
9．求函数y＝x4－x3的极值．
解 y′＝x3－x2＝x2(x－1)，
由y′＝0得x1＝0，x2＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
y′ － 0 － 0 ＋
y ?↘ 无极值 ↘ 极小值 ↗
所以极小值为f(1)＝－.
10．设函数f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解 (1)f′(x)＝－＋(x>0)．
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值．
11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为( )
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极小值为－，极大值为0
D．极大值为－，极小值为0
答案 A
解析 f′(x)＝3x2－2px－q，
由得
∴f′(x)＝3x2－4x＋1.
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，
易得当x＝时，f(x)有极大值；当x＝1时，f(x)有极小值0.
12．已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2a，若不等式f(x)>0的解集为{x|1A．1 B．2
C．0 D．不能判断
答案 B
解析 由题意知
解得a＝－1，即f(x)＝－x2＋3x－2.
于是y＝xf(x)＝－x3＋3x2－2x，
y′＝－3x2＋6x－2，
由Δ>0，得y′＝0有两个相异实根，
故函数y＝xf(x)有两个极值点．
13．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
答案 C
14．在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝________.
答案 －3
解析 由f′(x)＝x2＋8x＋9＝0，可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8，
因为在等比数列中，a＝a3·a7且a5<0，所以a5＝－3.
15．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为( )
A．[－2,2]
B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案 B
解析 ∵y＝3x－x3，
∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.
∵当x∈(－∞，－1)时，y′<0；当x∈(－1,1)时，y′>0；当x∈(1，＋∞)时，y′<0.
∴当x＝1时，y取极大值2，当x＝－1时，y取极小值－2.
∵直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同交点，
∴m的取值范围为－216．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．
解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠，得－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a>，则－2ax (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)，单调递减区间为(－2a，a－2)，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)·ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)，单调递减区间为(a－2，－2a)，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.(共68张PPT)
第2课时 含参函数的极值问题
第一章 6.2 函数的极值
1.进一步理解函数的导数与极值的关系.
2.掌握函数在某一点取得极值的条件.
3.能求简单的含参的函数的极值，能根据极值求参数的取值范围.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、求含参函数的极值
二、已知函数的极值求参数的值(或范围)
三、函数极值的综合问题
内容索引
一、求含参函数的极值
例1 已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值.
解 ∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，
则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
反思感悟 求含参函数极值的步骤与求不含参函数极值的步骤相同，但要注意有时需要对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 求函数f(x)＝x－aln x(a∈R)的极值.
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (0，a) a (a，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ a－aln a ↗
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，
且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
二、已知函数的极值求参数的值(或范围)
例2 若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝_____，b＝_____.
4
－11
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
但由于当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，
而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，
故a，b的值分别为4，－11.
反思感悟 已知函数极值求参数值的两点注意
(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ (m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)
在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围.
解 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示.
解得m>3.
故实数m的取值范围是(3，＋∞).
三、函数极值的综合问题
例3 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围.
解 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图.
解得－2故实数a的取值范围是(－2,2).
延伸探究
1.本例中，若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”，结果如何？
解 由已知应有2＋a<0或－2＋a>0.
即a>2或a<－2.
2.本例中，若把“三个不同实根”改为“恰有两个实根”，结果如何？
解 由条件可知，只要2＋a＝0或－2＋a＝0即可，
即a＝±2.
反思感悟 函数极值可应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点，求方程根的个数等问题时，往往先构造函数，利用极值，并结合图象来解决.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y
＝ ＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.
解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，
即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点.
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
极小值为g(4)＝－16－m.
1.知识清单：
(1)求含参函数的极值.
(2)已知函数的极值求参数的值或取值范围.
(3)极值的综合应用.
2.方法归纳：列表法、待定系数法，分类讨论思想.
3.常见误区：函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.
课堂小结
随堂演练
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′(－3)＝0，解得a＝5.
1.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a等于
A.2 B.3 C.4 D.5
√
1
2
3
4
2.若函数f(x)＝ 在x＝1处取得极值，则a＝____.
1
2
3
4
3
1
2
3
4
3.已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为____.
解析 y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝1，
经判断知x＝1是极大值点，故f(1)＝2＋m＝10，m＝8.
8
4.设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是____________.
1
2
3
4
(－∞，－1)
解析 因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
所以x＝ln(－a).
又因为函数有大于零的极值点，
所以－a>1，即a<－1.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1.若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极值，则
A.0C.b>0 D.b<
16
√
解析 f′(x)＝3x2－3b，∵f(x)在(0,1)内有极值，
∴f′(x)＝0在(0,1)内有解，
2.(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是
A.(－∞，2) B.(3，＋∞)
C.(2，＋∞) D.(－∞，3)
1
2
3
4
5
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解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，
∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，
由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.
3.函数f(x)＝ ＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是
A.a>1或a≤0 B.a>1
C.01或a<0
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解析 f(x)有极值的充要条件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，
即4a2－4a>0，解得a<0或a>1.
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4.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是
A.(－1,0) B.(0,1)
C.(－∞，－1) D.(1，＋∞)
√
解析 由题意知f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意；
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，
∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
可知x＝ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0,1).
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5.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定
A.等于0 B.大于0
C.小于0 D.小于或等于0
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解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根.
由题图知，f′(x)<0的解集为(x0,2)，
∴3a>0，则b>0，
∵f(1)＋f(－1)＝2b，
∴f(1)＋f(－1)>0.
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6.已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是
A.(－∞，－1) B.(0，＋∞)
C.(0,1) D.(－1,0)
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解析 若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，
∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1在(a，＋∞)上单调递减，f(x)在x＝a处取得极大值；
若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，
在(a，＋∞)上单调递增，f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符.
故选D.
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解析 f′(x)＝x2＋2ax＋a.
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8.已知函数f(x)＝x3－3ax＋b的递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f(x)的极大值是____.
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解析 依题意知，f(x)的递减区间为(－1,1).
可得a＝1.
由f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1处取得极小值2，
可得1－3＋b＝2，故b＝4.
∴f(x)＝x3－3x＋4的极大值为f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6.
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9.已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值
(1)求a，b的值；
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(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.
∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞).
当x＝1时，f(x)有极小值，并且极小值为f(1)＝ .无极大值.
又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
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10.设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间；
从上表可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a－1，＋∞)，单调递减区间为(0，a－1).
解 由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
当a＝1时，f′(x)＝6x2≥0，
故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)].
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1.
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(2)讨论f(x)的极值.
解 由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值.
当a>1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值1，
在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
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综合运用
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11.设函数f(x)＝x3－4x＋a,0＜a＜2.若f(x)的三个零点分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则
A.x1＞－1 B.x2＞0
C.x2＜0 D.x3＞2
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函数y＝f(x)的图象如图所示，
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A.3 B.2
C.3或2 D.－3或－2
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∴f′(x)＝2x2－5ax＋3a2，
由题意可得f′(3)＝2×9－15a＋3a2＝0，
整理得a2－5a＋6＝0，解得a＝2或a＝3.
当a＝2时，f′(x)＝2x2－10x＋12＝2(x－2)(x－3)，
令f′(x)>0，得x<2或x>3；
令f′(x)<0，得2此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极小值，不符合题意；
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当a＝3时，f′(x)＝2x2－15x＋27＝(x－3)(2x－9).
此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，符合题意.
综上所述，a＝3.
13.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增；
②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；
③函数f(x)在x＝－ 处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值.
其中正确的说法是______.(填序号)
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①④
解析 从图象上可以发现，
当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，于是f′(x)>0，
故函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，①正确；
当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，于是f′(x)<0，
当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，于是f′(x)<0，
故函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减，②③错误；
由于f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确.
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14.若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______.
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[1,5)
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根.
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝
∴1≤a<5.
拓广探究
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15.已知函数y＝x3－3x＋c恰有两个零点，则c＝_____.
解析 y＝x3－3x＋c有两个零点，即方程x3－3x＋c＝0有两个根，
可转化为y＝x3－3x与y＝－c的图象有两个交点.
对于y＝x3－3x，令y′＝3x2－3＝0，得x＝±1.
由图象(图略)可知－c＝y极大值＝(－1)3－3×(－1)＝2或－c＝y极小值＝13－3×1＝－2.
∴c＝±2.
±2
16.已知函数f(x)＝ (k∈R).
(1)k为何值时，函数f(x)无极值；
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要使f(x)无极值，只要f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立即可.
因为ex>0，所以f′(x)与g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k同号.
因为g(x)的二次项系数为－2，
所以只能满足g(x)≤0恒成立，
令Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，解得k＝4，
所以当k＝4时，f(x)无极值.
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(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0.
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解 由(1)知k≠4，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝ .
①当 <2，即k<4时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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解得k＝0，满足k<4.
②当 >2，即k>4时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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令f(2)＝0，可得2×22－2k＋k＝0，
解得k＝8，满足k>4.
综上，当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值0.
本课结束