6.3 函数的最值
第1课时 函数的最值
学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
导语
蹦床(Trampoline)是一项运动员利用从蹦床反弹中表现杂技技巧的竞技运动，它属于体操运动的一种，有“空中芭蕾”之称．近代蹦床起源于法国，2000年，蹦床被悉尼奥运会列为比赛项目．
蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中运动．为了测量运动员跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网所受的压力，并在计算机上作出压力－时间图象，根据图象可得到高度与时间的函数关系．设运动员在空中运动时可视为质点，那么如何来求运动员跃起的最大高度呢？
一、极值与最值的关系
问题 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
(1)观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？
提示 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
(2)结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
提示 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
(3)函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
提示 不一定，也可能是区间端点的函数值．
知识梳理
函数的最值点与最值
1．最值点
(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过f(x0)．
(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不小于f(x0)．
2．最值：函数的最大值与最小值统称为最值．
3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注意点：
(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值．
(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．
例1 如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．
解 由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f，f，极大值为f；比较极值和端点值可知函数的最小值是f，最大值在b处取得，最大值为f(b)．
反思感悟 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
跟踪训练1 设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点
D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
答案 C
解析 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确．
二、求函数的最值
例2 求下列函数在给定区间上的最值：
(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝sin 2x＋x，x∈.
解 (1)f′(x)＝6x2－6x－12，
令f′(x)＝0，则6x2－6x－12＝0，
即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.
∵f(－1)＝12，f(2)＝－15，f(－2)＝1，f(3)＝－4，
∴函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在x∈[－2,3]上的最大值为12，最小值为－15.
(2)f′(x)＝2cos 2x＋1，
令f′(x)＝0，又x∈，得x＝或x＝－.
∵f ＝＋，f ＝－－，
又f ＝，f ＝－，
∴f(x)max＝＋，f(x)min＝－－.
反思感悟 求函数在给定区间上的最值的注意事项
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
跟踪训练2 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，3]；
(2)f(x)＝x2－(x＜0)．
解 (1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x － (－，－1) －1 (－1,1) 1 (1,3) 3
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ －18
所以x＝1和x＝－1是函数在[－，3]上的两个极值点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.
又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－)＝0，f(3)＝－18，
所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.
(2)f′(x)＝2x＋.
令f′(x)＝0，得x＝－3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,0)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，
故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．
三、利用最值证明不等式
例3 已知函数f(x)＝ex－e(ln x＋1)，求证：f(x)≥0恒成立．
证明 由题意知f′(x)＝ex－＝，
设F(x)＝xex－e，则F(x)在上单调递增，且F(1)＝0.
当x∈时，F(x)<0，∴f′(x)＝<0，f(x)单调递减，当x∈时，F(x)>0，∴f′(x)＝>0，f(x)单调递增．
f(x)的最小值为f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)≥0恒成立．
反思感悟 证明不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2＋ln x．求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
证明 设F(x)＝g(x)－f(x)，
即F(x)＝x3－x2－ln x，
则F′(x)＝2x2－x－＝.
当x>1时，F′(x)＝>0，
从而F(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴F(x)>F(1)＝>0.
∴当x>1时，g(x)－f(x)>0，即f(x)
故在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
1.知识清单：
(1)函数最值的定义．
(2)求函数的最值．
(3)函数最值的应用．
2．方法归纳：转化化归、分类讨论．
3．常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系．
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
答案 D
解析 函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
答案 C
解析 y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，
则函数在区间上单调递增，
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19
答案 C
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1或1(舍去)．
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1 [－3,0]．
所以最大值为3，最小值为－17.
4．函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________．
答案 －
解析 f(x)＝(x＋1)ex f′(x)＝(x＋2)ex，
当x>－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
因此当x＝－2时，函数有最小值，最小值为f(－2)＝(－2＋1)e－2＝－.
课时对点练
1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0 B．小于0 C．等于1 D．不确定
答案 A
解析 因为M＝m，
所以f(x)为常函数，
故f′(x)＝0，故选A.
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值
D．既无最大值，也无最小值
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝±1.
又x∈(－1,1)且±1 (－1,1)，
∴该方程无解，
故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值，故选D.
3．如图所示，函数f(x)的导函数的图象是一条直线，则( )
A．函数f(x)没有最大值，也没有最小值
B．函数f(x)有最大值，没有最小值
C．函数f(x)没有最大值，有最小值
D．函数f(x)有最大值，也有最小值
答案 C
解析 由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值．
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为( )
A．16 B．12 C．32 D．6
答案 C
解析 因为函数f(x)＝x3－12x＋8，
所以f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)>0，解得x>2或x<－2；
令f′(x)<0，解得－2故函数在[－2,2]上单调递减，在[－3，－2)，(2,3]上单调递增，
又f(2)＝－8，f(－2)＝24，f(－3)＝17，f(3)＝－1，
所以函数在x＝2时取到最小值－8，
在x＝－2时取到最大值24.
即M＝24，m＝－8，所以M－m＝32.
5．函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为( )
A．4e－1 B．1
C．e2 D．3e2
答案 C
解析 f′(x)＝xex＋1(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.
当f′(x)>0时，x<－2或x>0；
当f′(x)<0时，－2当x＝－2时，f(－2)＝；当x＝0时，f(0)＝0；
当x＝1时，f(1)＝e2，所以函数的最大值为e2.
6．(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A．f(x)>0的解集是{x|0B．f(－)是极小值，f()是极大值
C．f(x)没有最小值，也没有最大值
D．f(x)有最大值无最小值
答案 ABD
解析 由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±，
当x<－或x>时，f′(x)<0，
当－0，
∴当x＝－时，f(x)取得极小值，
当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确．
当x→－∞时，f(x)→0，
当x→＋∞时，f(x)→－∞，
且f()>0，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，
故C不正确，D正确．
7．函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是______．
答案 e－1
解析 由题意得f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.
当x∈[－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0,1]时，f′(x)>0.
所以f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增．
又因为f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，
所以f(－1)－f(1)＝2＋－e<0，
所以f(－1)8．函数f(x)＝(x∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________．
答案 2 －2
解析 f′(x)＝
＝＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
由f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝，
∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
9．(1)求函数f(x)＝x3－x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；
(2)求函数f(x)＝x＋sin x在区间[0,2π]上的最大值与最小值．
解 (1)因为f(x)＝x3－x2－2x＋5，
所以f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝1.
因为f ＝，f(1)＝，f(－2)＝－1，f(2)＝7，
所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.
(2)因为f(x)＝x＋sin x，
所以f′(x)＝＋cos x，
令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝.
因为f(0)＝0，f ＝＋，f ＝－，
f(2π)＝π，
所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.
10．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值．
解 (1)f′(x)＝－2bx(x>0)．
由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
得即解得
(2)由(1)，得f(x)＝ln x－x2，定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－x＝.
令f′(x)>0，得01，
所以f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－.
11．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
答案 A
解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，
∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．
12．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )
A．20 B．18 C．3 D．0
答案 A
解析 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，在[1,2]和[－3，－1]上单调递增．f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A.
13．已知函数f(x)＝ln x－ax，其中x∈，若不等式f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 当x∈时，不等式f(x)≤0恒成立等价于a≥在上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝.
当10；当x>e时，g′(x)<0；
所以g(x)max＝g(e)＝，所以a≥.
故选C.
14．已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，e2－2) B．(－∞，e2－2]
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
答案 B
解析 由题意可知，存在x∈[1，e]，使得m≤f(x)，则m≤f(x)max.
∵f(x)＝x2－2ln x，
∴f′(x)＝2x－＝＝，
当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，
∴函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，
则f(x)max＝f(e)＝e2－2，∴m≤e2－2，
因此实数m的取值范围是(－∞，e2－2]．
15．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－x－e－x，若对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，则( )
A．K的最大值为2
B．K的最小值为2
C．K的最大值为1
D．K的最小值为1
答案 D
解析 由题意知，即有f(x)≤K恒成立，
又f′(x)＝e－x－1，
所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0.
所以当x＝0时，f(x)max＝1，所以K≥1.
16．已知f(x)＝xln x.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
(1)解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x＋1.
当x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当0所以函数f(x)的最小值为f ＝－.
(2)证明 问题等价于证明xln x>－.
由(1)可知f(x)＝xln x的最小值是－，当且仅当x＝时取到．
设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
则m′(x)＝，
易知m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到，
所以xln x>－.
从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．(共76张PPT)
第2课时 含参函数的最值
第二章 6.3 函数的最值
1.能利用导数求简单的含参函数的最值问题.
2.能根据最值求参数的值或取值范围.
3.初步探究有关探索性的问题.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、求含参数的函数的最值
二、由最值求参数的值或范围
三、与最值有关的探究性问题
内容索引
一、求含参数的函数的最值
例1 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值.
解 f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝－ ，x2＝a.
①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增.
所以f(x)min＝f(a)＝－a3.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(0)＝0.
综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f(x)的最小值为0；
延伸探究 当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a,2a]上的最值.
解 f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令f′(x)＝0，得x1＝－ ，x2＝a.
f(2a)＝2a3.
所以f(x)max＝f(2a)＝2a3.
f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.
反思感悟 含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题.
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的极值；
解 由f(x)＝(x－k)ex，可得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1，
随x的变化，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ －ek－1 ↗
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；
单调递增区间是(k－1，＋∞).
所以f(x)有极小值f(k－1)＝－ek－1，无极大值.
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
解 当k－1≤0，即k≤1时，f′(x)＝(x－k＋1)ex≥0在x∈[0，1]上恒成立，
则函数f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上，当k≤1时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为－k；
当1当k≥2时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为(1－k)e.
二、由最值求参数的值或范围
例2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾.
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
①当a>0，且当x变化时，
f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ 0 －
f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，
∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，
解得a＝2，符合题意.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，
解得a＝－2，符合题意.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
延伸探究 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围.
解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ↗ 28 ↘ －4 ↗
∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；
当x＝1时，h(x)取极小值－4.
而h(2)＝3∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.
∴k的取值范围为(－∞，－3].
反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝4x＋ (x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值.
三、与最值有关的探究性问题
解 当a＝1时，f(x)＝x－ln x，
例3 已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
即x－2y＋2－2ln 2＝0.
(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解 假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x在区间(0，e]上的最小值是3，
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，
故f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，
所以此时不存在符合题意的实数a；
解得a＝e2，满足条件；
故f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，
所以此时不存在符合题意的实数a.
综上，存在实数a＝e2，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3.
反思感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
当a＝0时，f′(x)＝6x2≥0恒成立，函数f(x)在R上单调递增；
综上所述，当a＝0时，函数f(x)在R上单调递增；
(2)是否存在a，使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由.
解 存在，理由如下：
由(1)可得，当a≤0时，函数f(x)在[0,1]上单调递增.
则最小值为f(0)＝1，不符合题意；
f(x)的最大值为f(0)＝1，最小值为f(1)＝2－a＋1＝－1，
解得a＝4，满足题意；
综上可得，a的值为4.
1.知识清单：
(1)求含参的函数的最值.
(2)由最值求参数的值或取值范围.
(3)与最值有关的探究性问题.
2.方法归纳：转化法、分类讨论.
3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏.
课堂小结
随堂演练
解析 由题意得，f′(x)＝3ax2，则f′(1)＝3a＝6，解得a＝2，
所以f′(x)＝6x2≥0，
故f(x)在[1,2]上单调递增，则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4.
1.已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为
A.1 B.4 C.－1 D.0
√
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2.函数f(x)＝ 的最大值为
A.a B. (a－1)e C.e1－a D.ea－1
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√
所以当x<1－a时，f′(x)>0，当x>1－a时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，1－a)上单调递增，在(1－a，＋∞)上单调递减，
所以f(x)max＝f(1－a)＝ea－1.
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√
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当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)＝ ，不符合题意.
当01
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所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值3.
4.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为_____，f(x)在[－2,2]上的最大值为_____.
3 3
解析 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0
f(x) －40＋a ↗ 极大值a ↘ －8＋a
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课时对点练
基础巩固
√
又f′(x)＝acos x＋cos 3x，
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解析 y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，易知当－1当－20，
所以函数y＝x3＋ ＋m在(－2，－1)，(0,1)上单调递增，在(－1,0)上单
调递减，
又当x＝－1时，y＝m＋ ，
当x＝1时，y＝m＋ ，所以最大值为m＋ ，解得m＝2.
3.函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为
A.[1， ] B.[1，＋∞)
C.(1， ] D.(1，＋∞)
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解析 ∵f(x)＝3x－x3，
∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，
令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.
∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f( )＝0，f(1)＝2，
∴1≤m≤ .
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4.已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a的值为
A.1 B.2 C.e D.
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∴当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值；
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5.已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是
A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1)
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]
√
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解析 f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)min＝f(0)＝1＋a.
若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，故选A.
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6.(多选)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的值可以为
√
√
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a，
且f′(x)＝0有解，∴a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴01
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7.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为______.
－71
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
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8.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为______.
－4
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.
即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.
f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在[－1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
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9.已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.
解 f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a).
①若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.
②若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝± .
因为x∈[0,1]，所以只考虑x＝ 的情况.
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则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，
当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，
当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
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10.已知函数f(x)＝2ex(x＋1).
(1)求函数f(x)的极值；
解 f′(x)＝2ex(x＋2)，
由f′(x)>0，得x>－2；
由f′(x)<0，得x<－2.
∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.
∴f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值.
(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>－3)上的最小值g(t).
解 由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.
∵t>－3，∴t＋1>－2.
①当－3∴g(t)＝f(－2)＝－2e－2.
②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
∴g(t)＝f(t)＝2et(t＋1).
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综合运用
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解析 ∵2xln x＋x2－mx＋3≥0，
当10，h(x)单调递增.
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∴m≤h(x)max，
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解析 由题意可得，存在实数x0≠0，使得f(－x0)＝f(x0)成立，
假设x0>0，则－x0<0，
所以有－kx0＝ln x0，
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令h′(x)>0，即ln x>1，解得x>e，
令h′(x)<0，即ln x<1，解得0则h(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
14.已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ ，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为____.
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解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
解得a＝1.
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拓广探究
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15.设函数f(x)＝ax3－3x＋1(a>1)，若对于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为_____.
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解析 由题意得，f′(x)＝3ax2－3，当a>1时，令f′(x)＝3ax2－3＝0，
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由f(－1)≥0，可得a≤4，
综上可得a＝4.
∵a<0，
∴f′(x)>0，
故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.
16.已知函数f(x)＝ln x＋
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
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解 函数f(x)＝ln x＋ 的定义域为(0，＋∞)，
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解 当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a≤1，
②当1在(a，e]上有f′(x)>0，f(x)单调递增，
③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，
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本课结束第2课时 含参函数的最值
学习目标 1.能利用导数求简单的含参函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题．
一、求含参数的函数的最值
例1 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
解 f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(a)＝－a3.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0.
③当a<0时，f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
所以f(x)min＝f ＝a3.
综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f(x)的最小值为0；
当a<0时，f(x)的最小值为a3.
延伸探究 当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a,2a]上的最值．
解 f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在[a,2a]上单调递增．
因为f(－a)＝－a3，f ＝a3，f(a)＝－a3，
f(2a)＝2a3.
所以f(x)max＝f(2a)＝2a3.
f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.
反思感悟 含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的极值；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
解 (1)由f(x)＝(x－k)ex，可得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1，
随x的变化，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ －ek－1 ↗
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).
所以f(x)有极小值f(k－1)＝－ek－1，无极大值．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，f′(x)＝(x－k＋1)ex≥0在x∈[0，1]上恒成立，
则函数f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上，当k≤1时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为－k；
当1当k≥2时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为(1－k)e.
二、由最值求参数的值或范围
例2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，且当x变化时，
f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ 0 －
f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，
∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，
解得a＝2，符合题意．
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，
解得a＝－2，符合题意．
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
延伸探究 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．
解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ↗ 28 ↘ －4 ↗
∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；
当x＝1时，h(x)取极小值－4.
而h(2)＝3∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.
∴k的取值范围为(－∞，－3]．
反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
解 由题意知f′(x)＝4－＝.
又x>0，a>0，令f′(x)＝0，得x＝，
当0时，f′(x)>0.
故f(x)在上单调递减，在上单调递增，即当x＝时，f(x)取得最小值，
则＝3，解得a＝36.
三、与最值有关的探究性问题
例3 已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x，
f′(x)＝1－＝，
∴所求切线的斜率为f′(2)＝，切点为(2,2－ln 2)，
∴所求切线的方程为y－(2－ln 2)＝(x－2)，
即x－2y＋2－2ln 2＝0.
(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x在区间(0，e]上的最小值是3，
f′(x)＝a－＝.
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，故f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，解得a＝(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a；
②当0<时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)min＝f ＝1＋ln a＝3，解得a＝e2，满足条件；
③当≥e，即0综上，存在实数a＝e2，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3.
反思感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由．
解 (1)f′(x)＝6x2－2ax＝6x.
令f′(x)＝6x＝0，解得x＝0或x＝.
当a＝0时，f′(x)＝6x2≥0恒成立，函数f(x)在R上单调递增；
当a>0时，令f′(x)>0，得x>或x<0，令f′(x)<0，得0即函数f(x)在(－∞，0)和上单调递增，在上单调递减；
当a<0时，令f′(x)>0，得x>0或x<，令f′(x)<0，得即函数f(x)在和(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当a＝0时，函数f(x)在R上单调递增；
当a>0时，函数f(x)在(－∞，0)和上单调递增，在上单调递减；
当a<0时，函数f(x)在和(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
(2)存在，理由如下：
由(1)可得，当a≤0时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．
则最小值为f(0)＝1，不符合题意；
当a>0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增；
当≥1，即a≥3时，函数f(x)在上单调递减，
f(x)的最大值为f(0)＝1，最小值为f(1)＝2－a＋1＝－1，
解得a＝4，满足题意；
当0<<1，即0f(x)的最小值为f ＝2×3－a×2＋1＝－1，
化为－＝－2，解得a＝3>3，不符合题意．
综上可得，a的值为4.
1.知识清单：
(1)求含参的函数的最值．
(2)由最值求参数的值或取值范围．
(3)与最值有关的探究性问题．
2．方法归纳：转化法、分类讨论．
3．常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏．
1．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为( )
A．1 B．4 C．－1 D．0
答案 B
解析 由题意得，f′(x)＝3ax2，则f′(1)＝3a＝6，解得a＝2，
所以f′(x)＝6x2≥0，
故f(x)在[1,2]上单调递增，则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4.
2．函数f(x)＝的最大值为( )
A．a B.e C．e1－a D．ea－1
答案 D
解析 f(x)＝，则f′(x)＝，
所以当x<1－a时，f′(x)>0，当x>1－a时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，1－a)上单调递增，在(1－a，＋∞)上单调递减，
所以f(x)max＝f＝ea－1.
3．已知函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为( )
A.－1 B. C. D.＋1
答案 A
解析 由f(x)＝，
得f′(x)＝，
当a>1时，若x>，则f′(x)<0，f(x)单调递减，
若10，f(x)单调递增，
故当x＝时，函数f(x)有最大值＝，
解得a＝<1，不符合题意．
当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)＝，不符合题意．
当0故a的值为－1.
4．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为________，f(x)在[－2,2]上的最大值为________．
答案 3 3
解析 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0
f(x) －40＋a ↗ 极大值a ↘ －8＋a
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值3.
课时对点练
1．若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a等于( )
A．2 B．1 C. D．0
答案 A
解析 ∵f(x)在x＝处有最值，
∴x＝是函数f(x)的极值点．
又f′(x)＝acos x＋cos 3x，
∴f′＝acos ＋cos π＝0，解得a＝2.
2．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m等于( )
A．0 B．1 C．2 D.
答案 C
解析 y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，易知当－10，
所以函数y＝x3＋x2＋m在(－2，－1)，(0,1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减，又当x＝－1时，y＝m＋，当x＝1时，y＝m＋，所以最大值为m＋＝，解得m＝2.
3．函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为( )
A．[1，] B．[1，＋∞)
C．(1，] D．(1，＋∞)
答案 A
解析 ∵f(x)＝3x－x3，
∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，
令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f()＝0，f(1)＝2，
∴1≤m≤.
4．已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a的值为( )
A．1 B．2 C．e D.
答案 D
解析 ∵f′(x)＝－a，x>0，
∴当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
∴当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
∴f(x)max＝f ＝ln －1＝0，
解得a＝.
5．已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
答案 A
解析 f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(0)＝1＋a.
若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，故选A.
6．(多选)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的值可以为( )
A．0 B. C. D．1
答案 BC
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a，
且f′(x)＝0有解，∴a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴07．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．
答案 －71
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．
答案 －4
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.
即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.
f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在[－1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
9．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
解 f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
①若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.
②若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
因为x∈[0,1]，
所以只考虑x＝的情况．
(ⅰ)若0<<1，即0x 0 (0，) (，1) 1
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 0 ↗ 2a ↘ 3a－1
(ⅱ)若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，
当0当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
10．已知函数f(x)＝2ex(x＋1)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>－3)上的最小值g(t)．
解 (1)f′(x)＝2ex(x＋2)，
由f′(x)>0，得x>－2；由f′(x)<0，得x<－2.
∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减．
∴f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值．
(2)由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减．
∵t>－3，∴t＋1>－2.
①当－3∴g(t)＝f(－2)＝－2e－2.
②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
∴g(t)＝f(t)＝2et(t＋1)．
∴g(t)＝
11．若存在x∈，使得不等式2xln x＋x2－mx＋3≥0成立，则实数m的最大值为( )
A.＋3e－2 B.＋e＋2
C．4 D．e2－1
答案 A
解析 ∵2xln x＋x2－mx＋3≥0，
∴m≤2ln x＋x＋，
设h(x)＝2ln x＋x＋，
则h′(x)＝＋1－＝，
当≤x<1时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当10，h(x)单调递增．
∵存在x∈，m≤2ln x＋x＋成立，
∴m≤h(x)max，
∵h＝－2＋＋3e，h＝2＋e＋，
∴h>h.
∴m≤＋3e－2.
12．已知函数f(x)＝sin－－mx在上单调递减，则实数m的最小值是( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 由f(x)＝sin－－mx在上单调递减，
得f′(x)＝2cos－x－m≤0，
即2cos－x≤m，
令g(x)＝2cos－x，
则g′(x)＝－4sin－1，
当x∈时，≤2x＋≤，
则2≤4sin≤4，
所以－5≤－4sin－1≤－3，即g′(x)<0，
所以g(x)在x∈上单调递减，g(x)max＝g(0)＝，
所以m≥，m的最小值为.
13．已知函数f(x)＝若 x0∈R使得f(－x0)＝f(x0)成立，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可得，存在实数x0≠0，使得f(－x0)＝f(x0)成立，
假设x0>0，则－x0<0，
所以有－kx0＝ln x0，
则k＝－，
令h(x)＝－，
则h′(x)＝，
令h′(x)>0，即ln x>1，解得x>e，
令h′(x)<0，即ln x<1，解得0则h(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(x)min＝h＝－＝－，
所以k≥－.
14．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为________．
答案 1
解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当00；
当∴f(x)max＝f ＝－ln a－1＝－1.
解得a＝1.
15．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(a>1)，若对于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________________________________________________________________________．
答案 4
解析 由题意得，f′(x)＝3ax2－3，当a>1时，令f′(x)＝3ax2－3＝0，解得x＝±，±∈[－1,1]．
①当－1≤x<－时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
②当－③当0，f(x)单调递增．
所以只需f ≥0，且f(－1)≥0即可，
由f ≥0，得a·3－3·＋1≥0，解得a≥4，
由f(－1)≥0，可得a≤4，综上可得a＝4.
16．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
解 函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，
∴f′(x)>0，
故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当10，f(x)单调递增，
∴函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝；
③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋≥2，与最小值是相矛盾．
综上所述，a的值为.(共59张PPT)
第1课时 函数的最值
第二章 6.3 函数的最值
1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.
学习目标
蹦床(Trampoline)是一项运动员利用从蹦床反弹中表现杂技技巧的竞技运动，它属于体操运动的一种，有“空中芭蕾”之称.近代蹦床起源于法国，2000年，蹦床被悉尼奥运会列为比赛项目.
蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中运动.为了测量运动员跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网所受的压力，并在计算机上作出压力－时间图象，根据图象可得到高度与时间的函数关系.
设运动员在空中运动时可视为质点，那
么如何来求运动员跃起的最大高度呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、极值与最值的关系
二、求函数的最值
三、利用最值证明不等式
内容索引
一、极值与最值的关系
问题 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象.
(1)观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它
的极大值、极小值吗？
提示 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).
(2)结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
提示 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).
(3)函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
提示 不一定，也可能是区间端点的函数值.
知识梳理
函数的最值点与最值
1.最值点
(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都 f(x0).
(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都 f(x0).
2.最值：函数的 与 统称为最值.
不超过
最大值 最小值
不小于
3.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ；
(2)将函数y＝f(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .
极值
各极值 端点
最大值
最小值
注意点：
(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值.
(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件.
例1 如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.
解 由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，
所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；
比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b).
反思感悟 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
跟踪训练1 设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是
A.f(x)的极值点一定是最值点
B.f(x)的最值点一定是极值点
C.f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点
D.f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
√
解析 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点.
可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，
若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确.
二、求函数的最值
例2 求下列函数在给定区间上的最值：
(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,3]；
解 f′(x)＝6x2－6x－12，
令f′(x)＝0，则6x2－6x－12＝0，
即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.
∵f(－1)＝12，f(2)＝－15，f(－2)＝1，f(3)＝－4，
∴函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在x∈[－2,3]上的最大值为12，最小值为－15.
解 f′(x)＝2cos 2x＋1，
反思感悟 求函数在给定区间上的最值的注意事项
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.
跟踪训练2 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－ ，3]；
解 f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x).
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x ( ，－1) －1 (－1,1) 1 (1,3) 3
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ －18
所以x＝1和x＝－1是函数在[ ，3]上的两个极值点，且f(1)＝2，
f(－1)＝－2.
又因为f(x)在区间端点处的取值为f( )＝0，f(3)＝－18，
所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.
令f′(x)＝0，得x＝－3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,0)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，
故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值.
三、利用最值证明不等式
例3 已知函数f(x)＝ex－e(ln x＋1)，求证：f(x)≥0恒成立.
设F(x)＝xex－e(x>0)，则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且F(1)＝0.
当x∈(0，1)时，F(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，F(x)>0，
f(x)的最小值为f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)≥0恒成立.
反思感悟 证明不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果.
∴当x>1时，g(x)－f(x)>0，即f(x)故在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝ 的图象的下方.
证明 设F(x)＝g(x)－f(x)，
从而F(x)在(1，＋∞)上单调递增，
1.知识清单：
(1)函数最值的定义.
(2)求函数的最值.
(3)函数最值的应用.
2.方法归纳：转化化归、分类讨论.
3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系.
课堂小结
随堂演练
解析 函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值.
1.下列结论正确的是
A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
√
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√
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
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3.函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是
A.1，－1 B.1，－17
C.3，－17 D.9，－19
√
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1或1(舍去).
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1 [－3,0].
所以最大值为3，最小值为－17.
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4.函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是_____.
解析 f(x)＝(x＋1)ex f′(x)＝(x＋2)ex，
当x>－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
因此当x＝－2时，函数有最小值，最小值为f(－2)＝(－2＋1)e－2＝
课时对点练
基础巩固
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1.设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)
A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定
16
√
解析 因为M＝m，
所以f(x)为常函数，
故f′(x)＝0，故选A.
2.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)
A.有最大值，无最小值 B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，有最小值 D.既无最大值，也无最小值
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解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1).
令f′(x)＝0，得x＝±1.
又x∈(－1,1)且±1 (－1,1)，
∴该方程无解，
故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值，故选D.
3.如图所示，函数f(x)的导函数的图象是一条直线，则
A.函数f(x)没有最大值，也没有最小值
B.函数f(x)有最大值，没有最小值
C.函数f(x)没有最大值，有最小值
D.函数f(x)有最大值，也有最小值
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解析 由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值.
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4.已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为
A.16 B.12 C.32 D.6
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解析 因为函数f(x)＝x3－12x＋8，
所以f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)>0，解得x>2或x<－2；
令f′(x)<0，解得－2故函数在[－2,2]上单调递减，在[－3，－2)，(2,3]上单调递增，
又f(2)＝－8，f(－2)＝24，f(－3)＝17，f(3)＝－1，
所以函数在x＝2时取到最小值－8，
在x＝－2时取到最大值24.
即M＝24，m＝－8，所以M－m＝32.
解析 f′(x)＝xex＋1(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.
当f′(x)>0时，x<－2或x>0；
当f′(x)<0时，－2当x＝－2时，f(－2)＝ ；
当x＝0时，f(0)＝0；
当x＝1时，f(1)＝e2，所以函数的最大值为e2.
5.函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为
A.4e－1 B.1 C.e2 D.3e2
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6.(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是
A.f(x)>0的解集是{x|0√
C.f(x)没有最小值，也没有最大值
D.f(x)有最大值无最小值
√
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解析 由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
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当x→－∞时，f(x)→0，
当x→＋∞时，f(x)→－∞，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，
故C不正确，D正确.
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7.函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是______.
e－1
解析 由题意得f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.
当x∈[－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0,1]时，f′(x)>0.
所以f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增.
所以f(－1)1
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8.函数f(x)＝ (x∈[－2,2])的最大值是_____，最小值是_____.
2
－2
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
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9.(1)求函数f(x)＝x3－ －2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；
所以f′(x)＝3x2－x－2.
所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.
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(2)求函数f(x)＝ ＋sin x在区间[0,2π]上的最大值与最小值.
所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.
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10.已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线
y＝－ 相切.
(1)求a，b的值；
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令f′(x)>0，得01，
解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，
∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).
综合运用
11.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b)
C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a)
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12.已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是
A.20 B.18 C.3 D.0
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解析 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，
所以f(x)在[－1,1]上单调递减，在[1,2]和[－3，－1]上单调递增.
f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，
所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，
又由题设知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，
所以t≥20，故选A.
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13.已知函数f(x)＝ln x－ax，其中x∈[1，＋∞)，若不等式f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为
√
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解析 当x∈[1，＋∞)时，不等式f(x)≤0恒成立等价于a≥ 在[1，＋∞)上恒成立，
当10；
当x>e时，g′(x)<0；
故选C.
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14.已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是
A.(－∞，e2－2) B.(－∞，e2－2]
C.(－∞，1] D.(－∞，1)
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解析 由题意可知，存在x∈[1，e]，使得m≤f(x)，则m≤f(x)max.
∵f(x)＝x2－2ln x，
当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，
∴函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，
则f(x)max＝f(e)＝e2－2，∴m≤e2－2，
因此实数m的取值范围是(－∞，e2－2].
拓广探究
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15.设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函
数fK(x)＝ 取函数f(x)＝2－x－e－x，若对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，则
A.K的最大值为2 B.K的最小值为2
C.K的最大值为1 D.K的最小值为1
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解析 由题意知，即有f(x)≤K恒成立，
又f′(x)＝e－x－1，
所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0.
所以当x＝0时，f(x)max＝1，所以K≥1.
16.已知f(x)＝xln x.
(1)求函数f(x)的最小值；
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x＋1.
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