2.6.3函数的最值 2课时 课件(59张PPT+76张PPT)+学案(有答案) (4份打包)

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名称 2.6.3函数的最值 2课时 课件(59张PPT+76张PPT)+学案(有答案) (4份打包)
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资源类型 教案
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-04-23 14:32:55

文档简介

6.3 函数的最值
第1课时 函数的最值
学习目标 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.
导语
蹦床(Trampoline)是一项运动员利用从蹦床反弹中表现杂技技巧的竞技运动,它属于体操运动的一种,有“空中芭蕾”之称.近代蹦床起源于法国,2000年,蹦床被悉尼奥运会列为比赛项目.
蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中运动.为了测量运动员跃起的高度,训练时可在弹性网上安装压力传感器,利用传感器记录弹性网所受的压力,并在计算机上作出压力-时间图象,根据图象可得到高度与时间的函数关系.设运动员在空中运动时可视为质点,那么如何来求运动员跃起的最大高度呢?
一、极值与最值的关系
问题 如图为y=f(x),x∈[a,b]的图象.
(1)观察[a,b]上函数y=f(x)的图象,你能找出它的极大值、极小值吗?
提示 极大值为f(x1),f(x3),极小值为f(x2),f(x4).
(2)结合图象判断,函数y=f(x)在区间[a,b]上是否存在最大值,最小值?若存在,分别为多少?
提示 存在,f(x)min=f(a),f(x)max=f(x3).
(3)函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值一定是某极值吗?
提示 不一定,也可能是区间端点的函数值.
知识梳理
函数的最值点与最值
1.最值点
(1)最大值点:函数y=f(x)在区间[a,b]内的最大值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过f(x0).
(2)最小值点:函数y=f(x)在区间[a,b]内的最小值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不小于f(x0).
2.最值:函数的最大值与最小值统称为最值.
3.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
注意点:
(1)开区间不一定有最值,闭区间上的连续函数一定有最值.
(2)函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值的充分不必要条件.
例1 如图是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.
解 由题图可知,y=f(x)在x1,x3处取得极小值,在x2处取得极大值,所以极小值为f,f,极大值为f;比较极值和端点值可知函数的最小值是f,最大值在b处取得,最大值为f(b).
反思感悟 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言.
(2)在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点,而最值点可以是区间的端点.
(4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
跟踪训练1 设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是(  )
A.f(x)的极值点一定是最值点
B.f(x)的最值点一定是极值点
C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点
D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点
答案 C
解析 根据函数的极值与最值的概念知,f(x)的极值点不一定是最值点,f(x)的最值点不一定是极值点.可能是区间的端点,连续可导函数在闭区间上一定有最值,所以选项A,B,D都不正确,若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则函数f(x)在区间[a,b]上没有极值点,所以C正确.
二、求函数的最值
例2 求下列函数在给定区间上的最值:
(1)f(x)=2x3-3x2-12x+5,x∈[-2,3];
(2)f(x)=sin 2x+x,x∈.
解 (1)f′(x)=6x2-6x-12,
令f′(x)=0,则6x2-6x-12=0,
即x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2.
∵f(-1)=12,f(2)=-15,f(-2)=1,f(3)=-4,
∴函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在x∈[-2,3]上的最大值为12,最小值为-15.
(2)f′(x)=2cos 2x+1,
令f′(x)=0,又x∈,得x=或x=-.
∵f =+,f =--,
又f =,f =-,
∴f(x)max=+,f(x)min=--.
反思感悟 求函数在给定区间上的最值的注意事项
(1)对函数进行准确求导,并检验f′(x)=0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值.
跟踪训练2 求下列函数的最值:
(1)f(x)=-x3+3x,x∈[-,3];
(2)f(x)=x2-(x<0).
解 (1)f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x).
令f′(x)=0,得x=1或x=-1,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x - (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1,3) 3
f′(x) - 0 + 0 -
f(x) 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ -18
所以x=1和x=-1是函数在[-,3]上的两个极值点,且f(1)=2,f(-1)=-2.
又因为f(x)在区间端点处的取值为f(-)=0,f(3)=-18,
所以f(x)max=2,f(x)min=-18.
(2)f′(x)=2x+.
令f′(x)=0,得x=-3.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-3) -3 (-3,0)
f′(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x=-3时,f(x)取得极小值,也就是最小值,
故f(x)的最小值为f(-3)=27,无最大值.
三、利用最值证明不等式
例3 已知函数f(x)=ex-e(ln x+1),求证:f(x)≥0恒成立.
证明 由题意知f′(x)=ex-=,
设F(x)=xex-e,则F(x)在上单调递增,且F(1)=0.
当x∈时,F(x)<0,∴f′(x)=<0,f(x)单调递减,当x∈时,F(x)>0,∴f′(x)=>0,f(x)单调递增.
f(x)的最小值为f(x)min=f(1)=0,∴f(x)≥0恒成立.
反思感悟 证明不等式恒成立,用导数的方法求出函数的最值,进而可求出结果;有时也可根据不等式直接构成函数,利用导数的方法,通过分类讨论研究函数的最值,即可得到结果.
跟踪训练3 已知函数f(x)=x2+ln x.求证:在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.
证明 设F(x)=g(x)-f(x),
即F(x)=x3-x2-ln x,
则F′(x)=2x2-x-=.
当x>1时,F′(x)=>0,
从而F(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴F(x)>F(1)=>0.
∴当x>1时,g(x)-f(x)>0,即f(x)故在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.
1.知识清单:
(1)函数最值的定义.
(2)求函数的最值.
(3)函数最值的应用.
2.方法归纳:转化化归、分类讨论.
3.常见误区:忽视函数的最值与极值的区别与联系.
1.下列结论正确的是(  )
A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是在x=a和x=b处取得
D.若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
答案 D
解析 函数f(x)在[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,而在[a,b]上一定存在最大值和最小值.
2.函数y=x-sin x,x∈的最大值是(  )
A.π-1 B.-1 C.π D.π+1
答案 C
解析 y′=1-cos x,当x∈时,y′>0,
则函数在区间上单调递增,
所以y的最大值为ymax=π-sin π=π.
3.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是(  )
A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19
答案 C
解析 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f′(x)=0,得x=-1或1(舍去).
又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,
f(-1)=-1+3+1=3,1 [-3,0].
所以最大值为3,最小值为-17.
4.函数f(x)=(x+1)ex的最小值是________.
答案 -
解析 f(x)=(x+1)ex f′(x)=(x+2)ex,
当x>-2时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x<-2时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为f(-2)=(-2+1)e-2=-.
课时对点练
1.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f′(x)(  )
A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定
答案 A
解析 因为M=m,
所以f(x)为常函数,
故f′(x)=0,故选A.
2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)(  )
A.有最大值,无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,有最小值
D.既无最大值,也无最小值
答案 D
解析 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).
令f′(x)=0,得x=±1.
又x∈(-1,1)且±1 (-1,1),
∴该方程无解,
故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值,故选D.
3.如图所示,函数f(x)的导函数的图象是一条直线,则(  )
A.函数f(x)没有最大值,也没有最小值
B.函数f(x)有最大值,没有最小值
C.函数f(x)没有最大值,有最小值
D.函数f(x)有最大值,也有最小值
答案 C
解析 由导函数图象可知,函数f(x)只有一个极小值点1,即f(x)在x=1处取得最小值,没有最大值.
4.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m的值为(  )
A.16 B.12 C.32 D.6
答案 C
解析 因为函数f(x)=x3-12x+8,
所以f′(x)=3x2-12.
令f′(x)>0,解得x>2或x<-2;
令f′(x)<0,解得-2故函数在[-2,2]上单调递减,在[-3,-2),(2,3]上单调递增,
又f(2)=-8,f(-2)=24,f(-3)=17,f(3)=-1,
所以函数在x=2时取到最小值-8,
在x=-2时取到最大值24.
即M=24,m=-8,所以M-m=32.
5.函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为(  )
A.4e-1 B.1
C.e2 D.3e2
答案 C
解析 f′(x)=xex+1(x+2),
令f′(x)=0,得x=-2或x=0.
当f′(x)>0时,x<-2或x>0;
当f′(x)<0时,-2当x=-2时,f(-2)=;当x=0时,f(0)=0;
当x=1时,f(1)=e2,所以函数的最大值为e2.
6.(多选)下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是(  )
A.f(x)>0的解集是{x|0B.f(-)是极小值,f()是极大值
C.f(x)没有最小值,也没有最大值
D.f(x)有最大值无最小值
答案 ABD
解析 由f(x)>0得0f′(x)=(2-x2)ex,
令f′(x)=0,得x=±,
当x<-或x>时,f′(x)<0,
当-0,
∴当x=-时,f(x)取得极小值,
当x=时,f(x)取得极大值,故B正确.
当x→-∞时,f(x)→0,
当x→+∞时,f(x)→-∞,
且f()>0,
结合函数的单调性可知,函数f(x)有最大值无最小值,
故C不正确,D正确.
7.函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是______.
答案 e-1
解析 由题意得f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.
当x∈[-1,0)时,f′(x)<0;
当x∈(0,1]时,f′(x)>0.
所以f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增.
又因为f(-1)=+1,f(1)=e-1,
所以f(-1)-f(1)=2+-e<0,
所以f(-1)8.函数f(x)=(x∈[-2,2])的最大值是________,最小值是________.
答案 2 -2
解析 f′(x)=
==,
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1.
由f(-2)=-,f(-1)=-2,f(1)=2,f(2)=,
∴f(x)max=2,f(x)min=-2.
9.(1)求函数f(x)=x3-x2-2x+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值;
(2)求函数f(x)=x+sin x在区间[0,2π]上的最大值与最小值.
解 (1)因为f(x)=x3-x2-2x+5,
所以f′(x)=3x2-x-2.
令f′(x)=0,解得x1=-,x2=1.
因为f =,f(1)=,f(-2)=-1,f(2)=7,
所以函数f(x)在[-2,2]上的最大值是7,最小值是-1.
(2)因为f(x)=x+sin x,
所以f′(x)=+cos x,
令f′(x)=0,解得x1=,x2=.
因为f(0)=0,f =+,f =-,
f(2π)=π,
所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π,最小值是0.
10.已知函数f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-相切.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)在上的最大值.
解 (1)f′(x)=-2bx(x>0).
由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-相切,
得即解得
(2)由(1),得f(x)=ln x-x2,定义域为(0,+∞).
f′(x)=-x=.
令f′(x)>0,得01,
所以f(x)在上单调递增,在(1,e]上单调递减,
所以f(x)在上的最大值为f(1)=-.
11.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
答案 A
解析 令F(x)=f(x)-g(x),
∵f′(x)∴F′(x)=f′(x)-g′(x)<0,
∴F(x)在[a,b]上单调递减,
∴F(x)max=F(a)=f(a)-g(a).
12.已知函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是(  )
A.20 B.18 C.3 D.0
答案 A
解析 因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-3,2],所以f(x)在[-1,1]上单调递减,在[1,2]和[-3,-1]上单调递增.f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上,f(x)max=1,f(x)min=-19,又由题设知在[-3,2]上|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=20,所以t≥20,故选A.
13.已知函数f(x)=ln x-ax,其中x∈,若不等式f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围为(  )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 当x∈时,不等式f(x)≤0恒成立等价于a≥在上恒成立,
令g(x)=,则g′(x)=.
当10;当x>e时,g′(x)<0;
所以g(x)max=g(e)=,所以a≥.
故选C.
14.已知函数f(x)=x2-2ln x,若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则实数m的取值范围是(  )
A.(-∞,e2-2) B.(-∞,e2-2]
C.(-∞,1] D.(-∞,1)
答案 B
解析 由题意可知,存在x∈[1,e],使得m≤f(x),则m≤f(x)max.
∵f(x)=x2-2ln x,
∴f′(x)=2x-==,
当x∈[1,e]时,f′(x)≥0,
∴函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,
则f(x)max=f(e)=e2-2,∴m≤e2-2,
因此实数m的取值范围是(-∞,e2-2].
15.设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数K,定义函数fK(x)=取函数f(x)=2-x-e-x,若对任意的x∈(-∞,+∞),恒有fK(x)=f(x),则(  )
A.K的最大值为2
B.K的最小值为2
C.K的最大值为1
D.K的最小值为1
答案 D
解析 由题意知,即有f(x)≤K恒成立,
又f′(x)=e-x-1,
所以当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0.
所以当x=0时,f(x)max=1,所以K≥1.
16.已知f(x)=xln x.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立.
(1)解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=ln x+1.
当x>时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当0所以函数f(x)的最小值为f =-.
(2)证明 问题等价于证明xln x>-.
由(1)可知f(x)=xln x的最小值是-,当且仅当x=时取到.
设m(x)=-,x∈(0,+∞),
则m′(x)=,
易知m(x)max=m(1)=-,当且仅当x=1时取到,
所以xln x>-.
从而对一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立.(共76张PPT)
第2课时 含参函数的最值
第二章 6.3 函数的最值
1.能利用导数求简单的含参函数的最值问题.
2.能根据最值求参数的值或取值范围.
3.初步探究有关探索性的问题.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、求含参数的函数的最值
二、由最值求参数的值或范围
三、与最值有关的探究性问题
内容索引
一、求含参数的函数的最值
例1 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.
解 f′(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),
令f′(x)=0,得x1=- ,x2=a.
①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.
所以f(x)min=f(a)=-a3.
②当a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=f(0)=0.
综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3;
当a=0时,f(x)的最小值为0;
延伸探究 当a>0时,求函数f(x)=x3-ax2-a2x在[-a,2a]上的最值.
解 f′(x)=(3x+a)(x-a)(a>0),
令f′(x)=0,得x1=- ,x2=a.
f(2a)=2a3.
所以f(x)max=f(2a)=2a3.
f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3.
反思感悟 含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数,从而化为不含参数的函数的最值问题.
(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
跟踪训练1 已知函数f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的极值;
解 由f(x)=(x-k)ex,可得f′(x)=(x-k+1)ex,
令f′(x)=0,得x=k-1,
随x的变化,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) ↘ -ek-1 ↗
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);
单调递增区间是(k-1,+∞).
所以f(x)有极小值f(k-1)=-ek-1,无极大值.
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
解 当k-1≤0,即k≤1时,f′(x)=(x-k+1)ex≥0在x∈[0,1]上恒成立,
则函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;
当0由(1)知f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;
当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
综上,当k≤1时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为-k;
当1当k≥2时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为(1-k)e.
二、由最值求参数的值或范围
例2 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
解 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常数函数,与题设矛盾.
求导得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
①当a>0,且当x变化时,
f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2
f′(x) + 0 -
f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b
由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,
∴f(0)=b=3.
又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3∴f(2)=-16a+3=-29,
解得a=2,符合题意.
②当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,
∴f(0)=b=-29.
又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),
∴f(2)=-16a-29=3,
解得a=-2,符合题意.
综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
延伸探究 已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围.
解 ∵h(x)=x3+3x2-9x+1,
∴h′(x)=3x2+6x-9.
令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1,
当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
h′(x) + 0 - 0 +
h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗
∴当x=-3时,h(x)取极大值28;
当x=1时,h(x)取极小值-4.
而h(2)=3∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则k≤-3.
∴k的取值范围为(-∞,-3].
反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
跟踪训练2 已知函数f(x)=4x+ (x>0,a>0)在x=3时取得最小值,求a的值.
三、与最值有关的探究性问题
解 当a=1时,f(x)=x-ln x,
例3 已知f(x)=ax-ln x,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
即x-2y+2-2ln 2=0.
(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
解 假设存在实数a,使f(x)=ax-ln x在区间(0,e]上的最小值是3,
①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递减,
故f(x)min=f(e)=ae-1=3,
所以此时不存在符合题意的实数a;
解得a=e2,满足条件;
故f(x)min=f(e)=ae-1=3,
所以此时不存在符合题意的实数a.
综上,存在实数a=e2,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3.
反思感悟 对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
跟踪训练3 已知函数f(x)=2x3-ax2+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
当a=0时,f′(x)=6x2≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增;
综上所述,当a=0时,函数f(x)在R上单调递增;
(2)是否存在a,使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a的所有值;若不存在,说明理由.
解 存在,理由如下:
由(1)可得,当a≤0时,函数f(x)在[0,1]上单调递增.
则最小值为f(0)=1,不符合题意;
f(x)的最大值为f(0)=1,最小值为f(1)=2-a+1=-1,
解得a=4,满足题意;
综上可得,a的值为4.
1.知识清单:
(1)求含参的函数的最值.
(2)由最值求参数的值或取值范围.
(3)与最值有关的探究性问题.
2.方法归纳:转化法、分类讨论.
3.常见误区:分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏.
课堂小结
随堂演练
解析 由题意得,f′(x)=3ax2,则f′(1)=3a=6,解得a=2,
所以f′(x)=6x2≥0,
故f(x)在[1,2]上单调递增,则f(2)=2×23+c=20,解得c=4.
1.已知函数f(x)=ax3+c,且f′(1)=6,函数在[1,2]上的最大值为20,则c的值为
A.1 B.4 C.-1 D.0

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2.函数f(x)= 的最大值为
A.a B. (a-1)e C.e1-a D.ea-1
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所以当x<1-a时,f′(x)>0,当x>1-a时,f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1-a)上单调递增,在(1-a,+∞)上单调递减,
所以f(x)max=f(1-a)=ea-1.
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当a=1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值为f(1)= ,不符合题意.
当01
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所以当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37,所以a=3.
所以当x=0时,f(x)取得最大值3.
4.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,则a的值为_____,f(x)在[-2,2]上的最大值为_____.
3  3
解析 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).
由f′(x)=0,得x=0或x=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2
f′(x) + 0 - 0
f(x) -40+a ↗ 极大值a ↘ -8+a
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课时对点练
基础巩固

又f′(x)=acos x+cos 3x,
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解析 y′=3x2+3x=3x(x+1),易知当-1当-20,
所以函数y=x3+ +m在(-2,-1),(0,1)上单调递增,在(-1,0)上单
调递减,
又当x=-1时,y=m+ ,
当x=1时,y=m+ ,所以最大值为m+ ,解得m=2.
3.函数f(x)=3x-x3在[0,m]上的最大值为2,最小值为0,则实数m的取值范围为
A.[1, ] B.[1,+∞)
C.(1, ] D.(1,+∞)
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解析 ∵f(x)=3x-x3,
∴f′(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x),
令f′(x)=0,则x=1或x=-1(舍去),
当0≤x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
∵函数f(x)在[0,m]上的最大值为2,最小值为0,且f(0)=f( )=0,f(1)=2,
∴1≤m≤ .
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4.已知函数f(x)=ln x-ax存在最大值0,则a的值为
A.1 B.2 C.e D.
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∴当a≤0时,f′(x)>0恒成立,故函数f(x)单调递增,不存在最大值;
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5.已知函数f(x)=ex-x+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是
A.(-1,+∞) B.(-∞,-1)
C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]

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解析 f′(x)=ex-1,令f′(x)>0,解得x>0,令f′(x)<0,解得x<0,
故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
故f(x)min=f(0)=1+a.
若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1,故选A.
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6.(多选)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的值可以为


解析 ∵f′(x)=3x2-3a,
且f′(x)=0有解,∴a=x2.
又∵x∈(0,1),∴01
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7.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为______.
-71
解析 f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f′(x)=0得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,
f(-1)=k+5,f(4)=k-20.
由f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.
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8.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m∈[-1,1],则f(m)的最小值为______.
-4
解析 f′(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0.
即-3×4+2a×2=0,故a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4.
f′(x)=-3x2+6x,由此可得f(x)在[-1,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
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9.已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
解 f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).
①若a≤0,则f′(x)≤0,函数f(x)单调递减,
所以当x=0时,f(x)有最大值f(0)=0.
②若a>0,则令f′(x)=0,解得x=± .
因为x∈[0,1],所以只考虑x= 的情况.
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则当0≤x≤1时,f′(x)≥0,函数f(x)在[0,1]上单调递增,
当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3a-1.
综上可知,当a≤0,x=0时,f(x)有最大值0,
当a≥1,x=1时,f(x)有最大值3a-1.
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10.已知函数f(x)=2ex(x+1).
(1)求函数f(x)的极值;
解 f′(x)=2ex(x+2),
由f′(x)>0,得x>-2;
由f′(x)<0,得x<-2.
∴f(x)在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减.
∴f(x)的极小值为f(-2)=-2e-2,无极大值.
(2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3)上的最小值g(t).
解 由(1),知f(x)在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减.
∵t>-3,∴t+1>-2.
①当-3∴g(t)=f(-2)=-2e-2.
②当t≥-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
∴g(t)=f(t)=2et(t+1).
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综合运用
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解析 ∵2xln x+x2-mx+3≥0,
当10,h(x)单调递增.
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∴m≤h(x)max,

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解析 由题意可得,存在实数x0≠0,使得f(-x0)=f(x0)成立,
假设x0>0,则-x0<0,
所以有-kx0=ln x0,
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令h′(x)>0,即ln x>1,解得x>e,
令h′(x)<0,即ln x<1,解得0则h(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
14.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x- ,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为____.
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解析 由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.
解得a=1.
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拓广探究
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15.设函数f(x)=ax3-3x+1(a>1),若对于任意的x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为_____.
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解析 由题意得,f′(x)=3ax2-3,当a>1时,令f′(x)=3ax2-3=0,
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由f(-1)≥0,可得a≤4,
综上可得a=4.
∵a<0,
∴f′(x)>0,
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
16.已知函数f(x)=ln x+
(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;
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解 函数f(x)=ln x+ 的定义域为(0,+∞),
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解 当x∈[1,e]时,分如下情况讨论:
①当a≤1时,f′(x)≥0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a≤1,
②当1在(a,e]上有f′(x)>0,f(x)单调递增,
③当a≥e时,显然函数f(x)在[1,e]上单调递减,
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本课结束第2课时 含参函数的最值
学习目标 1.能利用导数求简单的含参函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题.
一、求含参数的函数的最值
例1 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.
解 f′(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),
令f′(x)=0,得x1=-,x2=a.
①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.所以f(x)min=f(a)=-a3.
②当a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0.
③当a<0时,f(x)在上单调递减,
在上单调递增.
所以f(x)min=f =a3.
综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3;
当a=0时,f(x)的最小值为0;
当a<0时,f(x)的最小值为a3.
延伸探究 当a>0时,求函数f(x)=x3-ax2-a2x在[-a,2a]上的最值.
解 f′(x)=(3x+a)(x-a)(a>0),
令f′(x)=0,得x1=-,x2=a.
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,在[a,2a]上单调递增.
因为f(-a)=-a3,f =a3,f(a)=-a3,
f(2a)=2a3.
所以f(x)max=f(2a)=2a3.
f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3.
反思感悟 含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数,从而化为不含参数的函数的最值问题.
(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
跟踪训练1 已知函数f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的极值;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
解 (1)由f(x)=(x-k)ex,可得f′(x)=(x-k+1)ex,
令f′(x)=0,得x=k-1,
随x的变化,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) ↘ -ek-1 ↗
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).
所以f(x)有极小值f(k-1)=-ek-1,无极大值.
(2)当k-1≤0,即k≤1时,f′(x)=(x-k+1)ex≥0在x∈[0,1]上恒成立,
则函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;
当0由(1)知f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;
当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
综上,当k≤1时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为-k;
当1当k≥2时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为(1-k)e.
二、由最值求参数的值或范围
例2 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
解 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常数函数,与题设矛盾.
求导得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
①当a>0,且当x变化时,
f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2
f′(x) + 0 -
f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b
由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,
∴f(0)=b=3.
又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3∴f(2)=-16a+3=-29,
解得a=2,符合题意.
②当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,
∴f(0)=b=-29.
又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),
∴f(2)=-16a-29=3,
解得a=-2,符合题意.
综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
延伸探究 已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围.
解 ∵h(x)=x3+3x2-9x+1,
∴h′(x)=3x2+6x-9.
令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1,
当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
h′(x) + 0 - 0 +
h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗
∴当x=-3时,h(x)取极大值28;
当x=1时,h(x)取极小值-4.
而h(2)=3∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则k≤-3.
∴k的取值范围为(-∞,-3].
反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
跟踪训练2 已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,求a的值.
解 由题意知f′(x)=4-=.
又x>0,a>0,令f′(x)=0,得x=,
当0时,f′(x)>0.
故f(x)在上单调递减,在上单调递增,即当x=时,f(x)取得最小值,
则=3,解得a=36.
三、与最值有关的探究性问题
例3 已知f(x)=ax-ln x,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
解 (1)当a=1时,f(x)=x-ln x,
f′(x)=1-=,
∴所求切线的斜率为f′(2)=,切点为(2,2-ln 2),
∴所求切线的方程为y-(2-ln 2)=(x-2),
即x-2y+2-2ln 2=0.
(2)假设存在实数a,使f(x)=ax-ln x在区间(0,e]上的最小值是3,
f′(x)=a-=.
①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递减,故f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=(舍去),所以此时不存在符合题意的实数a;
②当0<时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)min=f =1+ln a=3,解得a=e2,满足条件;
③当≥e,即0综上,存在实数a=e2,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3.
反思感悟 对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
跟踪训练3 已知函数f(x)=2x3-ax2+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)是否存在a,使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a的所有值;若不存在,说明理由.
解 (1)f′(x)=6x2-2ax=6x.
令f′(x)=6x=0,解得x=0或x=.
当a=0时,f′(x)=6x2≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增;
当a>0时,令f′(x)>0,得x>或x<0,令f′(x)<0,得0即函数f(x)在(-∞,0)和上单调递增,在上单调递减;
当a<0时,令f′(x)>0,得x>0或x<,令f′(x)<0,得即函数f(x)在和(0,+∞)上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当a=0时,函数f(x)在R上单调递增;
当a>0时,函数f(x)在(-∞,0)和上单调递增,在上单调递减;
当a<0时,函数f(x)在和(0,+∞)上单调递增,在上单调递减.
(2)存在,理由如下:
由(1)可得,当a≤0时,函数f(x)在[0,1]上单调递增.
则最小值为f(0)=1,不符合题意;
当a>0时,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增;
当≥1,即a≥3时,函数f(x)在上单调递减,
f(x)的最大值为f(0)=1,最小值为f(1)=2-a+1=-1,
解得a=4,满足题意;
当0<<1,即0f(x)的最小值为f =2×3-a×2+1=-1,
化为-=-2,解得a=3>3,不符合题意.
综上可得,a的值为4.
1.知识清单:
(1)求含参的函数的最值.
(2)由最值求参数的值或取值范围.
(3)与最值有关的探究性问题.
2.方法归纳:转化法、分类讨论.
3.常见误区:分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏.
1.已知函数f(x)=ax3+c,且f′(1)=6,函数在[1,2]上的最大值为20,则c的值为(  )
A.1 B.4 C.-1 D.0
答案 B
解析 由题意得,f′(x)=3ax2,则f′(1)=3a=6,解得a=2,
所以f′(x)=6x2≥0,
故f(x)在[1,2]上单调递增,则f(2)=2×23+c=20,解得c=4.
2.函数f(x)=的最大值为(  )
A.a B.e C.e1-a D.ea-1
答案 D
解析 f(x)=,则f′(x)=,
所以当x<1-a时,f′(x)>0,当x>1-a时,f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1-a)上单调递增,在(1-a,+∞)上单调递减,
所以f(x)max=f=ea-1.
3.已知函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为(  )
A.-1 B. C. D.+1
答案 A
解析 由f(x)=,
得f′(x)=,
当a>1时,若x>,则f′(x)<0,f(x)单调递减,
若10,f(x)单调递增,
故当x=时,函数f(x)有最大值=,
解得a=<1,不符合题意.
当a=1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值为f(1)=,不符合题意.
当0故a的值为-1.
4.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,则a的值为________,f(x)在[-2,2]上的最大值为________.
答案 3 3
解析 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).
由f′(x)=0,得x=0或x=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2
f′(x) + 0 - 0
f(x) -40+a ↗ 极大值a ↘ -8+a
所以当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37,所以a=3.
所以当x=0时,f(x)取得最大值3.
课时对点练
1.若函数f(x)=asin x+sin 3x在x=处有最值,则a等于(  )
A.2 B.1 C. D.0
答案 A
解析 ∵f(x)在x=处有最值,
∴x=是函数f(x)的极值点.
又f′(x)=acos x+cos 3x,
∴f′=acos +cos π=0,解得a=2.
2.若函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于(  )
A.0 B.1 C.2 D.
答案 C
解析 y′=3x2+3x=3x(x+1),易知当-10,
所以函数y=x3+x2+m在(-2,-1),(0,1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,又当x=-1时,y=m+,当x=1时,y=m+,所以最大值为m+=,解得m=2.
3.函数f(x)=3x-x3在[0,m]上的最大值为2,最小值为0,则实数m的取值范围为(  )
A.[1,] B.[1,+∞)
C.(1,] D.(1,+∞)
答案 A
解析 ∵f(x)=3x-x3,
∴f′(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x),
令f′(x)=0,则x=1或x=-1(舍去),
当0≤x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
∵函数f(x)在[0,m]上的最大值为2,最小值为0,且f(0)=f()=0,f(1)=2,
∴1≤m≤.
4.已知函数f(x)=ln x-ax存在最大值0,则a的值为(  )
A.1 B.2 C.e D.
答案 D
解析 ∵f′(x)=-a,x>0,
∴当a≤0时,f′(x)>0恒成立,故函数f(x)单调递增,不存在最大值;
当a>0时,令f′(x)=0,得x=,
∴当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
∴f(x)max=f =ln -1=0,
解得a=.
5.已知函数f(x)=ex-x+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.(-1,+∞) B.(-∞,-1)
C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]
答案 A
解析 f′(x)=ex-1,令f′(x)>0,解得x>0,令f′(x)<0,解得x<0,
故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=1+a.
若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1,故选A.
6.(多选)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的值可以为(  )
A.0 B. C. D.1
答案 BC
解析 ∵f′(x)=3x2-3a,
且f′(x)=0有解,∴a=x2.
又∵x∈(0,1),∴07.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为________.
答案 -71
解析 f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f′(x)=0得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,
f(-1)=k+5,f(4)=k-20.
由f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.
8.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m∈[-1,1],则f(m)的最小值为________.
答案 -4
解析 f′(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0.
即-3×4+2a×2=0,故a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4.
f′(x)=-3x2+6x,由此可得f(x)在[-1,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
9.已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
解 f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).
①若a≤0,则f′(x)≤0,函数f(x)单调递减,
所以当x=0时,f(x)有最大值f(0)=0.
②若a>0,则令f′(x)=0,解得x=±.
因为x∈[0,1],
所以只考虑x=的情况.
(ⅰ)若0<<1,即0x 0 (0,) (,1) 1
f′(x) + 0 -
f(x) 0 ↗ 2a ↘ 3a-1
(ⅱ)若≥1,即a≥1,则当0≤x≤1时,f′(x)≥0,函数f(x)在[0,1]上单调递增,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3a-1.
综上可知,当a≤0,x=0时,f(x)有最大值0,
当0当a≥1,x=1时,f(x)有最大值3a-1.
10.已知函数f(x)=2ex(x+1).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3)上的最小值g(t).
解 (1)f′(x)=2ex(x+2),
由f′(x)>0,得x>-2;由f′(x)<0,得x<-2.
∴f(x)在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减.
∴f(x)的极小值为f(-2)=-2e-2,无极大值.
(2)由(1),知f(x)在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减.
∵t>-3,∴t+1>-2.
①当-3∴g(t)=f(-2)=-2e-2.
②当t≥-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
∴g(t)=f(t)=2et(t+1).
∴g(t)=
11.若存在x∈,使得不等式2xln x+x2-mx+3≥0成立,则实数m的最大值为(  )
A.+3e-2 B.+e+2
C.4 D.e2-1
答案 A
解析 ∵2xln x+x2-mx+3≥0,
∴m≤2ln x+x+,
设h(x)=2ln x+x+,
则h′(x)=+1-=,
当≤x<1时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
当10,h(x)单调递增.
∵存在x∈,m≤2ln x+x+成立,
∴m≤h(x)max,
∵h=-2++3e,h=2+e+,
∴h>h.
∴m≤+3e-2.
12.已知函数f(x)=sin--mx在上单调递减,则实数m的最小值是(  )
A.- B.- C. D.
答案 D
解析 由f(x)=sin--mx在上单调递减,
得f′(x)=2cos-x-m≤0,
即2cos-x≤m,
令g(x)=2cos-x,
则g′(x)=-4sin-1,
当x∈时,≤2x+≤,
则2≤4sin≤4,
所以-5≤-4sin-1≤-3,即g′(x)<0,
所以g(x)在x∈上单调递减,g(x)max=g(0)=,
所以m≥,m的最小值为.
13.已知函数f(x)=若 x0∈R使得f(-x0)=f(x0)成立,则实数k的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可得,存在实数x0≠0,使得f(-x0)=f(x0)成立,
假设x0>0,则-x0<0,
所以有-kx0=ln x0,
则k=-,
令h(x)=-,
则h′(x)=,
令h′(x)>0,即ln x>1,解得x>e,
令h′(x)<0,即ln x<1,解得0则h(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
所以h(x)≥h(x)min=h=-=-,
所以k≥-.
14.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为________.
答案 1
解析 由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.
令f′(x)=-a=0,得x=,
当00;
∴f(x)max=f =-ln a-1=-1.
解得a=1.
15.设函数f(x)=ax3-3x+1(a>1),若对于任意的x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________________________________________________________________________.
答案 4
解析 由题意得,f′(x)=3ax2-3,当a>1时,令f′(x)=3ax2-3=0,解得x=±,±∈[-1,1].
①当-1≤x<-时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
②当-③当0,f(x)单调递增.
所以只需f ≥0,且f(-1)≥0即可,
由f ≥0,得a·3-3·+1≥0,解得a≥4,
由f(-1)≥0,可得a≤4,综上可得a=4.
16.已知函数f(x)=ln x+.
(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值.
解 函数f(x)=ln x+的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-=,
(1)∵a<0,
∴f′(x)>0,
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
(2)当x∈[1,e]时,分如下情况讨论:
①当a≤1时,f′(x)≥0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a≤1,这与函数在[1,e]上的最小值是相矛盾;
②当10,f(x)单调递增,
∴函数f(x)的最小值为f(a)=ln a+1,由ln a+1=,得a=;
③当a≥e时,显然函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为f(e)=1+≥2,与最小值是相矛盾.
综上所述,a的值为.(共59张PPT)
第1课时 函数的最值
第二章 6.3 函数的最值
1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.
学习目标
蹦床(Trampoline)是一项运动员利用从蹦床反弹中表现杂技技巧的竞技运动,它属于体操运动的一种,有“空中芭蕾”之称.近代蹦床起源于法国,2000年,蹦床被悉尼奥运会列为比赛项目.
蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中运动.为了测量运动员跃起的高度,训练时可在弹性网上安装压力传感器,利用传感器记录弹性网所受的压力,并在计算机上作出压力-时间图象,根据图象可得到高度与时间的函数关系.
设运动员在空中运动时可视为质点,那
么如何来求运动员跃起的最大高度呢?
导语
随堂演练
课时对点练
一、极值与最值的关系
二、求函数的最值
三、利用最值证明不等式
内容索引
一、极值与最值的关系
问题 如图为y=f(x),x∈[a,b]的图象.
(1)观察[a,b]上函数y=f(x)的图象,你能找出它
的极大值、极小值吗?
提示 极大值为f(x1),f(x3),极小值为f(x2),f(x4).
(2)结合图象判断,函数y=f(x)在区间[a,b]上是否存在最大值,最小值?若存在,分别为多少?
提示 存在,f(x)min=f(a),f(x)max=f(x3).
(3)函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值一定是某极值吗?
提示 不一定,也可能是区间端点的函数值.
知识梳理
函数的最值点与最值
1.最值点
(1)最大值点:函数y=f(x)在区间[a,b]内的最大值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都 f(x0).
(2)最小值点:函数y=f(x)在区间[a,b]内的最小值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都 f(x0).
2.最值:函数的 与 统称为最值.
不超过
最大值 最小值
不小于
3.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 ;
(2)将函数y=f(x)的 与 处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是 ,最小的一个是 .
极值
各极值 端点
最大值
最小值
注意点:
(1)开区间不一定有最值,闭区间上的连续函数一定有最值.
(2)函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值的充分不必要条件.
例1 如图是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.
解 由题图可知,y=f(x)在x1,x3处取得极小值,在x2处取得极大值,
所以极小值为f(x1),f(x3),极大值为f(x2);
比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3),最大值在b处取得,最大值为f(b).
反思感悟 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言.
(2)在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点,而最值点可以是区间的端点.
(4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
跟踪训练1 设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是
A.f(x)的极值点一定是最值点
B.f(x)的最值点一定是极值点
C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点
D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点

解析 根据函数的极值与最值的概念知,f(x)的极值点不一定是最值点,f(x)的最值点不一定是极值点.
可能是区间的端点,连续可导函数在闭区间上一定有最值,所以选项A,B,D都不正确,
若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则函数f(x)在区间[a,b]上没有极值点,所以C正确.
二、求函数的最值
例2 求下列函数在给定区间上的最值:
(1)f(x)=2x3-3x2-12x+5,x∈[-2,3];
解 f′(x)=6x2-6x-12,
令f′(x)=0,则6x2-6x-12=0,
即x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2.
∵f(-1)=12,f(2)=-15,f(-2)=1,f(3)=-4,
∴函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在x∈[-2,3]上的最大值为12,最小值为-15.
解 f′(x)=2cos 2x+1,
反思感悟 求函数在给定区间上的最值的注意事项
(1)对函数进行准确求导,并检验f′(x)=0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值.
跟踪训练2 求下列函数的最值:
(1)f(x)=-x3+3x,x∈[- ,3];
解 f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x).
令f′(x)=0,得x=1或x=-1,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x ( ,-1) -1 (-1,1) 1 (1,3) 3
f′(x) - 0 + 0 -
f(x) 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ -18
所以x=1和x=-1是函数在[ ,3]上的两个极值点,且f(1)=2,
f(-1)=-2.
又因为f(x)在区间端点处的取值为f( )=0,f(3)=-18,
所以f(x)max=2,f(x)min=-18.
令f′(x)=0,得x=-3.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-3) -3 (-3,0)
f′(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x=-3时,f(x)取得极小值,也就是最小值,
故f(x)的最小值为f(-3)=27,无最大值.
三、利用最值证明不等式
例3 已知函数f(x)=ex-e(ln x+1),求证:f(x)≥0恒成立.
设F(x)=xex-e(x>0),则F(x)在(0,+∞)上单调递增,且F(1)=0.
当x∈(0,1)时,F(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,F(x)>0,
f(x)的最小值为f(x)min=f(1)=0,∴f(x)≥0恒成立.
反思感悟 证明不等式恒成立,用导数的方法求出函数的最值,进而可求出结果;有时也可根据不等式直接构成函数,利用导数的方法,通过分类讨论研究函数的最值,即可得到结果.
∴当x>1时,g(x)-f(x)>0,即f(x)故在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)= 的图象的下方.
证明 设F(x)=g(x)-f(x),
从而F(x)在(1,+∞)上单调递增,
1.知识清单:
(1)函数最值的定义.
(2)求函数的最值.
(3)函数最值的应用.
2.方法归纳:转化化归、分类讨论.
3.常见误区:忽视函数的最值与极值的区别与联系.
课堂小结
随堂演练
解析 函数f(x)在[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,而在[a,b]上一定存在最大值和最小值.
1.下列结论正确的是
A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是在x=a和x=b处取得
D.若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值

1
2
3
4
1
2
3
4

所以y的最大值为ymax=π-sin π=π.
1
2
3
4
3.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是
A.1,-1 B.1,-17
C.3,-17 D.9,-19

解析 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f′(x)=0,得x=-1或1(舍去).
又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,
f(-1)=-1+3+1=3,1 [-3,0].
所以最大值为3,最小值为-17.
1
2
3
4
4.函数f(x)=(x+1)ex的最小值是_____.
解析 f(x)=(x+1)ex f′(x)=(x+2)ex,
当x>-2时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x<-2时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为f(-2)=(-2+1)e-2=
课时对点练
基础巩固
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1.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f′(x)
A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定
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解析 因为M=m,
所以f(x)为常函数,
故f′(x)=0,故选A.
2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)
A.有最大值,无最小值 B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,有最小值 D.既无最大值,也无最小值
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解析 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).
令f′(x)=0,得x=±1.
又x∈(-1,1)且±1 (-1,1),
∴该方程无解,
故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值,故选D.
3.如图所示,函数f(x)的导函数的图象是一条直线,则
A.函数f(x)没有最大值,也没有最小值
B.函数f(x)有最大值,没有最小值
C.函数f(x)没有最大值,有最小值
D.函数f(x)有最大值,也有最小值
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解析 由导函数图象可知,函数f(x)只有一个极小值点1,即f(x)在x=1处取得最小值,没有最大值.
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4.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m的值为
A.16 B.12 C.32 D.6

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解析 因为函数f(x)=x3-12x+8,
所以f′(x)=3x2-12.
令f′(x)>0,解得x>2或x<-2;
令f′(x)<0,解得-2故函数在[-2,2]上单调递减,在[-3,-2),(2,3]上单调递增,
又f(2)=-8,f(-2)=24,f(-3)=17,f(3)=-1,
所以函数在x=2时取到最小值-8,
在x=-2时取到最大值24.
即M=24,m=-8,所以M-m=32.
解析 f′(x)=xex+1(x+2),
令f′(x)=0,得x=-2或x=0.
当f′(x)>0时,x<-2或x>0;
当f′(x)<0时,-2当x=-2时,f(-2)= ;
当x=0时,f(0)=0;
当x=1时,f(1)=e2,所以函数的最大值为e2.
5.函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为
A.4e-1 B.1 C.e2 D.3e2

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6.(多选)下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是
A.f(x)>0的解集是{x|0
C.f(x)没有最小值,也没有最大值
D.f(x)有最大值无最小值


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解析 由f(x)>0得0f′(x)=(2-x2)ex,
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当x→-∞时,f(x)→0,
当x→+∞时,f(x)→-∞,
结合函数的单调性可知,函数f(x)有最大值无最小值,
故C不正确,D正确.
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7.函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是______.
e-1
解析 由题意得f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.
当x∈[-1,0)时,f′(x)<0;
当x∈(0,1]时,f′(x)>0.
所以f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增.
所以f(-1)1
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8.函数f(x)= (x∈[-2,2])的最大值是_____,最小值是_____.
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-2
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1.
∴f(x)max=2,f(x)min=-2.
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9.(1)求函数f(x)=x3- -2x+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值;
所以f′(x)=3x2-x-2.
所以函数f(x)在[-2,2]上的最大值是7,最小值是-1.
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(2)求函数f(x)= +sin x在区间[0,2π]上的最大值与最小值.
所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π,最小值是0.
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10.已知函数f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,且曲线y=f(x)在x=1处与直线
y=- 相切.
(1)求a,b的值;
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令f′(x)>0,得01,
解析 令F(x)=f(x)-g(x),
∵f′(x)∴F′(x)=f′(x)-g′(x)<0,
∴F(x)在[a,b]上单调递减,
∴F(x)max=F(a)=f(a)-g(a).
综合运用
11.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)

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12.已知函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是
A.20 B.18 C.3 D.0

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解析 因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-3,2],
所以f(x)在[-1,1]上单调递减,在[1,2]和[-3,-1]上单调递增.
f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,
所以在区间[-3,2]上,f(x)max=1,f(x)min=-19,
又由题设知在[-3,2]上|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=20,
所以t≥20,故选A.
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13.已知函数f(x)=ln x-ax,其中x∈[1,+∞),若不等式f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围为

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解析 当x∈[1,+∞)时,不等式f(x)≤0恒成立等价于a≥ 在[1,+∞)上恒成立,
当10;
当x>e时,g′(x)<0;
故选C.
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14.已知函数f(x)=x2-2ln x,若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则实数m的取值范围是
A.(-∞,e2-2) B.(-∞,e2-2]
C.(-∞,1] D.(-∞,1)

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解析 由题意可知,存在x∈[1,e],使得m≤f(x),则m≤f(x)max.
∵f(x)=x2-2ln x,
当x∈[1,e]时,f′(x)≥0,
∴函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,
则f(x)max=f(e)=e2-2,∴m≤e2-2,
因此实数m的取值范围是(-∞,e2-2].
拓广探究
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15.设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数K,定义函
数fK(x)= 取函数f(x)=2-x-e-x,若对任意的x∈(-∞,+∞),恒有fK(x)=f(x),则
A.K的最大值为2 B.K的最小值为2
C.K的最大值为1 D.K的最小值为1

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解析 由题意知,即有f(x)≤K恒成立,
又f′(x)=e-x-1,
所以当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0.
所以当x=0时,f(x)max=1,所以K≥1.
16.已知f(x)=xln x.
(1)求函数f(x)的最小值;
解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=ln x+1.
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