7.2 实际问题中的最值问题
学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题．
导语
“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重大贡献．”著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系．导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？
一、面积、体积最值问题
例1 请你设计一个包装盒．如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，
由已知得
a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，
V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.
即包装盒的高与底面边长的比值为.
反思感悟 (1)利用导数解决优化问题的基本思路
(2)几何中最值问题的求解思路
面积、体积(容积)最大、周长最短、距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)将S表示为θ的函数；
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
解 (1)由题图知，BM＝AOsin θ＝100sin θ，
AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，
则S＝MB·AB＝×100sin θ×(100＋100cos θ)
＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．
(2)S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1)
＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．
令S′＝0，得cos θ＝或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝.
当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：
θ
S′ ＋ 0 －
S ↗ 极大值 ↘
所以当θ＝时，S取得最大值，Smax＝3 750 m2，
此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.
二、用料最省、费用最低问题
例2 已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜v≤v0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？
解 设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2.
∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y元，
由题意，得y＝y1·＝，
∴y′＝＝.
令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.
∴当v0≥16时，v∈(8,16)，y′＜0，即y单调递减；
v∈(16，v0]时，y′＞0，即y单调递增，
故当v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；
当v0＜16时，v∈(8，v0]时，y′＜0，
即y在(8，v0]上单调递减，
故当v＝v0时，ymin＝，此时全程燃料费最省．
综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为元．
反思感悟 用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关．解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．
跟踪训练2 某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边(假设为场地的长)可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？
解 设场地宽为x m，则长为 m，
因此新墙总长度为y＝2x＋(x＞0)，
y′＝2－，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.
∵当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，
∴当x＝8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m.
即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省．
三、利润最大问题
例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解 (1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3,4) 4 (4,6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 极大值42 ↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
延伸探究 本例条件换为该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋(a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝－100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．
(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大(≈2.65)．
解 (1)由题意得，当x＝2时，y＝800，∴a＋b＝800，
又∵当x＝3时，y＝150，∴b＝300，可得a＝500.
∴y＝
(2)由题意得
f(x)＝y(x－1)＝
当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3 500x2＋7 500x－4 200，
f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
∴由f′(x)<0，得＜x＜3，
∴f(x)在，(3,4)上单调递增，
在上单调递减，
∵f ＝＜f(4)＝1 800，
∴当x＝4时，f(x)有最大值1 800.
当4＜x≤12时，f(x)＝(x－1)
＝2 900－≤2 900－400≈1 840，
当且仅当100x＝，即x＝2≈5.3时取等号，
∴当x＝5.3时f(x)有最大值1 840，∵1 800＜1 840，
∴当x＝5.3时，f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元/千克时，店铺所获利润最大．
反思感悟 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
跟踪训练3 某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N＋)．
(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；
(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
解 (1)因为次品率p＝，
所以当每天生产x件时，有x·件次品，
有x件正品．
所以T＝200x·－100x·＝25·(x∈N＋)．
(2)T′＝－25·，
由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)．
当00；当x>16时，T′<0；
所以当x＝16时，T最大，
即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．
1.知识清单：
(1)面积、体积最值问题．
(2)用料最省、费用最低问题．
(3)利润最大问题．
2．方法归纳：数学建模、函数与方程思想．
3．常见误区：
(1)题意理解不透彻，列解析式错误．
(2)求导错误，最值求错．
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
答案 C
解析 ∵y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)．令y′＝0，得x＝9，令y′<0，得x>9，令y′>0，得02．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B. C．－1 D．－8
答案 C
解析 由题意，得f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，
即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.
3．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________ cm3.
答案 144
解析 设小正方形的边长为x，
则盒子的容积为V＝x(10－2x)(16－2x)，
即V＝4(x3－13x2＋40x)(0V′＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)，
令V′＝4(3x－20)(x－2)＝0，得x＝2或x＝(不符合题意，舍去)，x＝2是唯一极值点也就是最值点，
所以当x＝2时，盒子容积的最大值为144 cm3.
4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.
答案 20
解析 设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，
总运费与总存储费之和
f(x)＝4n＋x2＝＋x2，
令f′(x)＝x－＝0，解得x＝20.
且当020时，f′(x)>0，
故当x＝20时，f(x)最小．
课时对点练
1．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0A．30 B．40 C．50 D．60
答案 B
解析 V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，此时V(x)单调递增；当402．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )
A．6时 B．7时 C．8时 D．9时
答案 C
解析 y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)．
令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，
则当6≤t<8时，y′>0，当8所以当t＝8时，通过该路段所用的时间最多．
3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.3π B.3π C.3π D.3π
答案 A
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，
∴h＝，V＝πr2h＝πr2l－2πr3，
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，∴r＝是其唯一的极值点．
当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元
答案 D
解析 设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100 B．150 C．200 D．300
答案 D
解析 由题意，得总成本为C＝20 000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．
6.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k＞0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为( )
A. B. C.d D.d
答案 C
解析 设断面高为h，则h2＝d2－x2.
设横梁的强度函数为f(x)，
则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0＜x＜d.
令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝±d(舍去负值)．
当0＜x＜d时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当d＜x＜d时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝d，
所以当x＝d时，f(x)有最大值，故选C.
7．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则租金定为________元时可获得最大收入．
答案 1 800
解析 设没有租出去的公寓数为x，则收入函数f(x)＝(1 000＋50x)(50－x)－100(50－x)，所以f′(x)＝1 600－100x，令f′(x)＝0，解得x＝16，所以当x＝16时，f(x)取最大值，所以把租金定为1 800元时，收入最大．
8．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为________．
答案 R
解析 设圆锥高为h，底面半径为r，
则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，
V′＝πRh－πh2.
令V′＝0得h＝R.
当00；当因此当h＝R时，圆锥体积最大．
9．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．
解 设AD＝2x(0则A(x,0)，AB＝y＝4－x2，
所以矩形的面积为S＝2x(4－x2)(0即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，
令S′＝0，解得x1＝，
x2＝－(舍去)．
当00；当所以当x＝时，S取得最大值，此时S最大值＝.
即矩形的长和宽分别为，时，矩形的面积最大．
10．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房的防辐射材料的费用与宿舍到工厂的距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系为：p＝(2≤x≤8)．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每千米成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费(x2＋25)万元．设f(x)为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．
(1)求f(x)的表达式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．
解 (1)f(x)＝＋5x＋(x2＋25)，
整理得f(x)＝(x＋5)2＋(2≤x≤8)．
(2)f′(x)＝(x＋5)－＝，
由f′(x)≥0，得x≥5；
所以f(x)在[2,5]上单调递减，在[5,8]上单调递增，
故当x＝5时，f(x)取得最小值150.
综上所述，宿舍应建在离工厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小值为150万元．
11．一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( )
A. B. C. D．2
答案 C
解析 设圆的半径为x，记矩形高为h，
则窗户的面积为S＝＋2hx，所以2h＝－x.
则窗户周长为l＝πx＋2x＋2h＝＋2x＋.
令l′＝＋2－＝0，
解得x＝或－(舍去)，
因为函数只有一个极值点，所以x＝为最小值点，所以使窗户的周长最小时，圆的半径为.
12.如图所示，设铁路AB＝50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，则在AB上离点B距离为________处修筑公路至C，可使运费由A至C最省．
答案
解析 设M为AB上的一点，且MB＝x，于是AM上的运费为2(50－x)，MC上的运费为4，
则由A到C的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4(0≤x≤50)．
p′(x)＝－2＋，
令p′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x<时，p′(x)<0；当x>时，p′(x)>0，
∴当x＝时，p(x)取得最小值．
即当在离点B距离为的点M处修筑公路至C时，货物运费最省．
13．在等腰梯形ABCD中，上底CD＝40，腰AD＝40，则AB＝________时，等腰梯形的面积最大．
答案 80
解析 如图，设∠A＝θ，
则h＝AD·sin θ，AB＝40＋2ADcos θ，
故S＝AD·sin θ(40＋40＋2ADcos θ)＝20(80＋80cos θ)sin θ＝1 600(1＋cos θ)sin θ.
S′＝1 600[cos θ(1＋cos θ)－sin θsin θ]，
令S′＝0，得cos θ＝－1或cos θ＝.
因为0＜θ＜，所以cos θ＞0.所以cos θ＝.
即θ＝时，等腰梯形的面积最大，
此时AB＝40＋2×40×＝80.
14.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________ m时，帐篷的体积最大．
答案 2
解析 设OO1＝x，则1由题设可得正六棱锥底面边长为
＝.
于是底面正六边形的面积为
6··()2＝(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V(x)＝(8＋2x－x2)·1＋·(8＋2x－x2)·(x－1)
＝(16＋12x－x3)．
则V′(x)＝(12－3x2)．
令V′(x)＝0，解得x＝－2(不符合题意，舍去)或x＝2.
当10，V(x)单调递增；
当2综上所述，当x＝2时，V(x)最大．
15．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下：
投入资金 甲产品利润 乙产品利润
4 1 2.5
该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵甲产品的利润与投入资金成正比，
∴设y＝kx，当投入4万元时，利润为1万元，
即4k＝1，得k＝，即y＝x.
∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，
∴设y＝k，当投入4万元时，利润为2.5万元，
即k＝，得2k＝，
即k＝，即y＝.
设乙产品投入资金为x，
则甲产品投入资金为10－x,0≤x≤10，
则销售甲、乙两种产品所得利润为y＝(10－x)＋，
则y′＝－＋＝，
由y′>0，得5－2>0，即0由y′<0，得5－2<0，即x>，
即当x＝时，函数取得极大值同时也是最大值，
此时f ＝×＋×＝＋＝.
16．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
解 (1)由题设，每年能源消耗费用为
C(x)＝(0≤x≤10)，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0当50，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．(共77张PPT)
7.2 实际问题中的最值问题
第二章 §7 导数的应用
1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题.
学习目标
“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重大贡献.”著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系.导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、面积、体积最值问题
二、用料最省、费用最低问题
三、利润最大问题
内容索引
一、面积、体积最值问题
例1 请你设计一个包装盒.如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，
是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两
个端点，设AE＝FB＝x(cm).
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最
大，试问x应取何值？
解 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，
S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值.
(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；
当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.
反思感悟 (1)利用导数解决优化问题的基本思路
(2)几何中最值问题的求解思路
面积、体积(容积)最大、周长最短、距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.
跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度).
(1)将S表示为θ的函数；
解 由题图知，BM＝AOsin θ＝100sin θ，
AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，
＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π).
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.
解 S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1)＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1).
当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：
此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.
二、用料最省、费用最低问题
例2 已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜v≤v0).若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？
解 设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2.
∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y元，
令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.
∴当v0≥16时，v∈(8,16)，y′＜0，即y单调递减；
v∈(16，v0]时，y′＞0，即y单调递增，
故当v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；
当v0＜16时，v∈(8，v0]时，y′＜0，
即y在(8，v0]上单调递减，
综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，
为32 000元；
反思感悟 用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关.解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围.
跟踪训练2 某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边(假设为场地的长)可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？
∵当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，
∴当x＝8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m.
即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省.
三、利润最大问题
例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千
克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)2，其中3<6，a为常数.已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值；
所以a＝2.
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).
令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去).
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3,4) 4 (4,6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 极大值42 ↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
延伸探究 本例条件换为该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格
x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋ (a，
b为常数)；当4＜x≤12时，y＝ －100.已知当销售价格为2元/千克时，
每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出
150千克.
(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
解 由题意得，当x＝2时，y＝800，
∴a＋b＝800，
又∵当x＝3时，y＝150，
∴b＝300，可得a＝500.
(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大( ≈2.65).
当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3 500x2＋7 500x－4 200，
f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
∴当x＝4时，f(x)有最大值1 800.
∴当x＝5.3时f(x)有最大值1 840，∵1 800＜1 840，
∴当x＝5.3时，f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元/千克时，店铺所获利润最大.
反思感悟 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.
跟踪训练3 某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元.已知该厂制造电子元件过
程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝ (x∈N＋).
(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；
由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去).
当00；
当x>16时，T′<0；
所以当x＝16时，T最大，
即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利.
(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
1.知识清单：
(1)面积、体积最值问题.
(2)用料最省、费用最低问题.
(3)利润最大问题.
2.方法归纳：数学建模、函数与方程思想.
3.常见误区：
(1)题意理解不透彻，列解析式错误.
(2)求导错误，最值求错.
课堂小结
随堂演练
1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数
关系式为y＝－ ＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产
量为
A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
√
1
2
3
4
∴y′＝－x2＋81(x>0).
令y′＝0，得x＝9，令y′<0，得x>9，令y′>0，得0∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，
∴当x＝9时，函数取得最大值.
1
2
3
4
2.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第
x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝ －x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度
的瞬时变化率的最小值是
A.8 B. C.－1 D.－8
1
2
3
4
√
解析 由题意，得f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，
即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.
1
2
3
4
3.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______ cm3.
解析 设小正方形的边长为x，
则盒子的容积为V＝x(10－2x)(16－2x)，
即V＝4(x3－13x2＋40x)(0V′＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)，
令V′＝4(3x－20)(x－2)＝0，得x＝2或x＝ (不符合题意，舍去)，x＝2是唯一极值点也就是最值点，
所以当x＝2时，盒子容积的最大值为144 cm3.
144
4.某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，
一年的总存储费为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，
则x＝______.
1
2
3
4
20
且当020时，f′(x)>0，
故当x＝20时，f(x)最小.
课时对点练
所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，此时V(x)单调递增；
当40所以V(40)是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.
基础巩固
1.某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝ (0A.30 B.40 C.50 D.60
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)
与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝
，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是
A.6时 B.7时 C.8时 D.9时
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，
则当6≤t<8时，y′>0，当8所以当t＝8时，通过该路段所用的时间最多.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，
则V′＝lπr－6πr2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)
A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).
此时L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.
5.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增
加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝
则总利润最大时，每年生产的产品是
A.100 B.150 C.200 D.300
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
解析 由题意，得总成本为C＝20 000＋100x，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当0≤x≤400时，得x＝300；
当x>400时，P′<0恒成立，
易知当x＝300时，总利润最大.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k＞0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为
√
解析 设断面高为h，则h2＝d2－x2.
设横梁的强度函数为f(x)，
则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0＜x＜d.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 设没有租出去的公寓数为x，则收入函数f(x)＝(1 000＋50x)(50－x)
－100(50－x)，
所以f′(x)＝1 600－100x，
令f′(x)＝0，解得x＝16，
所以当x＝16时，f(x)取最大值，
所以把租金定为1 800元时，收入最大.
7.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则租金定为________元时可获得最大收入.
1 800
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为_____.
解析 设圆锥高为h，底面半径为r，
则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.
解 设AD＝2x(0则A(x,0)，AB＝y＝4－x2，
所以矩形的面积为S＝2x(4－x2)(0即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房的防辐射材料的费用与宿舍到工厂的距离有关.若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)
的关系为：p＝ (2≤x≤8).为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每千米成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费 (x2＋25)万元.设f(x)为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)求f(x)的表达式；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值.
由f′(x)≥0，得x≥5；
所以f(x)在[2,5]上单调递减，在[5,8]上单调递增，
故当x＝5时，f(x)取得最小值150.
综上所述，宿舍应建在离工厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小值为150万元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
综合运用
16
11.一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为
√
解析 设圆的半径为x，记矩形高为h，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.如图所示，设铁路AB＝50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，则在AB上离点B距离为
_____处修筑公路至C，可使运费由A至C最省.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即当在离点B距离为 的点M处修筑公路至C时，货物运费最省.
解析 设M为AB上的一点，且MB＝x，于是AM上的运费为2(50－x)，MC上的运费为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.在等腰梯形ABCD中，上底CD＝40，腰AD＝40，则AB＝_____时，等腰梯形的面积最大.
80
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 如图，设∠A＝θ，
则h＝AD·sin θ，AB＝40＋2ADcos θ，
故S＝ AD·sin θ(40＋40＋2ADcos θ)＝20(80＋80cos θ)sin θ
＝1 600(1＋cos θ)sin θ.
S′＝1 600[cos θ(1＋cos θ)－sin θsin θ]，
令S′＝0，得cos θ＝－1或cos θ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
14.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为____ m时，帐篷的体积最大.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 设OO1＝x，则11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
令V′(x)＝0，解得x＝－2(不符合题意，舍去)或x＝2.
当10，V(x)单调递增；
当2综上所述，当x＝2时，V(x)最大.
拓广探究
15.某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下：
投入资金 甲产品利润 乙产品利润
4 1 2.5
该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 ∵甲产品的利润与投入资金成正比，
∴设y＝kx，当投入4万元时，利润为1万元，
∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，
设乙产品投入资金为x，
则甲产品投入资金为10－x,0≤x≤10，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与
隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔
热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当0当50，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)
＝6×5＋ ＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
本课结束
