数学高中苏教版必修五3.3《二元一次不等式组与简单线性规划》课件

课件88张PPT。1. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域
表示二元一次不等式组．
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划
问题，并能加以解决．
?3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题[理 要 点]
一、二元一次不等式表示平面区域
1．二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)， 边界直线．
不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面) 边界直线．
不含包含2．对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合 ；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合Ax＋By＋C>0Ax＋By＋C<03．可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的 来判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．
正负4．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是
各个不等式所表示的平面区域的 ．
公共部分二、线性规划中的基本概念不等式(组)
一次解析式一次(x，y)最大值最小值最大值最小值集合?[究 疑 点]
1．可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？
提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的首要条件是什么？
提示：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
[题组自测]
1．如图所示的平面区域(阴影部分)满
足不等式 (　　)
A．x＋y－1<0
B．x＋y－1>0
C．x－y－1<0
D．x－y－1>0答案： B解：(1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)．
取原点(0,0)，代入2x＋y－10，∵2×0＋0－10<0，
∴原点在2x＋y－10<0表示的平面区域内，
不等式2x＋y－10<0表示的区域如图(1)所示．
(2)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图(2)所示．
(2)如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
答案：(1)A
[归纳领悟]
二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法：
直线定界、特殊点定域．注意不等式是否可取等号，不可取等号时直线画成虚线，可取等号时直线画成实线．若直线不过原点，特殊点常选取原点.答案：A
答案：5
[归纳领悟]
求目标函数的最值的一般步骤是：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，准确理解z的几何意义，对于目标函数z＝ax＋by而言，当b>0时，在可行域内越向上平移直线ax＋by＝0，z的值越大；越向下平移直线ax＋by＝0，z的值越小．当b<0时，情况正好相反．[题组自测]
1．一项装修工程需要木工和瓦工共同完成，请木工需付
工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是______________．
2．(2010·四川高考)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产
品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 (　　)A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案：B
3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种
玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.[归纳领悟]
线性规划实际应用问题的解决常见的错误点有：
(1)不能准确地理解题中条件的含义，如“不超过”、“至
少”等线性约束条件出现失误．
(2)最优解的找法由于作图不规范而不准确．
(3)最大解为“整点时”不会寻找“最优整点解”．处理此类
问题时．一是要规范作图，尤其是边界实虚要分清，二是寻找最优整点解时可记住“整点在整线上”(整线：形如x＝k或y＝k，k∈Z)．
一、把脉考情
从近两年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)、求目标函数的最值、线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中低档题；主要考查平面区域的画法、目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．
预测2012年高考仍将以目标函数的最值、线性规划的综合运用为主要考查点，重点考查学生分析问题、解决问题的能力．解析：画出可行域(如图中阴影部分)，
由图可知，当直线经过点A(1,1)时，z最大，最大值为2×1＋1＝3.
答案：C
解析：作出可行域如图所示．
作直线l0：x－2y＝0.
当把l0平移到l1位置时，此时过点A(1，－1)，z的值最大，且zmax＝1－2×(－1)＝3.
答案：B
3．(2010·陕西高考)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨
铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
答案：15
点击此图片进入“简单的线性规划习题复习” 简单的线性规划（习题复习）1. 在平面直角坐标系中,已知直线Ax+By+C=0和点P(x0，y0).若B＞0，Ax0+By0+C＞0,则点P在直线的①______;若B＞0,Ax0+By0+C＜0,则点P在直线的②_______.
2. 当B＞0时,不等式Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0③______的区域;当B＜0时,不等式Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0④_______的区域.上方下方上方下方3. 由关于x，y的二元一次不等式组成的不等式组称为⑤_________________;在线性约束条件下，求f(x，y)的最大值或最小值，则称关于x，y的解析式f(x，y)为⑥__________.
4. 满足线性约束条件的解(x，y)叫做⑦________;所有可行解组成的集合叫做⑧______;使目标函数达到最大值或最小值的可行解叫做⑨________.
5. 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为⑩________问题.线性约束条件目标函数可行解可行域最优解线性规划1.点(-2，t)在直线2x-3y+6=0的上方，
则t的取值范围是( )
A. t＞- B. t<-
C. t＞ D. t<
解：因为(-2，t)在直线2x-3y+6=0的上方，
则2×(-2)-3t+6<0，解得t > .C2.设变量x，y满足约束条件： 则目标函数z=2x+3y的最小值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 23
解：画出不等式组 表示
的可行域，如下图.B让目标函数表示直
线 在可行域
上平移，知在点B处目
标函数取到最小值，
解方程组
得B(2,1)，
所以zmin=4+3=7，故选B.3.若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分，则k的值是( )A解：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC.
由 得A(1，1).
又B(0，4)，C(0， ),
所以
设y=kx+ 与3x+y=4的交点为D，
则由 知 所以
所以 所以 故选A.1. 画出下列不等式表示的平面区域.
(1)3x+2y+6＞0;
(2)2x+y≤0;
(3)y2-x2≥0.题型1 画二元一次不等式表示的平面区域解：(1)先画直线3x+2y+6=0(画成虚线),取原点(0,0)代入3x+2y+6中得,3×0+2×0+6=6.
因为6＞0，所以原点(0，0)在3x+2y+6＞0表示的平面区域内，如图①所示.
(2)如图②所示. (3) y2-x2≥0
(y-x)(y+x)≥0
或
即 或
分别画出这两个不等式组表示的平面区
域，即所求区域，如图③.点评：画不等式表示的平面区域，按“线定界，点定域”，即先画不等式对应方程的曲线，然后任取曲线外的一点(常取原点)，如果此点满足不等式，则这点所在区域就是；否则就为另一半区域.另外注意虚线与实线的画法. 在坐标平面上,求不等式组 所表示的平面区域的面积.
解：
或
如右图，△ABC的面积即为所求.
所以2. 已知x，y满足线性约束条件 分别求：
(1)u=4x-3y的最大值和最小值;
(2)z=x2+y2的最大值和最小值.
解：已知不等式组 题型2 求目标函数在约束条件下的最值在同一直角坐标系中作
直线x-2y+7=0,4x-3y-12=0和
x+2y-3=0，再根据不等式组
确定可行域为△ABC.
(1)由 解得点A的坐标为(9，8).
由 解得点C的坐标为(3，0).
由 解得点B的坐标为(-2， ).求u=4x-3y的最值,相当于求直线 中纵截距 的最值.显然，b最大时u最小，b最小时u最大.如图，当直线 与直线AC重合时，截距b=-4为最小，所以umax=-3b=12;
当直线 经过点B时，
截距 为最大，
所以(2)由图知，zmax=|OA|2=92+82=145.
因为原点O到直线BC的距离为
所以
点评：求目标函数的最值，其一般步骤是：先画出平面区域，找到相应的关键点，一般是边界线的交点，再结合目标函数的几何意义，通过图形计算得出答案.这是数形结合思想在解题中的具体应用. 已知 问(x+1)2+(y+1)2在何时取得最大值和最小值？最大值和最小值各是多少?
解：设z=(x+1)2+(y+1)2,
作出不等式组表示的平面区
域,如右图，各交点A(3,4)，
B(1,3),C(2,1).z表示点M(x，y)与N(-1，-1)间距离的平方.过点N(-1，-1)作直线2x+y-5=0的垂线.
显然，垂足不在可行域内.
所以，当x=3，y=4时，z取得最大值；
当x=2，y=1时，z取得最小值.
所以zmax=(3+1)2+(4+1)2=41;
zmin=(2+1)2+(1+1)2=13.1. 判别二元一次不等式表示的区域有两种方法:①代点法;②讨论B＞0时不等号的方向.
2. 可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.
3. 如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点.到底哪个顶点为最优解，有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率满足k1＜k2＜…＜kn，而且目标函数的直线的斜率为k，则当ki＜k＜ki+1时，直线li与li+1相交的顶点一般是最优解.
特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时(k=ki)，其最优解可能有无数个.题型3 求线性规划中的参数值或取值范围1. 已知集合A={(x，y)|y≥ |x-2|}，
B={(x，y)|y≤-|x|+b}，且A∩B≠?.
(1)求b的取值范围;
(2)若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值为8,
求b的值. 解：(1)分别画出不等式y≥ |x-2|和
y≤-|x|+b所表示的平面区域,如图.
因为A∩B≠?，
由图可知,b≥1，
所以b的取值范围是[1,+∞).
(2)平移直线x+2y=0，由图可知，
当这条直线经过点(0，b)时，
x+2y取得最大值.
所以0+2b=8，所以b=4.点评：在线性规划中，一般所取的最值与交点有关，即最优解一般与交点的坐标有关.而最优解的个数一般与线性约束条件中的直线的斜率有关，特别是求目标函数的含参斜率中的参数的取值范围问题，就与三条边界线有关.这种类型的问题体现了知识的逆向思维性和发散思维性.给出平面区域如右图所示，目标函数t=ax-y.
(1)若在区域上有无
穷多个点(x，y)可使目标
函数t取得最小值,求此时
a的值;
(2)若当且仅当 时，
目标函数t取得最小值，求实数a的取值范围.解：(1)由t=ax-y得y=ax-t.
要使t取得最小时的(x，y)有无穷多个，
则y=ax-t与BC或AC重合.
所以
或
(2)由kAC解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，总利润为z元. 题型4 线性规划在实际问题中的应用 依据题意， 且z=600x+900y.
作可行域，如图中阴影部分.
由 得
当直线l:600x+900y=z
经过点M(120，60)时,z最大,此时
z=600×120+900×60=126000(元).
答：生产甲种棉纱120吨、乙种棉纱60吨
时,才能使利润总额最大，最大利润为12.6万元.点评：线性规划在实际应用中较为广泛，利用线性规划解决应用问题可按下列步骤进行：①找到约束条件组，作出可行域；②设所求的目标函数f(x，y)=m；③将各顶点坐标代入目标函数，即可得m的最大值或最小值，或求直线f(x，y)=m在y轴上截距的最值，从而得到m的最值.如果使目标函数取得最值的点M(x0，y0)不是整数解,而x0、y0要求是整数,一般在确定与M点较近的两个点后,将此两点的坐标代入目标函数计算进行比较,从而确定其最优整数解. 本公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元？解：设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元.
由题意得
目标函数为z=3000x+2000y.
二元一次不等式组等价于作出不等式组所表示的平面区域，
即可行域，如图.
作直线l0:3000x+2000y=0，
即3x+2y=0.
平移直线l0，从图中可知，
当直线l过M点时，目标函数取
得最大值.
联立 解得所以点M的坐标为(100，200).所以
zmax=3000×100+2000×200=700000(元).
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.3. 将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：


现在需要A、B、C三种规格的钢管分别为13、16、18根，问应分别截甲、乙两种钢管各多少根，才能使材料利用率最高？ 题型5 线性规划中的整点问题解：设截甲、乙两种钢管分别为x根、y根，z=x+y，依题意得
作可行域，由图知，当直线x+y=z过点A时，z为最小.由 得 所以点
因为x，y∈N*，在可行域内与点A邻近的整点有(4，4)，(4，5).显然(4，4)是最优解，且zmin=8.
故分别截取甲、乙两种钢管各4根，才能使材料利用率最高. 某校高二(1)班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成A、B、C三种规格.甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？
解：设需购买甲种彩绳x根、乙种彩绳y根，共花费z元,
则
且z=8x+6y.
作可行域，由图可知，
直线l经过可行域内的点A时，z最小.由 得 所以点A(3.6,7.8).
因为x,y∈N，在可行域内与点A邻近的整
点有(3,9),(4,8).
显然(3,9)是最优解，且zmin=78.
答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种
彩绳，可使花费最少.1. 解线性规划应用题的一般步骤：①设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；②利用图象在约束条件下找出决策变量使目标函数达到最大或最小.
2. 若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整.其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线附近寻找与此直线距离最近的整点,不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少,逐个检验亦可.