江苏省涟水金城外国语学校2012-2013学年高二下学期期初检测数学试题

一、填空题
1．在△中，内角的对边分别为。若，，则___________。
2．(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数有_个
3．2012年伦敦奥运火炬接力在希腊的传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_________种．（用数字作答）．
4．．函数的单调递增区间是 ．
5．如图，点D在的弦AB上移动，，连接OD，过点D 作的垂线交于点C，则CD的最大值为 .

6．命题“若，则”的否命题为__________________________.
7．若a>0,且a≠1, 则的值是 .
8．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、的极坐
标分别为，，则△（其中为极点）的面积
为 ．
9．右图是一个算法的流程图，则输出的值是 ▲
10．在极坐标系中，点在曲线上，点在直线上，则的最小值是 ．
11．已知方程（a为大于1的常数）的两根为，，且、，则的值是_________________
12．已知__________
13．函数是_____________函数。（填“奇”、“偶”）
14．函数 的导数为 。
二、解答题
15．(本题满分13分) 已知函数,函数
（I）当时,求函数的表达式;
（II）若,且函数在上的最小值是2 ,求的值;
（III）对于（II）中所求的a值，若函数，恰有三个零点，求b的取值范围。
16．如图，在中，,平分交于点，点在上，．

（1）求证：是△的外接圆的切线；
（2）若，求的长．
17．已知圆的参数方程为 （为参数），
（1）以原点为极点、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆的极坐标方程；
（2）已知直线经过原点，倾斜角，设与圆相交于、两点，求到、两点的距离之积。
18．直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F
（不与B重合），直线与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．
求证：（1）
（2）
19．已知函数(其中) ,点
从左到右依次是函数图象上三点,且.
(1)证明: 函数在上是减函数；
(2)求证：⊿是钝角三角形;
(3)试问,⊿能否是等腰三角形?若能,求⊿面积的最大值;若不能,请说明理由．
20．如图所示，已知与⊙相切，为切点，为割线，弦，、相交于点，为上一点，且
求证：；
(2)求证：·=·．
参考答案
1．
2．2
解：曲线的普通方程为，
它表示圆心为C（2，－1），半径为3的圆。
过圆心C做直线的垂线，垂足为M，与直线交于两点，如图，
因为，所以，，
如图，过圆心C做直线的平行线，与圆C交于两点，
则即为满足条件的点。
3．96
解：解：分两类：第一棒是丙有C11?C21?A44=48，
第一棒是甲、乙中一人有C21?C11?A44=48
因此共有方案48+48=96种；
故答案为96．
4．
解：略
5．2
解：本题考察直线与圆的位置关系
（由于因此,线段长为定值，即需求解线段长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点重合，因此.
6．若，则
解：
试题分析：根据否命题的定义：
若原命题为：若p，则q，否命题为：若┐p，则┐q
∵原命题为“若a＞b，则2a＞2b-1”
∴否命题为：若a≤b，则2a≤2b-1
故答案为：若a≤b，则2a≤2b-1．
考点：本题主要考查了命题的否命题的写法，考查了四种命题的概念的运用。
点评：解决该试题的关键是先将原命题写为若P,则Q的形式，然后将条件和结论同时否定得到的命题即为原命题的否命题。
7．-2 (a>1时); 3 (0< a<1时).
解：解：当0< a<1时，an=0,此时，=3，
当 a>1时, =0，此时=
8．3
解：略
9．4
解：略
10．
解：略
11．
解：
【错解分析】：是方程的两个根
，
由===可得
【正解】 ，
是方程的两个负根
又 即
由===可得
【点评】错解中忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错误.
12．
解：
【错解分析】：两边同时平方，由得
∴解得：
或解得：
【正解】 两边同时平方，有
求出∴
【点评】没有注意到条件时，由于所以的值为正而导致错误，这类问题的解决首先必须对角α的范围进行讨论，这充分体现了“函数问题，范围先行（尤其是三角函数问题）”的解题基本原则．
13．奇
解：
【错解分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。
【正解】由函数的解析式知x满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即函数为奇函数。
【点评】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。
（2）函数具有奇偶性，则是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。
14．
解：
【错解分析】复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。
【正解】
【点评】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。
15．（Ⅰ）函数.（Ⅱ）。
解：
试题分析： （1）先求解函数f(x)的导函数，进而得到第一问的解析式。
（2）∵由⑴知当时,,
分析导数的正负号，进而判定极值，得到最值。
（3）
所以，方程，有两个不等实根运用转化思想来得到。
解: （Ⅰ）∵,
∴当时,; 当时,
∴当时,; 当时,.
∴当时,函数. （4分）
（Ⅱ）∵由⑴知当时,,
∴当时, 当且仅当时取等号.由，得a=1 (8分)
令，得或x=b
（1）若b>1,则当0b时，；
（2）若b<1,且b则当01时，
所以函数h(x)有三个零点的充要条件为或解得或
综合： （13分）
另解：
所以，方程，有两个不等实根，且不含零根
解得： （13分）
考点：本题主要考查了函数的最值和函数的零点的综合运用
点评：解决该试题的关键是运用导数的思想来判定函数单调性，进而分析极值，得到最值，同时对于方程根的问题可以转换为图像的交点问题解决。
17．(1)
（2）
解：略
18．证明：（1）连结，是直径，
，．
切圆于，．
． …………………………6分
（2）连结， 切圆于，
．
又∽．
． …………12分
解：略
19．(1)见解析(2) 见解析(3) ⊿不可能为等腰三角形
解：
【错解分析】函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想
【正解】
(Ⅰ)
所以函数在上是单调减函数.
(Ⅱ) 证明:据题意且x1由(Ⅰ)知f (x1)>f (x2)>f (x3), x2=
即⊿是钝角三角形
(Ⅲ)假设⊿为等腰三角形，则只能是
即
即
①而事实上, ②
由于,故(2)式等号不成立.这与式矛盾. 所以⊿不可能为等腰三角形
【点评】函数的综合问题，这类问题涉及的知识点多，与数列、不等式等知识加以综合。主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.
20．证明：见解析。
解：本题考查三角形相似的判定和性质，考查两条直线平行的性质定理，考查相交弦定理，是一个比较简单的综合题目。
（1）根据所给的乘积式和对应角相等，得到两个三角形相似，由相似得到对应角相等，再根据两直线平行内错角相等，角进行等量代换，得到要证的结论．
（2）根据第一问所得的结果和对顶角相等，得到两个三角形相似，根据三角形相似得到对应线段成比例，把比例式转化为乘积式，再根据相交弦定理得到比例式，等量代换得到结果．
证明：（1），。是公共角，相似于，,．……5分．
(2),相似,即··．
弦相交于点,··
．··． ,……10分