课件19张PPT。 创造过程是一个艰苦曲折的过程. 数学家创造性的工作是论证推理，即证明. 但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的.
———G.波利亚1.2.1 圆周角定理高中数学选修4—1《几何证明选讲》问题情境 船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁,如图, 表示灯塔, 表示一个危险临界点, 就是“危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁. 你能判断出船的安全位置在什么范围吗?圆心角: 顶点在圆心圆心角的度数等于它所对弧的度数.圆周角: 顶点在圆周上圆周角的度数与它所对弧的度数有什么关系？类比猜想提出问题转化-----利用圆心角作为桥梁寻找关系学生活动方法一: 度量-----归纳推理方法二: 证明-----演绎推理学生活动一般情形按圆心与圆周角的位置关系可把所有的圆周角分几类来证明?圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.数学理论综合上述三类情况的证明，由完全归纳法,得出:推论1
同弧(或等弧)上的圆周角 ,同圆或等圆中,
相等的圆周角所对的弧 .
相等相等数学理论推论2
半圆(或直径)上的圆周角等于 .反之,900
的圆周角所对的弦为 .900直径一.圆周角定理-----简单应用(2)弦 分圆为1:5 两段弧,求弦 所对的圆周角的度数?(3)五角星的五个顶点等分圆,五个角的和是多少度?数学应用例1．如图 , 中, , 外接圆⊙的弦 交 于点 ,求证: 二.圆周角定理及推论---综合应用
数学应用点评: 把被证的对象设法放入两个三角形中,利用圆周角转移等角,达到证明三角形相似的目的.思路－－分析法
表述－－综合法练习1课本 P25-----6题数学应用求证:点评: 添加辅助线构造同弧上的圆周角是关键.例2．如图,设 是 的两条高, 交于
点 , 的延长线交 的外接圆⊙ 于 , 是直径.
求证：（1） （2） 二.圆周角定理及推论---综合应用
数学应用例2．求证:（1） 点评: 添加辅助线构造直径和弧所对的圆周角是关键数学应用例2．求证:(2)数学应用3已知: 如图,在锐角三角形 中,
的外接圆的半径为 ,求证:练习2数学应用点评: 添加辅助线构造直径和同弧所对的圆周角是关键解决问题 船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁,如图, 表示灯塔, 表示一个危险临界点, 就是“危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁. 你能判断出船的安全位置在什么范围吗?1、本节课我们学习了哪些知识？圆周角定理及两个推论分类讨论;转化与化归;归纳与类比等.
证明圆中线段的“成比例问题”，常常转化为“三角形相似问题”.2、本节课我们学习了哪些数学思想方法？3、圆中引辅助线的常用方法有哪些?（1）构造直径所对的圆周角（2）构造同弧所对的圆周角回顾反思★如图，当角的顶点在圆外或圆内时，角的大小与所夹的弧的度数之间是否也存在某种数量关系呢？数学探究同学们再见!课件20张PPT。2.2 圆内接四边形的性质
与判定定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数。同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.半 圆(或直径)所对的圆周角是直角;
90o的圆周角所对的弦是直径.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半。圆周角定理圆心角定理推论1推论2【温故知新】二.圆内接四边形的性质与判定定理圆内接多边形-----所有顶点都在一个圆上的多边形.这个圆称多边形的外接圆.思考: 任意三角形都有外接圆.那么
任意正方形有外接圆吗?为什么?
任意矩形有外接圆吗?
等腰梯形呢?
一般地, 任意四边形都有外接圆吗?如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征?如图（1）连接OA,OC.则∠B= . ∠D=性质定理1 圆内接多边形的对角互补将线段AB延长到点E,得到图（2）（1）性质定理2 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。性质定理1 圆内接四边形的对角互补性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角的对角。如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆. 性质定理的逆命题成立吗？假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.CABDEOABCDEO证明：(1)如果点D在⊙O外部。则（1）（2）∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180°得∠ D=∠AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。(2)如果点D在⊙O内部。则∠B+∠E=180°∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法---------穷举法推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆. 例1 如图， 都经过A,B两点。经过点A的直线CD与 交于点C,与 交与点经过点B的直线EF与 交于点E,与 交与点F.证明：连接AB∴∠BAD=∠E. ∴∠BAD+∠F=180° ∴∠E+∠F=180° ∴CE//DF . 求证：CE//DF.∵四边形ABEC是 的内接四边形。 ∵四边形ADFB是 的内接四边形。 例2 如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC,
FQ⊥AC.求证：A,B,P,Q四点共圆证明：连接PQ。在四边形QFPC中，∵FP⊥BC FQ⊥AC.∴∠FQA=∠FPC=90o.∴Q,F,P,C四点共圆。∴∠QFC=∠QPC.又∵CF⊥AB ∴∠QFC与∠QFA互余.而∠A与∠QFA也互余.∴∠A=∠QFC.∴∠A=∠QPC.∴A,B,P,Q四点共圆习题2.21.AD,BE是△ABC的两条高，
求证：∠CED=∠ABC.2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。o3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于F,G.
求证： ∠CFG=∠DGF.2.3 圆的切线的性质
及判定定理三. 圆的切线的性质及判定定理圆与直线的位置关系:相交-----有两个公共点相切-----只有一个公共点相离-----没有公共点切线的性质定理:O切线的性质定理逆命题是否成立?M反证法推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.这与线圆相切矛盾.思考:圆的切线垂直于经过切点的半径假设不垂直,作OM⊥因“垂线段最短”,故OA>OM,即圆心到直线距离小于半径.A切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AOB.直线与圆只有一个公共点,是切线.在直线上任取异于A的点B.连OB.则在Rt△ABO中OB>OA=r故B在圆外例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,
DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD//AC.又∵∠DEC=90o∴∠ODE=90o又∵D在圆周上,∴DE是⊙O是切线..例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.证明:连接OC, ∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD.∵OC=OA.∴ ∠CAO=∠ACO.∴ ∠CAD=∠CAO.故AC平分∠DAB.∵CD是⊙O的切线,习题2.31.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.求证:AC与⊙O相切.2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA
上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切
线交OA的延长线于R,.求证:RP=RQBOPARQ∠AQO= ∠APQ3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是⊙O的切线.AOBCD1324△COD与COB全等思考:
当P由圆内移动到圆外是,有何结论?⌒AD的度数与BC的度数和的一半等于∠APD的度数.DACBPE⌒AB与CD相交于圆内一点P.∴ ∠P= ∠BAC- ∠ACP圆内角定理:且∠BAC= ∠P+ ∠ACP课件9张PPT。2.3 圆的切线的性质
及判定定理三. 圆的切线的性质及判定定理圆与直线的位置关系:相交-----有两个公共点相切-----只有一个公共点相离-----没有公共点切线的性质定理:O切线的性质定理逆命题是否成立?M反证法推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.这与线圆相切矛盾.思考:圆的切线垂直于经过切点的半径假设不垂直,作OM⊥因“垂线段最短”,故OA>OM,即圆心到直线距离小于半径.A切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AOB.直线与圆只有一个公共点,是切线.在直线上任取异于A的点B.连OB.则在Rt△ABO中OB>OA=r故B在圆外例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,
DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD//AC.又∵∠DEC=90o∴∠ODE=90o又∵D在圆周上,∴DE是⊙O是切线..例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.证明:连接OC, ∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD.∵OC=OA.∴ ∠CAO=∠ACO.∴ ∠CAD=∠CAO.故AC平分∠DAB.∵CD是⊙O的切线,习题2.31.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.求证:AC与⊙O相切.2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA
上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切
线交OA的延长线于R,.求证:RP=RQBOPARQ∠AQO= ∠APQ3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是⊙O的切线.AOBCD1324△COD与COB全等课件17张PPT。因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到：1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线的性质定理的推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．如图,点A是⊙O与直线 的公共点,且 ⊥OA .在直线 上任取异于点A的点B,则△OAB是 Rt△．2. 而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OB>OA,即B一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有一个公共点，因此 是圆的切线．由此可得：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件：1.经过半径的外端；2.与半径垂直．应用格式(几何语言):OA是⊙O的半径OA⊥l于Al是⊙O的切线.四 弦切角定理1.观察：在图1中，以点D为中心旋转直线DE，同时保证直线BC与DE的交点落在圆周上.在图1中,根据圆内接四边形的性质,有∠BCE=∠A.当DE变为圆的切线时(如图2),你能发现什么现象?在图2中,DE是切线, ∠BCE=∠A仍然成立吗?１．如图(1)，圆心O在△ABC的边BC上.即△ABC是Rt△.２．如图(2),圆心O在△ABC的内部．即 △ABC为锐角三角形.2.猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE=∠A.3.证明：分三种情况讨论．3．如图(3),圆心O在△ABC的外部．即 △ABC为钝角三角形.综上所述，猜想成立.即∠BCE=∠A.如图，由于角∠BDE是由一条弦和一条切线组成的角，因此给它取名为弦切角.即:顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角.已知:如图,DE切⊙O于点D,DB与⊙O相交于点B ,则:∠EDB是弦切角.4.因此我们可以将上述经过证明后的猜想表述为：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.应用格式:
已知:△ABD内接于⊙O ，DE切⊙O于点D,
则:∠EDB= ∠BAD. (1).由上述定理的发现和证明过程可以看到，对一个图形进行适当的变化，往往能够发现几何中的一些有价值的结论.另外,猜想的证明渗透了：
①分类思想、②运动变化(特殊化)思想和③化归思想，你能从中体会这些思想方法吗？ (2).弦切角定理的引入方法：采用了图形变化的方法，将内接四边形变化为它的极端情形，即三角形.由“圆内接四边形的外角等于它的内角的对角”去猜想“弦切角对于它所夹的弧对的圆周角”.5.回顾及说明：例1:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE垂足为D.求证:AC平分∠BAD.证明：连接BC．∵AB是⊙O的直径,
∴ ∠ACB＝900.∴ ∠B +∠CAB＝900.∵AD⊥CE, ∴ ∠ADC＝900.∴ ∠ACD +∠DAC＝900.又∵AC是弦,且直线CE和⊙O切于点C, ∴ ∠ACD =∠B.∴ ∠DAC=∠CAB,即AC平分∠BAD.变式练习
如上图，连结DE、DF，
你能找出图中有哪些相
等的角,哪些相似三角形?例2: 如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB、AC分别相交于E、F. 求证：EF∥BC.证明：连结DF.∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC. 又∵∠EFD=∠BAD， ∴∠EFD=∠DAC. 又∵⊙O切BC于D, ∴∠FDC= ∠DAC.∴∠FDC= ∠EFD ∴ EF∥BC 例3:AB是⊙O的一条弦,过弧 的中点M任意作两条弦MR和MS,分别与弦AB相交于E、F.求证:E、R、S、F四点共圆.分析：只需证明∠MRS=∠BFS即可.需构造与∠BFS相等的角,而∠BFS既不是圆心角也不是圆周角,怎么办？证明：如图，连接OM、RS,过M作⊙O的切线MC．∵M是 中点,则OM垂直平分AB,且OM⊥MC．由此得MC//AB．∴ ∠CMS=∠BFS.而∠CMS=∠MRS. ∴∠BFS=∠MRS.故E、R、S、F四点共圆.1.如图，AC是⊙O的弦，BD切⊙O于C，则图中弦切角有 个.4若∠AOC=1200,则∠ ACD = .6002.如图，直线MN切⊙O于C，AB是⊙O的直径,若∠ BCM=400,则∠ ABC等于（ ）A.400 B. 500 C. 450 D.6003.已知⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F为切点,若∠ A: ∠ B: ∠ C=4:3:2, 则∠DEF = , ∠FEC= .B500700练习：∠ACD, ∠ACB, ∠OCD, ∠OCB.∵A=800,B=600,C=400.∴∠DOF=1000, ∴∠DEF=500 .∵C=400,CE=CF. ∴∠FEC=700 .４.由圆外一点B引圆的切线BA,切点为A,过点B引直线BC交圆于点C,D,若取BE=BA,求证：∠EAC=∠EAD．证明：∵ BE=BA，∴ ∠BAE=∠BEA．又∵ BA圆的切线，∴ ∠ BAC=∠ADC.而∵ ∠EAC=∠BAE－ ∠BAC, 且 ∠EAD=∠BEA－ ∠ADC.∴ ∠EAC=∠EAD .常用模型：
△BAC∽△BDA!5.EF切⊙O于点C,过弦AB的两端点A、B分别作AE⊥AB,BF⊥AB,OC交AB于点D.求证:(1)CE·CF=AD·DB;(2)CD2=AE·BF.证明:连结AC,BC.∵EF是⊙O 的切线，∴∠ECA=∠CBA, ∠FCB=∠CAB. 又∵ AE⊥AB,BF⊥AB,∴四点A,D,C,E共圆;四点A,D,C,E共圆; ∴ ∠ADC=∠CFB,
∴ △ADC∽△CFB .同理可得△ACE∽△CBD .6.如图,AB为⊙O的直径,BC 、CD为⊙O的切线, B 、D切点.求证:(1) AD//OC; (2)若⊙O 的半径等于1,求AD· OC 的值.证明:(1)∵BC 、CD是⊙O 的切线， B 、D切点.∴∠OBC=∠ODC=900. 又∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ODA.而∵ ∠BOD= ∠OAD+∠ODA=2 ∠OAD,
且 ∠BOD＝2 ∠BOC.∴ ∠BOC=∠DOC.又∵OB=OD,OC=OC.∴ ∠OAD＝∠BOC, ∴ AD//OC.∴Rt△OBC≌Rt△ODC.(2)连接BD, ∵ ∠OAD＝∠BOC,∴Rt△OBC∽Rt△ADB.弦切角及其性质是证明相等的重要依据,它常常与圆周角、圆心角等性质联合应用来进行证明、计算. 圆心角、圆周角、弦切角是与圆有关的三种角，三者之间关系,如图,PA切⊙O于A，则有：问题：弦切角与所夹的弧、及所夹的弧所对的圆心角、圆周角有何关系？小结：弦切角圆周角弧的度数圆心角应用作业P36习题2.4(1.2)课件25张PPT。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等．推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，９０°的圆周角所对的弦是直径．复习回顾——相交弦、切割线、切线长定理五 与圆有关的比例线段一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆有关的相交弦的问题.探究1:如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB.探究2:将图１中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直径（如图２），结论（１）还成立吗？证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB.证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴△APD∽△CPB.探究3:上面讨论了CD⊥AB的情形．进一步地,如果CD 与AB不垂直，如图３, AB 、CD是圆内的任意两条相交弦,结论（１）还成立吗？PA·PB=PC·PD……(3)综上所述，不论AB 、 CD具有什么样的位置，都有结论（１）成立！相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.几何语言： AB 、 CD是圆内的任意两条相交弦,交点为P, ∴PA?PB=PC?PD.上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出相交弦定理.下面从新的角度考察与圆有关的比例线段．探究4:使圆的两条弦的交点从圆内（图３）运动到圆上（图４），再到圆外（图５），结论(1)还成立吗？当点P在圆上,PA=PC=0,所以PA?PB=PC?PD=0仍成立.当点P在圆外,连接AD、BC,容易证明:△PAD∽△PCB,所以PA:PC=PD:PB,即PA?PB=PC?PD仍成立.如图,已知点P为⊙O外一点,割线PBA、PDC分别交⊙O于A、B和C、D. 求证:PA?PB=PC?PD.证法2：连接AC、BD，
∵四边形ABDC为⊙O 的内接四边形, ∴∠PDB= ∠A，
又 ∠P=∠P,
∴ △PBD∽ △ PCA.
∴ PD ：PA=PB ：PC.
∴ PA?PB=PC?PD.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.应用格式（几何语言描述）:
∵PAB,PCD是⊙O 的割线,∴ PA?PB=PC?PD.证明:连接AC、AD,同样可以证明△PAD∽△PCA,
所以PA:PC=PD:PA,
即PA2=PC?PD仍成立.如图,已知点P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，割线PCD 交⊙O于C、D. 求证：PA2=PC?PD.证明：连接AC、AD，
∵PA切⊙O于点A,∴∠D= ∠PAC.
又 ∠P=∠P, ∴ △PAC∽ △ PDA.
∴ PA ：PD=PC ：PA.
∴PA2= PC?PD.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和条割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.应用格式（几何语言描述）:
∵PA是⊙O 的切线,PCD是⊙O 的割线,∴ PA2=PC?PD.ODPCA探究5:使圆的割线PD绕点P运动到切线位置，可以得出什么结论？思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？1.结论都为乘积式;2.几条线段都是从同一点出发;3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）.另外，从全等角度可以得到：2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的特例！例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x.由相交弦定理，得PA?PB=PC?PD,∴4×4=1/5x?4/5x,解得x=10.∴CD=10.练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D.
(1)已知PA=5,PB=8,PC=4,则PD= ,PT=
(2)已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径R=103练习2.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D,连结AC,BD,下面各比例式中成立的有:ODPATBCPA·PB=(7-R) ·(7+R)△PAC∽ △ PDB △BED∽ △ AEC △PAD∽ △ PCB E练习3.如图,A是⊙O上一点,过A切线交直径CB的延长线于点P,AD⊥BC，D为垂足.求证：PB :PD=PO:PC.分析：要证明PB ：PD=PO ：PC ,很明显PB、PD、PO、PC在同一直线上无法直接用相似证明，且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明,所以可以通过证明PB ? PC=PD ? PO,而由切割线定理有PA2=PB ? PC,只需再证PA2=PD ? PO，而PA为切线,所以连接OA,由射影定理 得到.例2 如图,E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF//CB,交AD的延长线于点F，FG切圆于点G.求证：(1) △DFE∽△EFA; (2)EF=FG.证明： (1)∵EF//CB, ∴∠DEF=∠DCB.∵∠DCB和∠DAB都是 上的圆周角.∴∠DAB =∠DCB=∠DEF.∵∠DFE=∠EFA（公共角）, ∴ △DFE∽△EFA.(2)由(1)知 ∴ △DFE∽△EFA，∴EF2 =FA?FD.又∵FG是圆的切线，∴FG2 =FA?FD.∴EF2 =FG2 ,即FG=EF.例3 如图，两圆相交于A、B两点，P为两圆公共弦AB上任意一点，从P引两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD.PC2=PA?PB, PD2=PA?PB.证明：由切割线定理可得：∴PC2=PD2. 即PC=PD．例4 如图，AB是⊙O的直径，过A、B引两条弦AD和BE，相交于点C．求证：AC·AD+BC·BE=AB2．证明：连接AC、AD，过C作CF⊥AB,与AB交于F．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=900.又∵ ∠AFC=900, ∴ A、F、C、E四点共圆. ∴ BC?BE=BF?BA. ………(1)同理可证F、B、D、C四点共圆. ∴ AC?AD=AF?AB. ………(2)(1)+(2)可得 AC?AD+BC?BE= AB(AF+BF)=AB2. 例5 如图，AB、AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，连接CD、BD 、BE 、CE.问题1:由上述条件能推出哪些结论？∴ CD:CE=AC:AE, ∴CD?AE=AC?CE. ………(2)同理可证BD?AE=AC?CE. …………………… (3)∵AC=AB,∴由(2)(3)可得BE?CD=BD?CE. ………(4)探究1:由已知条件可知∠ACD=∠AEC,而∠CAD=∠EAC,∴△ADC∽△ACE. ……(1)问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？探究2:连接FG.与探究1所得到的结论相比较,可以猜想△ACD∽△AEC.下面给出证明.∵AB2=AD?AE,而AB=AC, ∴△ADC∽△ACE. ……(5)而∠CAD=∠EAC,∴ AC2=AD?AE,同探究1的思路，还可得到探究1得出的结论(2)(3)(4).另一方面，由于F、G、E、D四点共圆. ∴∠CFG=∠AEC.又∵∠ACF=∠AEC.∴∠CFG=∠ACF.故FG//AC. ……(6)你还能推出其他结论吗？问题3 在图2中,使线段AC继续绕A旋转，使割线CFD变成切线CD,得到图3. 此时又能推出哪些结论？探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)——(6)的所有结论.此外，∵AC//DG. ∵ △ADC∽△ACE. 由(7)(8)两式可得：AC?CD=AE?CG. ……… (9)连接BD、BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则∠PCQ=∠PGD ∠DBE,所以C、E、B、Q四点共圆. 你还能推出其他结论吗？ 练习4. 如图,过⊙O外一点P作两条割线, 分别交 ⊙O于点A、B和C、D. 再作⊙O的切线PE, E为切点, 连接CE、DE. 已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm. （1）求PC的长 ; （2）设CE=a,试用含a的代数式表示DE.解：（1）由切割线定理，得
PC ? PD=PA ? PB∵AB=3, PA=2,∴PB=AB+PA=5.设PC=m, ∵CD=4 , PD=PC+CD=m+4.
∴m（m+4）=2×5化简，整理得：m2+4m?10=0解得： (负数不合题意，舍去)由切割线定理得:
PE2=PC?PD=PA?PB=10.由弦切角定理,得∠CEP=∠D.又∵ ∠CPE=∠EPD（公共角）.∴△CPE∽△EPD.（2）设CE=a,试用含a的代数式表示DE.练习5.如图：过点A作⊙O的两条割线,分别交⊙O于B、C和D、E. 已知AD=4,DE=2, CE=5,AB=BC. 求AB、BD.练习6.如图：PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线.已知⊙O的半径为8，PB=4，PC=9.求PA、PO.课堂小结1、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长定理，要特别注意它与相交弦定理之间的联系与区别。2、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。3、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与
代数、几何等知识的联系及应用
