课件25张PPT。 1．正射影的概念
给定一个平面α，从一点A
，称 为点A在平面α上的正射影．
一个图形上 所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影． 作平面α的垂线，垂足为点A′点A′点A′ 2．平行射影
设直线l与平面α相交，称 为投影方向，过点A作 的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称
为A沿l的方向在平面α上的平行射影．
一个图形上 所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．直线l的方向平行于l点A′各点在平面α上的平行射影 3．正射影与平行射影的联系与区别
正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积． 4．两个定理
(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是 ．
(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则
①β>α，平面π与圆锥的交线为 ．
②β＝α，平面π与圆锥的交线为 ．
③β<α，平面π与圆锥的交线为 ．椭圆椭圆抛物线双曲线 [例1] 如果椭圆所在平面与投影面平行，则该椭圆的平行射影是 ( )
A．椭圆 B．圆
C．线段 D．射线
[思路点拨] 要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系．
[解析] 因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等．
[答案] A 平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的正射影．1．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b
在α上的射影有可能是：
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)
解析：如图所示，由图可知①②④正确，而对于③两直线射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与a、b异面矛盾，所以③错，故正确答案：①②④.答案：①②④2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α
上的射影是____________．
解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．
如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形．
答案：一条线段或梯形 3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影
为A′(A′不在BC上)．
(1)当∠BAC＝90°时，求证：△A′BC为钝角三角形；
(2)当∠BAC＝60°时，AB、AC与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos∠BA′C. [例2] 如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们
与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆
柱的斜截面相切，切点分别为F1、F2.
求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1、F2为焦
点的椭圆．
[思路点拨] 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明． [证明] 如图，设点P为曲线上任一点，
连接PF1、PF2，则PF1、PF2分别是两个球
面的切线，切点为F1、F2，过P作母线，与
两球面分别相交于K1、K2，则PK1、PK2分
别是两球面的切线，切点为K1、K2.
根据切线长定理的空间推广 ，
知PF1＝PK1，PF2＝PK2，
所以PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2.
由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆． (1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．
(2)该题使用了切线长定理的空间推广 (从球外一点引球的切线，切线长都相等)． [例3] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆．
[思路点拨] 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin双球法． [证明] 如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切． 当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切于圆S1、S2.
在截面的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.
由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆． 由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用Dandelin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决．答案：B7．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆
锥的顶点，则会出现四种情况：__________，
_____________________________________________，
________，________. 答案：圆 椭圆 抛物线 双曲线解析：如图 点击下图进入应用创新演练课件29张PPT。第三讲 圆锥曲线性质的探讨时静
2008年8月（一）平行投影复习与引入1、点在直线上的正射影MNAA‘2、直线在直线上的正射影NMABA‘B‘思考：点、直线在平面上的正射影是什么呢？给定一个平面 ，从一点A作平面 的垂线，垂足为点A′称为点A在平面 上的正射影那么，一条直线在平面上的正射影是什么样的图形呢？AA′一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影AA′B′Bααα思考：一个圆所在的平面
与平面 平行时，该圆在平面 上的正射影是什么图形？当平面 与平面 不平行时，圆在平面 上的正射影是什么图形？αββαββ如果平面 与平面 垂直时，圆在平面 上的正射影又是什么图形？如果取消“垂直”的限定，那么正射影的概念可以作进一步推广。设直线l与平面 相交，称直线l的方向为投影方向。过A点作平行于l的直线（称为投影线）必交与一点A′称点为A沿l的方向在平面 上的平行射影。AA′αββαα一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影。显然，正射影是平行射影的特例。思考：两条相交直线的平行射影是否还是相交直线？两条平行直线的平行射影是否还是平行直线？将一个放在桌面上的玻璃杯中倒入半杯水，观察水平面所成的图形定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。如果将玻璃杯倾斜一定的角度，此时水平面又是一个什么样的图形？我们分析一下图中的水平面的结构，水平面的图形可看成是以杯子（圆柱）的母线为投影方向，杯口（圆）在水平面所在平面上的射影。
其中，点A的投影为点E,点D的投影为F，显然EF>AD。与杯口（圆）的直径AD垂直的直径ＧＨ在水平面上的射影ＰＱ的长度保持不变，因此ＥＦ＞ＰＱ，于是杯口（圆）的射影不是一个圆，而是椭圆
AEPHQFGC结论：用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆；当平面志圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆。（二）平面与圆柱面的截线问题：（1）G2F1+G2F2与AD什么关系？
（2）AD的长与G1G2什么关系？
（3）G2F1与G2E有什么关系？PF1+PF2=PK1+PK2=AD
（AD为定值）定理1 ：
圆柱形物体的斜截口是椭圆准线离心率（三）平面与圆锥面的截线问题：当 与 满足什么关系时（1） 与AB（或AB的延长线），AC都相交（2） 与AB不相交（3） 与BA的延长线，AC都相交(1) , 与AB(或AB的延长线)、AC都相交。(2) , 与AB不相交。(3) , 与BA的延长线、AC都相交。定理2 在空间中，取直线 为轴，直线
与 相交于O点，夹角为 ， 围绕
旋转得到以O为顶点， 为母线的圆锥面，任
取平面 ，若它与轴 的交角为
（当 与 平行时，记 ），则(1) ,平面 与圆锥的交线为椭圆；(2) ,平面 与圆锥的交线为抛物线；(3) ,平面 与圆锥的交线为双曲线；1 交线为椭圆时的证明PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2
（Q1Q2为定值）2 椭圆的性质常考知识点
高考:无
模拟考:
(1)平行投影的性质
(2)球的切线与切面
(3)圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线
(4)圆锥面及其内切球课件13张PPT。课件17张PPT。一 复习引入二新知探究三 课堂总结
