7.1.2全概率公式课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册(共23张PPT)

(共23张PPT)
7.1.2
全概率公式
1.条件概率公式
2.概率的乘法公式
复习引入
3.条件概率与独立性的关系
思考：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为 . 那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
问题探究
下面我们给出严格的推导.
因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 .
但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.
3
3
2
事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2.
P(R2|R1)
P(B2|R1)
P(R2|B1)
P(B2|B1)
问题探究
利用概率的加法公式和乘法公式，得
用 Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2.
按照某种标准, 将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并, 再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率.
R2
探究新知
思考：按照某种标准,将一个复杂事件B表示为n个(A1,A2,....An)互斥事件的并, 根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？
A1
A2
A3
An
A 4
…
B
加法公式
乘法公式
探究新知
全概率公式
概念形成
　　一般地，设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件 　 ，有
我们称上面的公式为全概率公式．
全概率公式使用条件:
①A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件；②A1∪A2∪…∪An=Ω；　
A1
A2
A3
An
A 4
…
B
③P(Ai)>0, 且 .
8
对全概率公式的理解
某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)(Ai 两两互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).
每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1,2,…,n)发生概率的总和，即全概率公式.
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.
解:
典例分析
例1 某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6; 如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
设事件
写概率
代公式
全概率公式求概率的步骤：
1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因；
2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai )),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai ))；
3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ).
由因求果
方法总结
例2 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2, 3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1, 2, 3台车床加工的零件数分别占总数的25%, 30%, 45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1, 2, 3)台车床加工的概率。
A1
A2
A3
A3B
A1B
A2B
典例分析
解:
设事件
写概率
代公式
思考：例5中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？
探究新知
P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.
当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率.
如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 就分别是第1, 2, 3台车床操作员应承担的份额.
已知结果求原因
已知原因求结果
*贝叶斯公式：
将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式.
探究新知
注：贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T.Bayer,1702-1762)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.
设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai )>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件 　，P(B)>0，有
对分子用乘法公式
对分母用全概率公式
①我们把事件B看作某一过程的结果，
②根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
③而且每一原因对结果的影响程度已知，
④如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式
*贝叶斯公式的使用：
执果寻因
例3 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1; 发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率;
*(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
典例分析
发送0(A)
发送1()
接收0(B)
接收1()
解:
解:
1.现有12道四选一的单选题, 学生张君对其中9道题有思路, 3道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9, 没有思路的题只好任意猜一个答案, 猜对的概率为0.25.
(1)张君从这12道题中随机选择1题, 求他做对该题的概率;
(2)若他做对了该题, 求他选择的是完全没有思路的题的概率.
巩固练习
2.同批同种规格的产品, 第一批占40%,次品率为5%; 第二批占60%, 次品率为4%. 将两批产品混合, 从混合产品中任取1件.
(1)求这件产品是合格品的概率;
*(2)已知取到的合格品, 求它取自第一批产品的概率.
解:
巩固练习
拓展练习
3. 小王每天17：00 18：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种．已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表：
已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？
前一天 当天
篮球 羽毛球 游泳
篮球 0.5 0.2 0.3
羽毛球 0.3 0.1 0.6
游泳 0.3 0.6 0.1
拓展练习
解: 用A, B, C分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，用Pn( A), Pn(B), Pn(C)(n∈N*)分别表示第n天小王进行A, B, C三种运动项目的概率.
因为小王第一天打羽毛球，所以第2天小王做三项运动的概率分别为
P2(A)=0.3，P2(B) =0.1，P2(C) =0.6
第3天小王做三项运动的概率分别为
P3(A)=P2(A)×0.5+ P2(B)×0.3+P2(C)×0.3 =0.36
P3(B) =P2(A)×0.2 + P2(B)×0.1 +P2( C)×0.6 =0.43
P3(C) =P2( A)×0.3 +P2(B)×0.6 +P2( C)×0.1 =0.21
因此小王第三天打羽毛球的可能性最大.
23
由因求果
执果寻因
1.设事件
2.写概率
3.代公式
课堂小结
全概率公式　
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn)
=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)
条件概率P(B|A)＝ → 乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)
*贝叶斯公式