7.2离散型随机变量及其分布列课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册(共21张PPT)

(共21张PPT)
7.2 离散型随机变量及其分布列
复习引入
一般地，一个试验如果满足下列条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果;
这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验.
1.随机试验的概念
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.
2.样本点与样本空间的概念
问题1：请为以下随机试验的样本点与实数建立对应关系：
(1) 掷一枚骰子，观察出现的点数；
(2) 掷两枚骰子，观察两个点数之和；
(3) 掷一枚硬币，观察出现正、反面的情况；
(4) 随机抽取一件产品，观察出现“抽到次品”和“抽到正品”的情况.
　　求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题．类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随机试验．
探究新知
有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值．
例如(3)，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用 1 表示，“反面朝上”用 0 表示，定义X＝，那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系．
又如(4)，随机抽取一件产品，如果“抽到次品”用 1 表示，“抽到正品”用 0 表示，即定义X＝，那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系．
探究新知
有些随机试验的样本点与数值有关系，我们可以直接与实数建立对应关系．
例如(1) ，掷一枚骰子，用实数 m (m＝1, 2, 3, 4, 5, 6) 表示“掷出的点数为 m”；
又如(2) ，掷两枚骰子，样本空间为 Ω＝{(x, y) | x, y＝1, 2, , 6}，用 x＋y 表示“两枚骰子的点数之和”，样本点 (x, y) 就与实数 x＋y 对应．
　　对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应．即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化．
因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性．
探究新知
　　考察下列随机试验及其引入的变量：
　　试验1：从 100 个电子元件（至少含 3 个以上次品）中随机抽取三个进行检验，变量 X 表示三个元件中的次品数；
　　试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量 Y 表示需要的抛掷次数.
　　这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量 X，Y 有哪些共同的特征？
探究
探究新知
　　对于试验 2，如果用 h 表示“正面朝上”，t 表示“反面朝上”，例如用 tth 表示第 3 次才出现“正面朝上”，则样本空间
Ω2＝{h, th, tth, ttth,}
Ω2 包含无穷多个样本点．各样本点与变量 Y 的值的对应关系如图所示．
th
h
tth
ttth
t
h
h
2
1
3
4
t
h
h
Ω2
Y
t
t
探究新知
　　对于试验 1，如果用 0 表示“元件为合格品”，1 表示“元件为次品”，用 0 和 1 构成的长度为 3 的字符串表示样本点，则样本空间
Ω1＝{000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}
各样本点与变量 X 的值的对应关系如图所示．
001
000
010
011
100
101
110
111
1
0
1
2
1
2
2
3
Ω1
X
　　在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应．
变量X，Y 有如下共同点：
(1)取值依赖于样本点；
(2)所有可能取值是明确的．
概念形成
随机变量的定义:
一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称 X 为随机变量(random variable)．
说明: (1)随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点 ω 相当于函数定义中的自变量，而样本空间 Ω 相当于函数的定义域.
(2)随机变量的定义与函数的定义的不同之处在于 Ω 不一定是数集．
作用：随机变量将随机事件的结果数量化.
像这样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量(discrete random variable)．
通常用大写英文字母表示随机变量，例如 X, Y, Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如 x, y, z．
探究新知
试验 1 中随机变量X 的可能取值为 0, 1, 2, 3，共有 4 个值；
试验 2 中随机变量 Y 的可能取值为 1, 2, 3,，有无限个取值，但可以一一列举出来．
离散型随机变量的定义:
　　现实生活中，离散型随机变量的例子有很多．例如，某射击运动员射击一次可能命中的环数 X，它的可能取值为 0，1，2，，10；某网页在 24 h 内被浏览的次数 Y，它的可能取值为 0，1，2，；等等．
探究新知
　　现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子．例如，种子含水量的测量误差 X1；某品牌电视机的使用寿命 X2；测量某一个零件的长度产生的测量误差 X3．这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量．本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量．
　　你能再举出一些离散型随机变量和不是离散型的随机变量的例子吗？
？
1.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果：
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X;
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数X;
(3)抛掷两个骰子，所得点数之和X;
(4)接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数X;　
(5)某一自动装置无故障运转的时间X;
(6)某林场树木最高达30米，此林场树木的高度X．
X＝1, 2, 3, ···, n, ···
X＝2, 3, 4, ···, 12
X取(0, +∞)内的一切值
X取(0, 30]内的一切值
X ＝1, 2, 3, ···, 10
X＝0, 1, 2, 3
离散型
连续型
小试牛刀
　　根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题．
例如，掷一枚质地均匀的骰子，X 表示掷出的点数，则事件“掷出 m 点”可以表示为 {X＝m} (m＝1, 2, 3, 4, 5, 6)，事件“掷出的点数不大于 2”可以表示为 {X≤2}，事件“掷出偶数点”可以表示为 {X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}，等等．
由掷出各种点数的等可能性，可得
P(X＝m)＝，m＝ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ．
这一规律可以用下表来表示，也可以用下图来表示.
探究新知
2
1
3
4
5
6
X
P
P
X
1
0
2
3
4
5
6
　　一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1, x2,, xn，我们称 X 取每一个值 xi 的概率
P(X＝xi)＝pi，i＝1, 2,, n
为 X 的概率分布列(list of probability distribution)，简称分布列．
探究新知
分布列的定义:
1.分布列的构成
(1)列出了随机变量X的所有取值xi；
(2)求出了的每一个取值xi的概率pi ．　
2.分布列的性质：
(1) pi≥0，i＝1，2，，n；
(2) p1＋p2＋ ＋pn＝1．
注意:
由于函数可以用解析式、表格、图象表示，所以离散型随机变量的分布列也可以用解析式、表格、图象表示.
分布列的表示：
探究新知
P(X＝xi)＝pi，i＝1, 2,, n
1.解析式法
x2
x1
xn
X
P
p2
p1
pn
2.表格法
3.图象法
P
X
x1
0
x2
x3
xn
p3
p1
pn
p2
　 利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率.
例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为
P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝．
类似地，事件“掷出偶数点”的概率为
P({X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6})＝P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＝＋＋＝．
探究新知
例1 一批产品中次品率为 5%，随机抽取 1 件，定义
X ＝，
求 X 的分布列．
典例分析
解：根据 X 的定义，{X＝1}＝“抽到次品”，{X＝0}＝“抽到正品”，
X 的分布列为
P(X＝0)＝0.95，P(X＝1)＝0.05．
1
0
X
P
0.05
0.95
用表格表示 X 的分布列，如下表所示．
　　对于只有两个可能结果的随机试验，用 A 表示“成功”， 表示“失败”，定义 X＝ . 如果 P(A)＝p，则 P()＝1－p，那么 X 的分布列如下表所示.
1
0
X
P
p
1－p
我们称 X 服从两点分布(two-point distribution)或 0-1分布．
探究新知
两点分布的定义:
X 2 3
P 0.3 0.7
思考：随机变量X的分布列由下表给出, 它服从两点分布吗
注: 只取两个不同值的随机变量并不一定服从两点分布
不服从两点分布, 因为X的取值不是0或1
例2　某学校高二年级有 200 名学生，他们的体育综合测试成绩分 5 个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示．
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及 P(X≥4)．
2
1
3
4
5
不及格
等级
分数
50
20
60
40
30
人数
及格
中等
良
优
典例分析
解：由题意知，X 是一个离散型随机变量，其可能取值为 1, 2, 3, 4, 5，且{X＝1}＝“不及格”，{X＝2}＝“及格”，{X＝3}＝“中等”，{X＝4}＝“良”，{X＝5}＝“优”．根据古典概型的知识，可得 X 的分布列，如下表所示．
2
1
3
4
5
X
P
P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＝．
解：设挑选的 2 台电脑中 A 品牌的台数为 X，则 X 的可能取值为 0, 1, 2．
根据古典概型的知识，可得 X 的分布列为
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝．
　　用表格表示 X 的分布列，如下表所示．
1
0
2
X
P
典例分析
例3　一批笔记本电脑共有 10 台，其中 A 品牌 3 台，B 品牌 7 台．如果从中随机挑选 2 台，求这 2 台电脑中 A 品牌台数的分布列．
1．篮球比赛中每次罚球命中得 1 分，不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，求他一次罚球得分的分布列．
1
0
X
P
0.7
0.3
2．抛掷一枚质地均匀的硬币 2 次，写出正面向上次数 X 的分布列．
1
0
2
X
P
巩固练习
离散型随机变量及其分布
两点分布或0—1 分布
随机变量
离散型随机变量
分布列
课堂小结